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Rooster (wiskunde)
Ein dreieckiges gleichseitiges Gitter in der euklidischen Ebene.

EIN Zeitplan in dem Mathematik ist ein diskret Menge von Punkten, Gitterpunkte genannt, in a euklidischer Raum.

Es ist ein geometrisch Werkzeug, um kontinuierliche Elemente diskreten Gitterpunkten zuzuordnen. Fahrpläne lassen sich am besten anhand von Beispielen beschreiben. Ein bekanntes Beispiel ist das von den Punkten mit ganzzahligen Koordinaten gebildete Gitter. Die Elemente eines Rasters werden oft als Rasterpunkte bezeichnet. Die Abbildung rechts zeigt ein dreieckiges Gitter.

Im ursprünglichen Sinne sind die Punkte in einem Gitter gleich weit voneinander entfernt. Aus praktischen Gründen ist es möglich, ein Raster zu wählen, bei dem die Punkte nicht unbedingt den gleichen Abstand haben. Raster sind zum Beispiel besonders nützlich bei der Verwendung von Computers, wie in der numerische Mathematik und mit Computergrafik.

EIN Entität kann a Linie, eine zweidimensionale Fläche oder eine Figur, eine dreidimensionale Fläche oder ein dreidimensionaler Raum oder Körper sein. Theoretisch wäre es auch möglich, Raster für Entitäten mit höheren Maße sich etwas einfallen lassen. Ein Raster besteht aus einer Sammlung von Rasterpunkten, die in der Entität platziert werden. Für jeden Punkt im Objekt wird dann bestimmt, zu welchem ​​Gitterpunkt er gehört.

Zweck eines Zeitplans

Ein Raster unterteilt das, über dem das Raster platziert ist, in Zellen. Dadurch ist es möglich, ein Koordinatensystem einzurichten, nach dem jeder Punkt anhand einer Koordinate bestimmt werden kann. Zum Beispiel sind die Breiten- und Längengrade auf der Erdoberfläche ein Raster, das sich um die Boden gelegt wurde.

Wenn die Abmessungen des Gitters endlich sind, wird eine endliche Anzahl von Zellen erzeugt. Dadurch ist es möglich, Daten über dieses Objekt pro Zelle zu sammeln. Beispielsweise wird ein Raster über einer Karte platziert. Dann messen wir die Höhe oben für jede Zelle TASSE. Das Gitter bildet dann a Höhenkarte, die wir verwenden könnten, um a . zu erstellen Visualisierung der Website zu machen.

In einer Rasterzelle können mehrere Messpunkte vorkommen, wobei der Mittelwert, der höchste oder der niedrigste Messpunkt als signifikant für die zu speichernde Zelle angesehen werden kann.

Vorteile der Verwendung von Gittern sind:

  • Reduzierung der Datenmenge, die gesammelt und gespeichert werden muss
  • Filterung von Messdaten
  • Einfacher zu suchen und zu vergleichen

Einheitliche und uneinheitliche Zeitpläne

Gleichmäßig verteilte Gitterpunkte mit ihrer Dirichlettesslation und Delaunay-Triangulation daneben

Die Dienstpläne sind in zwei Kategorien unterteilt:

  • Einheitliche Zeitpläne
  • Ungleichmäßige Raster - Dies sind Raster, bei denen die Rasterpunkte an einigen Stellen näher beieinander liegen als an anderen.

Ein gleichmäßiges Gitter ist ein Gitter, bei dem die Differenzvektoren der Ortsvektoren aller Gitterpunktpaare a Gruppe Formen. Wenn der Ursprung ein Gitterpunkt ist, bilden die Positionsvektoren der Gitterpunkte eine Gruppe. Im allgemeinen Fall ist ein einheitliches Gitter also eine verschobene Version eines solchen Gitters. Hat einen einheitlichen Zeitplan Translationssymmetrie mit der genannten Gruppe als Translationsvektoren, und zumindest auch Punktsymmetrie relativ zu jedem Rasterpunkt.

Insbesondere a diskretÜbersetzungsgruppe ein einheitliches Raster. Für jeden Raum können einheitliche Raster nach ihrer zusätzlichen Symmetrie klassifiziert werden. In 2D gibt es fünf Typen (siehe auch 2D-Übersetzungsraster), mit außer Isometrie und Skalierung:

  • keine Freiheitsgrade: Quadrat (quadratisches Raster), Raute mit Winkeln von 60° und 120° (sechseckiges Raster)
  • ein Freiheitsgrad: Rechteck (Rechteckraster), Raute (Rhombusraster)
  • zwei Freiheitsgrade: Parallelogramm (schiefes Raster)

Gleichmäßige Gitter haben den Vorteil, dass die Ermittlung der Gitterpunkte eine triviale Angelegenheit ist. In einem quadratischen Raster können die Rasterpunkte beispielsweise in gleichen Abständen voneinander platziert werden. Diese Gitter sind daher aufgrund ihrer Einfachheit sehr angenehm zu verwenden.

Der Nachteil von einheitlichen Rastern besteht darin, dass in vielen praktischen Situationen an manchen Stellen eine hohe Auflösung gewünscht wird, während an vielen anderen Stellen eine niedrigere Auflösung akzeptabel ist. Wenn wir beispielsweise eine Höhenkarte eines flachen Gebiets mit zwei Hügeln erstellen, können wir für das flache Gebiet eine niedrige Auflösung verwenden, da eine Ebene unabhängig von der Auflösung flach bleibt. In der Nähe der Hügel bräuchten wir allerdings eine höhere Auflösung, da die Auflösung dort direkt den Detail bestimmt.

Ungleichmäßig verteilte Gitterpunkte mit ihrer Dirichlette-Sellation und Delaunay-Triangulation daneben

In solchen Situationen können ungleichmäßige Gitter verwendet werden. In der Nähe der Hügel werden mehr Gitterpunkte platziert als auf der Ebene. Aus diesen Gitterpunkten werden dann Gitterzellen bestimmt.

Durch die Verwendung von ungleichmäßigen Rastern kann die Menge an Speicher und Rechenleistung, die zum Erreichen der gewünschten Details erforderlich ist, stark reduziert werden.

Ermittlung von Rasterpunkten

Der erste Schritt beim Generieren eines Gitters besteht darin, die Gitterpunkte zu generieren. Dies ist bei einheitlichen Dienstplänen trivial. Für ungleichmäßige Gitter werden eine Reihe von Techniken verwendet, darunter:

  • Zufällige Rasterpunkte - Dies teilt das zu rasternde Objekt in eine Reihe von Dichtezonen. Über eine Wahrscheinlichkeitsziehung werden dann Gitterpunkte generiert, so dass relativ mehr Punkte in Zonen mit höherer Dichte landen als in Zonen mit geringer Dichte.
  • Raycasting - Horizontale Rasterlinien werden über das zu rastende Objekt gelegt. Auf den waagerechten Rasterlinien werden dann Rasterpunkte erzeugt, wobei ein Rasterpunkt nicht zu nah an der Objektkante und eventuell bereits gezeichneten Punkten liegen darf. Die Punkte werden innerhalb dieser Beschränkung in einem minimalen Abstand voneinander platziert.

Bestimmung von Rasterzellen

Nachdem die Gitterpunkte bestimmt wurden, müssen noch die Gitterzellen bestimmt werden. Dies kann auf verschiedene Weise erfolgen.

Voronoi-Diagramm

Eine häufig verwendete Methode ist Voronoi-Diagramm. Im Voronoi-Diagramm ist jeder Gitterpunkt der Mittelpunkt einer Zelle. Alle Punkte, die näher an diesem Gitterpunkt liegen als an jedem anderen Gitterpunkt, befinden sich in der Zelle. Dadurch entstehen polygonförmige Zellen.

Diese Technik wird auch als Dirichlettesselatie bezeichnet.

Delaunay-Triangulation

Wenn ein Dirichlette-Set hergestellt wird, a Delaunay-Triangulation bestimmt werden. Werden alle Gitterpunkte verbunden, deren zugehörige Polygone einen gemeinsamen Punkt haben, entstehen Dreiecke. Dies wird als Delaunay-Triangulation bezeichnet. Die Delaunay-Triangulation gilt als die beste Triangulationstechnik, da sie die Summe der kleinsten Winkel über alle Dreiecke maximiert und Dreiecke mit spitzen Winkeln so weit wie möglich vermeidet.

Siehe auch

Quellen