WikiDer > Satz von Wilson

Das Satz von Wilson ist Mathematiker Gestell Wer sagt das ${displaystyle p}$ dann und nur dann einer Primzahl ist wie:

${displaystyle (p-1)!äquiv -1{pmod {p}}}$.

Das Kongruenz${displaystyle (p-1)!äquiv -1{pmod {p}}}$ kann auch formuliert werden als: ${displaystyle p}$ ist ein Teiler von ${Anzeigestil (p-1)! 1}$.

Der Satz wurde zuerst formuliert von Ibn al-Haytham, auch bekannt als Alhazen, ist aber zu John Wilson erwähnt. Wilson war ein Schüler von Edward Waring. Er formulierte den Satz 1770, aber weder er noch Wilson konnten den Satz beweisen. Lagrange gab 1771 den ersten Beweis. Leibniz kannte das Theorem auch ein Jahrhundert zuvor, veröffentlichte es aber nicht.

Für die Anmerkungen! Fakultät und kongruent Schau dort.

Beweise

Von dem unpassend: Annehmen ${Anzeigestil (p-1)! 1}$ durch ${displaystyle p}$ kann geteilt werden und das ${displaystyle p}$ wieder durch eine nummer ${displaystyle d}$ mit ${Displaystil 1$ geteilt werden kann. weil ${displaystyle d}$ eine der nummern ${displaystyle 2,3,ldots,p-1}$ ist, ist ${Anzeigestil (p-1)!}$ durch ${displaystyle d}$ Teilen. ${Anzeigestil (p-1)! 1}$ ist auch durch ${displaystyle d}$ teilen, so würde auch 1 by ${displaystyle d}$ um geteilt zu werden. Dies widerspricht der Annahme.

Anders herum

Erster Beweis

Dieser Beweis verwendet das für eine Primzahl ${displaystyle p>2}$ die Sammlung ${displaystyle G={1,2,ldots,p-1}}$ ein Gruppe ist unter Multiplikation modular${displaystyle p}$. Dies bedeutet, dass für jedes Element ${Anzeigestil ain G}$ ein Unikat invers Element ${Anzeigestil Bin G}$ ist so dass ${displaystyle abequiv 1!!{pmod {p}}}$. wenn ${displaystyle a^{2}Äquiv. 1{pmod {p}}}$, dann ist ${displaystyle a^{2}-1=(a 1)(a-1)äquiv 0{pmod {p}}}$ und weil ${displaystyle p}$ ist eine Primzahl, muss ${displaystyle aequiv -1equiv p-1{pmod {p}}}$ oder ${displaystyle aequiv 1{pmod {p}}}$.

Mit anderen Worten: 1 und ${Anzeigestil p-1}$ sind ihre eigene Umkehrung, aber jedes andere Element von ${Anzeigestil G}$ hat eine von sich selbst verschiedene Inverse. Wenn also paarweise alle Elemente von ${Anzeigestil G}$ zusammengenommen durch ihre Inverse und alle miteinander multipliziert, ist das Produkt ${Anzeigestil (p-1)!}$ modular ${displaystyle p}$ gleich -1.

Vor dem ${Anzeigestil p=11}$ ist zum Beispiel

${displaystyle 10!=1cdot 10cdot (2cdot 6)(3cdot 4)(5cdot 9)(7cdot 8) Äquiv. -1 ({mbox{mod}} 11)}$

Für den Fall, dass ${Anzeigestil p=2}$ die Aussage ist leicht zu überprüfen.

Zweiter Beweis

Paar p eine Primzahl größer als 2 ist. Betrachten Sie die Polynome

${Anzeigestil g(x)=(x-1)(x-2)cdots (x-(p-1))}$

und

${Anzeigestil f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)}$.

Der konstante Term in ${Anzeigestil f(x)}$ ist ${Anzeigestil (p-1)! 1}$.

${Anzeigestil f(x)}$ ist ein Polynom, dessen Grad höchstens ist ${Anzeigestil p-2}$ ist mit höchstens ${Anzeigestil p-2}$ Nullen; Modul ${displaystyle p}$ Das gleiche gilt. Laut der Der kleine Satz von Fermat ist jede der Zahlen ${displaystyle 1,2,ldots,p-1}$ eine Null von ${Anzeigestil f(x)}$. Dies ist unmöglich, es sei denn ${Anzeigestil f(x)=0{pmod {p}}}$, das heißt, es sei denn, jeder Koeffizient von ${Anzeigestil f(x)}$ durch ${displaystyle p}$ teilbar ist und die Konstante ${Anzeigestil (p-1)! 1}$ Desweiteren.

Zusammengesetzte Zahlen

Vor dem Zusammengesetzte Zahlennein > 4 gilt:

${displaystyle (n-1)!äquiv 0mod n}$,

d.h. ${Anzeigestil (n-1)!}$ ist teilbar durch nein.

Vor dem nein = 4 ist:

${Anzeigestil (n-1)!=3!Äquiv. 2mod 4}$

Allgemeine Form des Satzes

Eine allgemeine Form ist für jede ungerade Primzahl p und für jede positive ganze Zahl k weniger als p:

${Anzeigestil (k-1)!(p-k)! Äquiv. (-1)^{k} {mbox{mod}} p}$

was mit volle Einweisung nachgewiesen werden kann.

Von Gauss folgende Form des Satzes ist bekannt:

${displaystyle prod _{ egin{matrix}1leq a$

in welchem p ist eine ungerade Primzahl.

Beispiel

Die folgende Tabelle zeigt die Werte von nein von 2 bis 30, (nein −1)! und (nein −1)! mod nein.wenn nein ist prim, dann ist die Hintergrundfarbe Rosa. Und wenn nein eine zusammengesetzte Zahl ist, dann ist die Hintergrundfarbe hellgrün.

Resttabelle modulo nein

${displaystyle n}$	${Anzeigestil (n-1)!}$	${Anzeigestil(n-1)! { mod { }}n}$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0