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Driehoeksmatrix

In dem Lineare Algebra, ist ein Dreiecksmatrix (ebenfalls dreieckig Matrix genannt) a Quadrat Matrix in denen alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale Null sein. Wenn die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen null sind, wird die Matrix a obere Dreiecksmatrix genannt, sonst a untere Dreiecksmatrix. Da ein System lineare Gleichungen ${displaystyle Ax=b,}$ bei welchem ${Anzeigestil A}$ ist eine Dreiecksmatrix, ist leicht zu lösen, Dreiecksmatrizen sind sehr wichtig im numerische Analyse. LU-Zerlegung gibt jedem einen Algorithmus invertierbare Matrix ${Anzeigestil A}$ in ein normiertes spalten untere Dreiecksmatrix ${Anzeigestil L}$ und ein obere Dreiecksmatrix ${Displaystil U.}$

Definition

EIN untere Dreiecksmatrix ist eine Matrix der Form

{displaystyle L={ egin{bmatrix}l_{1,1}&0&ldots &ldots &ldots &0&0/l_{2,1}&l_{2,2}&0&ldots &ldots &0&0/l_{3,1}&l_{3,2}&l_{ 3,3}&0&ldots &0&0/vdots &vdots &vdots &ddots &ddots &vdots &vdots /vdots &vdots &vdots &&ddots &0&0/l_{n-1,1}&l_{n-1,2}&l_{n-1,3}&ldots -1,n -1}&0/l_{n,1}&l_{n,2}&l_{n,3}&ldots &ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}end{bmatrix}}}

EIN obere Dreiecksmatrix ist eine Matrix der Form

{displaystyle U={ egin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&ldots &ldots &u_{1,n-1}&u_{1,n}/0&u_{2,2} &u_{2,3}&ldots &ldots &u_{2,n-1}&u_{2,n}/0&0&u_{3,3}&ldots &ldots &u_{3,n-1}&u_{3,n}/0&0&0&ddots &&vdots &vdots / vdots &vdots &vdots &ddots &ddots &vdots &vdots /0&0&0&ldots &0&u_{n-1,n-1}&u_{n-1,n}/0&0&0&ldots &ldots &0&u_{n,n}end{bmatrix}}}

Sind auf der Hauptdiagonalen auch nur Nullen vorhanden, wird die Matrix a strenge (untere oder obere) Dreiecksmatrix erwähnt.

Beispiele

die Matrizen

{displaystyle { start{bmatrix}1&4&2/0&3&4/0&0&1/end{bmatrix}}}

,

{displaystyle quad { egin{bmatrix}1&0&0/2&8&0/4&9&7/end{bmatrix}}}

und

{displaystyle { egin{bmatrix}0&0&0&0/2&0&0&0/3&-3&0&0/0&0&-1&0/end{bmatrix}}}

sind nacheinander ein oberes Dreieck, ein unteres Dreieck und eine strenge untere Dreiecksmatrix.

Siehe auch