WikiDer > Unendliches Produkt

In dem Mathematik wird für a Warteschlange von Zahlen ${displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},ldots }$ es unendliches Produkt

${displaystyle prod _{k=1}^{infty }a_{k}=a_{1}cdot a_{2}cdot a_{3}cdot ldots }$

definiert als die Grenze der Folge der Teilprodukte

${displaystyle prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}cdot a_{2}cdot ldots cdot a_{n}}$

wenn ${displaystyle n}$ steigt auf unbestimmte Zeit an. Das Produkt soll sein konvergiert, wenn der Grenzwert existiert und ungleich Null ist. Ansonsten heißt es, dass das Produkt divergiert. Der Wert Null wird speziell behandelt, um analoge Ergebnisse wie für . zu erhalten unendliche Summen. Wenn das Produkt konvergiert, dann ist der Grenzwert der Folge ${Anzeigestil (a_{n})}$ gleich 1. Umgekehrt gilt im Allgemeinen nicht, dass, wenn die Folge gegen 1 konvergiert, auch das unendliche Produkt konvergiert.

Ein strengeres Kriterium verwendet die Logarithmus. wenn ${displaystyle log a_{n}}$ ist für alle definiert ${displaystyle n,}$ gilt

${displaystyle log prod _{n=1}^{infty }a_{n}=sum _{n=1}^{infty }log a_{n}}$

mit dem Produkt links dann und nur dann konvergieren, wenn die Summe rechts konvergiert. Dies ermöglicht die Übersetzung von Konvergenzkriterien für unendliche Summen zu Konvergenzkriterien für unendliche Produkte.

Zum Beispiel für Produkte, bei denen jeder ${displaystyle a_{n}geq 1}$, kann geschrieben werden als ${displaystyle a_{n}=1 p_{n}}$, mit ${displaystyle p_{n}geq 0}$, lass die grenzen

${displaystyle 1 sum _{n=1}^{N}p_{n}leq prod _{n=1}^{N}(1 p_{n})leq exp left(sum _{n=1}^{ N}p_{n}nacht)}$

sehen Sie, dass das unendliche Produkt genau so konvergiert wie die unendliche Summe der ${displaystyle p_{n}}$ konvergiert.

Die bekanntesten Beispiele für unendliche Produkte sind wohl einige der Formeln für ${Anzeigestil pi}$, wie die beiden folgenden Produkte, bzw. von François Viete und John Wallis (Walliser Produkt):

${displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2 {sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2 {Quadrat {2 {Quadrat {2}}}}}}{2}}ldots }$

${displaystyle {frac {pi}{2}}={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5} }cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}ldots =prod _{n=1} ^{infty }left({frac {4cdot n^{2}}{4cdot n^{2}-1}}ight)}$

Siehe auch

• Serie
• Fortsetzung Fraktur

Externer Link

• (und) Unendliches Produkt auf MathWorld