WikiDer > Basler Problem

Die sogenannte Basel-Problem ist ein berühmtes Problem aus dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik. Das Basler Problem wurde erstmals 1644 von Pietro Mengoli und wurde fast hundert Jahre später, 1735, von Leonhard Euler. Das Problem ist die Stadt Basel wird als das Zuhause von Euler und der Familie bezeichnet Bernoullic. Mehrere Bernoullis hatten dieses Problem zuvor nicht gelöst. Da das Problem seit drei Generationen auch die führenden generation Mathematiker konnte nicht gelöst werden, sein Beweis brachte dem 28-jährigen Euler sofortigen Ruhm. Unter Verwendung von Serienentwicklungen Euler lieferte eine Lösung, die mehr beweist als nur das Basler Problem. Mehr als hundert Jahre später, im Jahr 1859, waren seine Ideen Bernhard Riemann in seinem fruchtbaren Artikel aufgegriffen und weiter ausgearbeitet Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (Über die Zahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene Zahl), wobei Riemann de Riemann-Zeta-Funktion und bewies auch die grundlegenden Eigenschaften dieser Zetafunktion.

Das Baseler Problem fragt nach dem Summe des multiplikative Inverse des Quadrate des natürliche Zahlen, d.h. die (genaue) Summe der Serie:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}=lim _{no infty }left({frac {1}{1^{2}}} {frac {1}{2^{2}}} ldots {frac {1}{n^{2}}}ight).}$

Diese Serie ist ungefähr gleich 1,644 934^[1]. Das Baseler Problem erfordert jedoch sowohl die genau Summe dieser Zeile, sowie auf die Beweis dass diese Summe stimmt. Euler konnte beweisen, dass:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {pi ^{2}}{6}}}$

und gab diese Entdeckung 1735 bekannt. Seine Argumente basierten jedoch auf Manipulationen, die zu seiner Zeit ebenfalls nicht erlaubt waren. 1741 lieferte er einen mathematisch schlüssigen Beweis.

Eulers Beweis

Die Serienentwicklung der Sinus ist:

${displaystyle sin(x)=x-{frac {x^{3}}{3!}} {frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7! }} cdot .}$

Durch Teilen durch ${Anzeigestil x}$ man bekommt

${displaystyle {frac {sin(x)}{x}}=1-{frac {x^{2}}{3!}} {frac {x^{4}}{5!}}-{frac {x ^{6}}{7!}} cdots ,.}$

Jetzt die Nullen dieser Funktion genau das gesamte Vielfaches von ${Anzeigestil pi}$, also die punkte ${displaystyle x=ncdot pi}$ vor dem ${displaystyle nin mathbb {Z} .}$

Wenn man die Reihe als das Produkt der durch die Wurzeln bestimmten linearen Faktoren ausdrückt, erhält man wie bei endlichen Polynomen:

${displaystyle { egin{aligned}{frac {sin(x)}{x}}&{}=left(1-{frac {x}{pi}}ight)left(1 {frac {x}{pi}} ight)left(1-{frac {x}{2pi}}ight)left(1 {frac {x}{2pi}}ight)left(1-{frac {x}{3pi }}ight)left(1 { frac {x}{3pi }}ight)cdots /&{}=left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}}}ight)left(1-{frac {x^{2 }}{4pi ^{2}}}ight)left(1-{frac {x^{2}}{9pi ^{2}}}ight)ldots end{ausgerichtet}}}$

Formale Multiplikation dieses Produkts liefert die Koeffizient von ${Displaystil x^{2}}$:

${displaystyle -left({frac {1}{pi ^{2}}} {frac {1}{4pi ^{2}}} {frac {1}{9pi ^{2}}} cdots ight)=-{ frac {1}{pi ^{2}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}.}$

In der ursprünglichen Entwicklung von ${Anzeigestil sin(x)/x}$ ist der Koeffizient von ${Displaystil x^{2}}$ gleich −1/(3!) = −1/6. Aus der Gleichsetzung dieser beiden Koeffizienten folgt:

${displaystyle -{frac {1}{6}}=-{frac {1}{pi ^{2}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}} },}$

oder auch:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {pi ^{2}}{6}}.}$

Beziehung zur Riemannschen Zetafunktion

Das Riemann-Zeta-Funktion${Anzeigestil-Zeta(s)}$ ist ein wichtiges Funktion in dem Mathematik, wegen seiner Beziehung zur Verteilung der Primzahlen. Die Funktion wird für jeden verwendet komplexe Zahlso mit echter teil > 1 definiert als:

${displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}.}$

Vor dem ${Anzeigestil s=2}$ ist deshalb:

${displaystyle zeta (2)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {1}{1^{2}}} {frac {1} {2^{2}}} {frac {1}{3^{2}}} {frac {1}{4^{2}}} cdots ={frac {pi ^{2}}{6}}ca 1.644934.}$

Dass die Serie konvergent ist, kann sein bewährt mit unten Ungleichheit:

${Displaystyle-Summe _{n=1}^{N}{frac {1}{n^{2}}}<1 Summe _{n=2}^{N}{frac {1}{n(n-1 )}}=1 Summe _{n=2}^{N}links({frac {1}{n-1}}-{frac {1}{n}}ight)=1 1-{frac {1} {N}};{stackrel {N o infty }{longrightarrow}};2.}$

Das gibt a Obergrenze: ${Anzeigestil-Zeta(2)<2}$, und da die Reihe nur positive Terme hat, muss sie konvergieren. Es kann gezeigt werden, dass ${Anzeigestil-Zeta(s)}$ eine schöne Ausdruck in Bezug auf die Bernoulli-Zahlen hat, wenn so ein positives Ein bisschen ist eine ganze Zahl. Mit ${Anzeigestil s=2n}$:

${displaystyle zeta (2n)={frac {(2pi )^{2n}(-1)^{n 1}B_{2n}}{2cdot (2n)!}}}$

Daraus folgt auch:

${displaystyle zeta(2)=pi ^{2}B_{2}={frac {pi ^{2}}{6}}}$

Ein strenger Beweis

Der folgende grundlegende Beweis ist bekannt und bei weitem der einfachste Beweis. Während viele Beweise das Ergebnis fortgeschrittener Mathematik sind, wie z Fourier-Analyse, das komplexe Analyse und der multivariable Analyse braucht nicht einmal diesen Beweis Analyse in einer Variablen, obwohl am Ende des Beweises ein einzelnes Grenze genommen.

Geschichte der Beweise

Die Beweise gehen zurück auf Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, Fußnote VIII). 1954 erschien dieser Beweis im Buch von Akiva- und Isaac Yaglom „Nichtelementare Probleme in einer elementaren Exposition“. Später, im Jahr 1982, erschien dieser Beweis in der Zeitschrift Heureka, wo die Beweise John Scholes zugeschrieben wurden, aber Scholes behauptet, er habe die Beweise von Peter Swinnerton-Dyer, und dass die Beweise auf jeden Fall zum "allgemeinen Wissen in der" Cambridge Ende der 1960er Jahre“.

Die Hauptidee hinter dem Beweis ist, die Teilsummen zu sperren

${displaystyle sum _{n=1}^{m}{frac {1}{n^{2}}}={frac {1}{1^{2}}} {frac {1}{2^{2 }}} ldots {frac {1}{m^{2}}}}$

zwischen zwei Ausdrücken, die jeweils im Grenzwert von liegen ${displaystyle pi^{2}/6}$ gehen.

Sie ${Anzeigestil x}$ eine reelle Zahl mit ${displaystyle 0$, und ${displaystyle n}$ eine ungerade natürliche Zahl. Laut der Satz von De Moivre gilt:

${displaystyle {frac {cos(nx) isin(nx)}{(sin x)^{n}}}={frac {(cos x isin x)^{n}}{(sin x)^{n}} }=links({frac {cos x isin x}{sin x}}ight)^{n}=(cot xi)^{n}.}$

Mit dem Newtons Binomial folgt:

${displaystyle (Kinderbett xi)^{n}={n wähle 0}Kinderbett ^{n}x {n wähle 1}(Kinderbett ^{n-1}x)i ldots {n wähle {n-1}}(Kinderbett x)i^{n-1} {n wähle n}i^{n}=}$

${displaystyle =left({n wähle 0}Kinderbett ^{n}x-{n wähle 2}Kinderbett ^{n-2}xpm ldots ight) ileft({n wähle 1}Kinderbett ^{n-1}x-{ n wählen Sie 3}Kinderbett ^{n-3}xpm ldots ight).}$

Ein Vergleich der Imaginärteile beider Ausdrücke ergibt:

${displaystyle {frac {sin(nx)}{(sin x)^{n}}}={n wähle 1}Kinderbett ^{n-1}x-{n wähle 3}Kinderbett ^{n-3}xpm ldots }$

nehmen ${Anzeigestil n=2m 1}$ und ${displaystyle x_{r}={frac {rpi }{2m 1}}}$ vor dem ${Anzeigestil r=1,2,ldots,m}$. Dann ist ${displaystyle nx_{r}}$ ein Vielfaches von ${Anzeigestil pi}$ und damit eine Nullstelle des Sinus, so dass für jeden ${Anzeigestil r=1,2,ldots,m}$:

${displaystyle 0={{2m 1} wähle 1}Kinderbett ^{2m}x_{r}-{{2m 1} wähle 3}Kinderbett ^{2m-2}x_{r}pm ldots (-1)^{m }{{2m 1} wählen {2m 1}}}$

Die Zahlen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{m}}$ sind voneinander verschieden und liegen im Intervall ${displaystyle(0,pi/2)}$. Da die Funktion ${Kinderbett im Displaystil ^{2}x}$injektiv liegt in diesem Intervall, sind auch die Zahlen ${displaystyle t_{r}=Kinderbett ^{2}x_{r}}$ vor dem ${Anzeigestil r=1,2,ldots,m}$ voneinander unterscheiden und damit die Wurzeln der ${displaystyle m}$-das Gradpolynom:

${displaystyle p(t)={{2m 1} wähle 1}t^{m}-{{2m 1} wähle 3}t^{m-1}pm ldots (-1)^{m}{{2m 1 } wählen Sie {2m 1}}.}$

Mit einem der Viète . Formeln die Summe der Wurzeln lässt sich direkt aus den ersten beiden Koeffizienten des Polynoms bestimmen:

${displaystyle Kinderbett ^{2}x_{1} Kinderbett ^{2}x_{2} ldots Kinderbett ^{2}x_{m}={frac { inom {2m 1}{3}}{ inom {2m 1}{ 1}}}={Frak {2m(2m-1)}{6}}}$

und mit der Ersetzung ${displaystyle csc ^{2}x=Kinderbett ^{2}x 1}$ folgt auch:

${displaystyle csc ^{2}x_{1} csc ^{2}x_{2} ldots csc ^{2}x_{m}={frac {2m(2m-1)}{6}} m={frac { 2m(2m2)}{6}}.}$

Gilt nun für das Intervall ${displaystyle(0,pi/2)}$:

${displaystyle bett ^{2}x<{frac {1}{x^{2}}}$

so dass:

${displaystyle {frac {2m(2m-1)}{6}}$

oder nach Multiplikation mit ${displaystyle (pi /(2m 1))^{2}}$:

${displaystyle {frac {pi ^{2}}{6}}links({frac {2m}{2m 1}}ight)left({frac {2m-1}{2m 1}}ight)<{frac {1 }{1^{2}}} {frac {1}{2^{2}}} ldots {frac {1}{m^{2}}}}<{frac {pi ^{2}}{6}} left({frac {2m}{2m 1}}ight)left({frac {2m 2}{2m 1}}ight).}$

Mit zunehmender ${displaystyle m}$ nähern sich sowohl der unteren als auch der oberen Grenze von ${displaystyle pi^{2}/6}$, damit folgen Sie dem Eindämmungserklärung

${displaystyle zeta (2)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{2}}}=lim _{mo infty }left({frac {1}{1^{2 }}} {frac {1}{2^{2}}} cdots {frac {1}{m^{2}}}ight)={frac {pi ^{2}}{6}}.}$

Externe Links

• (und) Eulers Lösung des Basel-Problems – die längere Geschichte PDF (61.7 KiB)
• (und) Wie Euler es geschafft hat PDF (265 KiB)
• (und) Die unendliche Reihe von Euler und den Bernoullis peppt eine Analysis-Klasse auf PDF (106 KiB)
• (und) Vierzehn Beweise für die Auswertung von ζ(2) (Vierzehn Beweise für die Auswertung von ζ(2)), gesammelt von Robin Chapman