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In dem Mathematik ist ein modulare Form Ein (Komplex) analytische Funktion auf der obere Halbebene die zu einem bestimmten Typ gehören Funktionsgleichung im Hinblick auf den Betrieb der modulare Gruppe und erfüllt auch eine Wachstumsbedingung. Die Theorie der Modulformen gehört daher zu den komplexe Analyse, aber die Hauptbedeutung der Theorie liegt traditionell in ihren Verbindungen mit der Zahlentheorie. Modulare Formen finden sich auch in anderen Bereichen, wie z algebraische Topologie und der Stringtheorie.

Ein modulare Funktion ist eine modulare Form, die unveränderlich bezieht sich auf die modulare Gruppe, jedoch ohne die Bedingung, dass ${Anzeigestil f(z)}$Holomorph ist im Unendlichen. Stattdessen modulare Funktionen meromorph bei unendlich.

Die Theorie der Modulformen ist ein Spezialfall der allgemeineren Theorie der automorphe Formen, und kann daher als die konkreteste Manifestation einer reichen Theorie der diskrete Gruppen.

Modulare Formen für ${displaystyle mathrm {SL} (2,mathbb {Z} )}$

Eine modulare Form des Gewichts ${displaystyle k}$ für die modulare Gruppe

${displaystyle mathrm {SL} (2,mathbb {Z} )=left{left({ egin{array}{cc}a&b/c&dend{array}}ight),a,b,c,din mathbb {Z} ,ad -bc=1ight}}$

ist ein komplexwertig Funktion ${displaystyle f}$ auf der obere Halbebene${displaystyle mathbb {H} ={satz mathbb {C} ;Im(z)>0}}$ das die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. ${displaystyle f}$ ist ein holomorphe Funktion An ${displaystyle mathbb {H} }$;
2. für jeden ${displaystyle-Satz mathbb {H} }$ und ${displaystyle a,b,c,din mathbb {Z}}$ von ${displaystyle ad-bc=1}$ gilt ${displaystyle fleft({frac {az b}{cz d}}ight)=(cz d)^{k}f(z)}$;
3. ${displaystyle f}$ muss holomorph sein für ${displaystyle z o iinfty }$.

Die letzte Bedingung wird auch dadurch ausgedrückt, dass ${displaystyle f}$ ist "holomorph bis zum Höcker", eine Terminologie, die weiter unten erläutert wird. Das Gewicht ${displaystyle k}$ ist normalerweise positiv gerade Zahl.

Die zweite Bedingung mit den Matrizen ${displaystyle S=left({ egin{array}{cc}0&-1/1&0end{array}}ight)}$ und ${displaystyle T=left({ egin{array}{cc}1&1/0&1end{array}}ight)}$ liest sich entsprechend

${Anzeigestil f(-1/z)=z^{k}f(z)}$

und

${Anzeigestil f(z 1)=f(z)}$

Schon seit ${Anzeigestil S}$ und ${Anzeigestil T}$ die modulare gruppe ${displaystyle mathrm {SL} (2,mathbb {Z} )}$generieren die zweite obige Bedingung ist äquivalent zu diesen beiden Gleichungen. Beachten Sie, dass seit

${Anzeigestil f(z 1)=f(z)}$,

modulare Formen sind periodisch mit Periode 1 und somit a die Fourierreihe haben. Beachten Sie, dass für ungerade ${displaystyle k}$ nur die Nullfunktion kann die zweite Bedingung erfüllen.

Definition in Bezug auf Gitter oder elliptische Kurven

Eine modulare Form kann äquivalent als Funktion definiert werden ${displaystyle f}$ von dem Sammlung von Gitter${Anzeigestil Lambda }$ in ${displaystyle mathbb {C} }$ (was bedeutet Untergruppen von ${displaystyle mathbb {C} }$ Dass isomorph Zusammensein mit ${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$) mit der Menge von komplexe Zahlen die bestimmte Bedingungen erfüllt:

1. Wenn das Gitter ${displaystyle Lambda =langle alpha ,zangle }$ betrachtet, dass durch eine Konstante ${displaystyle alpha }$ erzeugt wird; und eine Variable ${Anzeigestil z}$, dann ist ${Anzeigestil f(Lambda)}$ Ein analytische Funktion von ${Anzeigestil z}$.
2. wenn ${displaystyle alpha }$ ein Nicht-Null komplexe Zahl ist und αΛ ist das Gitter, das von jedem Element von erhalten wird ${Anzeigestil Lambda }$ von ${displaystyle alpha }$ multiplizieren, dann ${displaystyle f(alpha Lambda)=alpha^{-k}F(Lambda)}$, in welchem ${displaystyle k}$ ist eine Konstante (normalerweise eine positive ganze Zahl), die genannt wird Last der modularen Form.
3. Die Absolutwert von ${Anzeigestil f(Lambda)}$ bleibt von oben begrenzt, solange der Absolutwert des kleinsten von Null verschiedenen Elements in ${Anzeigestil Lambda }$ ist von 0 begrenzt.

Die Hauptidee beim Beweis der Äquivalenz der beiden Definitionen ist, dass eine solche Funktion ${displaystyle f}$ bestimmt durch seine Werte auf Rastern der modularen Form ${Displaystil langle 1, Omega-Winkel }$, bei welchem ${displaystyle omega in mathbb {H} }$; dies als Folge der ersten Eigenschaft.

Modulare Funktionen

Wenn das Gewicht ${displaystyle k}$ gleich Null kann gezeigt werden, dass die einzigen modularen Formen konstante Funktionen sind. Weglassen der Anforderung, dass ${displaystyle f}$ muss holomorph sein führt zu dem Begriff modulare Funktionen. Eine Funktion ${displaystyle f:mathbb {H} oder mathbb {C}}$ wird dann und nur dann heißt modular, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

1. ${displaystyle f}$ ist meromorph in dem obere Halbebene${displaystyle mathbb {H} }$.
2. Für jeden Matrix${displaystyle left({ egin{array}{cc}a&b/c&dend{array}}ight)}$ in dem modulare Gruppe ${Anzeigestil Gamma }$, ${displaystyle fleft({frac {az b}{cz d}}ight)=f(z)}$.
3. Wie oben angedeutet, bedeutet die zweite Bedingung, dass ${displaystyle f}$ ist periodisch und daher a die Fourierreihe hat. Die dritte Bedingung ist, dass diese Folge der Form
   ${displaystyle quad f(z)=sum _{n=-m}^{infty}a_{n}e^{2ipi nz}}$
   ist. Es wird oft in Bezug auf . beschrieben ${displaystyle q=exp(2pi iz)}$ (das Quadrat der Name),
   ${displaystyle quad f(z)=sum _{n=-m}^{infty}a_{n}q^{n}}$

Dies wird auch als bezeichnet ${Anzeigestil q}$-Erweiterung^[1] von ${displaystyle f}$. Die Koeffizienten ${displaystyle a_{n}}$ sind als Fourier-Koeffizienten von bekannt ${displaystyle f}$, und die Zahl ${displaystyle m}$ wird die Ordnung der Schwimmbad von ${displaystyle f}$ in ${displaystyle iinfty }$ namens. Dieser Zustand wird oft als "meromorph bis zum Höcker" bezeichnet. Dies bedeutet, dass nur endlich viele Koeffizienten von Termen mit negativem Exponenten von Null verschieden sind, sodass die ${Anzeigestil q}$Die Expansion von unten ist beschränkt, was garantiert, dass die Expansion meromorph ist in ${Anzeigestil q=0}$.^[2]

Sonstiges

Ganze Formen

wenn ${displaystyle f}$Holomorph steht an der Schwelle (d.h. nein Schwimmbad hat in ${Anzeigestil q=0}$), wird es a vollständig modulare Form namens.

wenn ${displaystyle f}$ ist meromorph, aber nicht holomorph an der Spitze, es wird a unvollständige modulare Form namens. Die j-invariante ist zum Beispiel eine unvollständige modulare Form mit Gewicht 0 und einem einzelnen Pol in ${displaystyle iinfty }$.

Automorphe Faktoren und andere Verallgemeinerungen

Andere gängige Verallgemeinerungen erlauben Gewichtung ${displaystyle k}$ Nein gerade Zahl sein müssen und auch einen Multiplikator zulassen ${Anzeigestil Varepsilon (a,b,c,d)$ von ${displaystyle links|varepsilon (a,b,c,d)ight|=1}$ erscheint in der Transformation, so dass

${displaystyle fleft({frac {az b}{cz d}}ight)=varepsilon (a,b,c,d)(cz d)^{k}f(z)}$

Merkmale der modularen Form ${Displaystil Varepsilon (a,b,c,d)(cz d)^{k}}$ sind bekannt als automorphe Faktoren.

Funktionen wie die Dedekind-η Funktion, eine modulare Form von Gewicht 1/2, kann in die Theorie eingepasst werden, indem man automorphe Faktoren berücksichtigt. Verlassen ${Anzeigestil-Chi}$ Zum Beispiel ein Dirichlet-Charakter mod ${Displaystil N}$ zu sein. Eine modulare Form des Gewichts ${displaystyle k}$, Niveau ${Displaystil N}$ (oder Levelgruppe ${Displaystil Gamma _{0}(N)}$) von nebentypus${Anzeigestil-Chi}$ ist ein holomorphe Funktion${displaystyle f}$ auf der obere Halbebene so dass für jeden

${displaystyle { egin{pmatrix}a&b/c&dend{pmatrix}}in Gamma _{0}(N)}$

und nur ${Anzeigestil z}$ in dem obere Halbebene zählt das

${displaystyle fleft({frac {az b}{cz d}}ight)=chi (d)(cz d)^{k}f(z)}$

und das ${displaystyle f}$ Ein holomorphe Funktion ist auf allen Spitzen; Wenn die modulare Form an allen Höckern verschwindet, wird sie Höckerform genannt.

Beispiele

Die einfachsten Beispiele für modulare Formen sind die Eisenstein-Reihe. Für jeden Moment gerade Zahl${displaystyle k>2}$ man definiert ${displaystyle E_{k}(Lambda)}$ als die Summe von ${Anzeigestil Lambda ^{-k}}$ über alles Vektoren${ Anzeigestil Lambda }$ von ${Anzeigestil Lambda }$, ungleich 0:

${displaystyle E_{k}(Lambda)=Summe _{Lambda in Lambda ,Lambda eq 0}Lambda ^{-k}}$

Die Bedingung ${displaystyle k>2}$ wird benötigt für Konvergenz; die Bedingung, dass ${displaystyle k}$Ein bisschen wird verhindert ${Anzeigestil Lambda ^{-k}}$ fällt weg gegen ${displaystyle (-lambda )^{-k}}$.

Ein ebenso unimodulares Raster${Anzeigestil L}$ in ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist ein Gitter erzeugt von ${Displaystil N}$ Vektoren, die die Spalten von a . darstellen Matrix von bestimmend 1 und erfüllt die Bedingung, dass es Quadrat von der Länge jedes Vektor in ${Anzeigestil L}$ ist eine gerade ganze Zahl. Als Ergebnis der Poisson-Summenformel ist der Theta-Funktion

${displaystyle vartheta _{L}(z)=sum _{lambda in L}e^{pi iVert lambda Vert ^{2}z}}$

ein modulares Gewicht ${Anzeigestil N/2}$. Es ist nicht so einfach, gleich unimodulare Gitter zu konstruieren, aber es gibt einen Weg: Lass ${Displaystil N}$ sei eine durch 8 teilbare ganze Zahl und betrachte alle Vektoren ${displaystyle vin mathbb {R} ^{n}}$ so dass ${Displaystil 2v}$ hat ganzzahlige Koordinaten, die entweder alle gerade oder alle ungerade sind und so dass die Summe der Koordinaten von ${Anzeigestil v}$ ist eine gerade ganze Zahl. Wir nennen dieses Gitter ${displaystyle L^{n}}$. wenn ${Anzeigestil N=8}$ ist das Gitter, das von den Wurzeln im erzeugt wird Wurzelsystem, bekannt als E₈. Da es außer der Skalarmultiplikation nur eine Modulform mit Gewicht 8 gibt, gilt:

${displaystyle vartheta _{L_{8} imes L_{8}}(z)=vartheta _{L_{16}}(z)}$,

trotz der gitter ${displaystyle L_{8}imes L_{8}}$ und ${displaystyle L_{16}}$ sind nicht vergleichbar. John Milnor beobachtet, dass die 16-dimensionale torisch die erhalten werden durch ${displaystyle mathbb {R} ^{16}}$ Dividieren durch diese beiden Gitter, als Ergebnis sind Beispiele für kompakt Riemann Sorten Dass isospektral, aber nicht isometrisch zu sein.

Die Dedekind-eta-Funktion ist definiert als

${displaystyle eta(z)=q^{1/24}prod_{n=1}^{infty}(1-q^{n}), q=e^{2pi iz}}$

Dann ist die modulare Diskriminante${Anzeigestil Delta (z)=eta (z)^{24}}$ eine modulare Form von Gewicht 12. Das Vorhandensein von 24 kann mit dem verbunden werden Blutegel-Kader, die 24 Dimensionen hat. Eine berühmte Vermutung von Ramanujan behauptet, dass die ${displaystyle q^{p}}$ Koeffizienten für jeden Primzahl${displaystyle p}$ Ein Absolutwert für die gilt, dass sie kleiner oder gleich ist ${displaystyle 2p^{11/2}}$. Das wurde gefragt von Pierre Deligne in seiner Arbeit an der Weil Vermutungen.

Das zweite und dritte Beispiel zeigen etwas über die Beziehung zwischen modularen Formen und einigen klassischen Fragen im Zahlentheorie: wie die Darstellung von ganzen Zahlen durch quadratische Formen und der Partitionsfunktion. Die entscheidende konzeptionelle Verbindung zwischen Modulformen und Zahlentheorie wird durch die Theorie der Hecke-Betreiber, die auch eine Verbindung zwischen der Theorie der Baukastenformen und der Darstellungstheorie.

Verallgemeinerungen

Neben der klassischen Verwendung gibt es weitere Anwendungen des Begriffs 'Modulare Funktion', zum Beispiel in der Theorie der Haargrößen ist das eine funktion ${Anzeigestil Delta (g)}$ die durch die Konjugationsaktivität bestimmt wird.

• Modulare Formen von Maass zu sein real-analytisch Eigenfunktionen des Laplazianer, das nicht Holomorph muss sein. Es wurde festgestellt, dass die holomorphen Anteile bestimmter schwacher Maass-Wellenformen im Wesentlichen Ramanujans theta-features nachgeahmt zu sein. Gruppen, die keine Untergruppen von . sind ${displaystyle mathrm {SL} (2,mathbb {Z} )}$ es kann in Betracht genommen werden.

• Hilbert modulare Formen zu sein Funktionen in ${Displaystil N}$ Variablen, wobei jede Variable a . ist komplexe Zahl in dem obere Halbebene das erfüllt eine modulare Beziehung für 2×2-Matrizen mit Elementen in a gesamtes reelles Zahlenfeld.

• Siegel modulare Formen genauso sein mit größeren symplektische Gruppen verbunden, mit denen die oben besprochenen modularen Formen verbunden sind ${displaystyle mathrm {SL} (2,mathbb {R} )}$, mit anderen Worten, sie sind verwandt mit abelsche Sorten im gleichen Sinne wie unsere Formen (die manchmal auch elliptische modulare Formen heißen (um den Punkt zu betonen) zu elliptische Kurven sind verwandt.

• Jacobi modulare Formen sind eine Mischung aus modularen Formen und elliptische Funktionen. Beispiele für solche Funktionen sind ganz klassisch - die Jacobi-Theta-Funktionen und die Fourier-Koeffizienten der Siegel-Modularformen der Gattung zwei - aber es ist eine relativ neue Beobachtung, dass die Jacobi-Modularformen eine arithmetische Theorie haben, die der üblichen Theorie der Modulformen sehr analog ist.

• Automorphe Formen den Begriff der modularen Formen auf allgemeine erweitert Lügengruppen.

Geschichte

Die Theorie der modularen Formen wurde in vier Perioden entwickelt: zunächst im ersten Teil des neunzehntes Jahrhundert im Zusammenhang mit der Theorie der elliptische Funktionen; dann gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts von Felix Klein und andere als automorphes Formkonzept (für eine Variable) wurde allmählich verstanden; dann ab 1925 Erich Hecke; und schließlich in den 1960er Jahren, als die Bedürfnisse der Zahlentheorie und insbesondere die Formulierung der Der Satz von Shimura-Taniyama machte deutlich, dass modulare Formen dabei eine wichtige Rolle spielen.

Die Prägung des Begriffs Baukastenform wird meist zurückgeführt auf Erich Hecke.

Fußnoten

Verweise

• Jean-Pierre Serre, Ein Kurs in Arithmetik. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Kapitel VII bietet eine elementare Einführung in die Theorie der Baukastenformen.
• Tom M. Apostol, Modulare Funktionen und Dirichlet-Reihen in der Zahlentheorie (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Goro Shimura, Einführung in die arithmetische Theorie automorpher Funktionen. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Bietet eine fortschrittlichere Behandlung.
• Stephen Gelbart, Automorphe Formen auf Adele-Gruppen. Annalen der Mathematik Studien 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Bietet eine Einführung in modulare Formen aus darstellungstheoretischer Sicht.
• Robert A. Rankin, Modulare Formen und Funktionen, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• Steins Notizen zu ribets Uni Modulare Formen und Hecke-Operatoren
• Erich Hecke, Mathematische Arbeit, Göttingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• N.P. skoruppa, D. Zagier, Jacobi-Formen und ein gewisser Raum modularer Formen, Erfindungen Mathematik, 1988, Springer