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In dem Mathematik sind die Viète . FormelnFormeln mit denen die Koeffizienten von a Polynom ausgedrückt in Summen und Produkten der Nullen. Die Formeln sind benannt nach François Viete (oft mit der latinisierten Form seines Namens bezeichnet Francis Vieta).

Die Formeln

Im einfachen Fall eines Polynoms zweiten Grades

${displaystyle x^{2}pxq}$

mit Nullen ${displaystyle x_{1}}$ und ${displaystyle x_{2}}$, gilt:

${displaystyle x_{1} x_{2}=-p}$

und

${displaystyle x_{1}x_{2}=q}$

Das Summe-Produkt-Methode basiert auf diesen Formeln, um in Sonderfällen die Nullstellen zu bestimmen.

Verallgemeinerung

Das Polynom des Grades ${displaystyle n}$

${displaystyle a_{n}x^{n} a_{n-1}x^{n-1} ldots a_{1}x a_{0}}$

mit Real oder Komplex Koeffizienten, davon ${displaystyle a_{n}eq 0}$, laut der Fundamentalsatz der Algebra${displaystyle n}$, möglicherweise übereinstimmend, Nullen ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$.

Viètes Formeln drücken die Proportionen aus ${displaystyle a_{k}/a_{n}}$ in Summen von Produkten dieser Nullen abgezeichnet

${displaystyle { egin{cases}quad -{dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=x_{1} x_{2} ldots x_{n-1} x_{n}/quad quad {dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=(x_{1}x_{2} x_{1}x_{3} ldots x_{1}x_{n}) (x_{2 }x_{3} x_{2}x_{4} ldots x_{2}x_{n}) ldots x_{n-1}x_{n}/{}quad quad quad vdots /(-1)^{n} {dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}ldots x_{n}.end{cases}}}$

Gilt allgemein für ${displaystyle k=1,2,ldots,n}$:

${displaystyle (-1)^{k}{frac {a_{nk}}{a_{n}}}=Summe _{1leq i_{1}$

Die rechten Glieder der Formeln sind die symmetrische Funktionen des Polynoms.

Beispiel

Für das Polynom vierten Grades

${displaystyle x^{4} px^{3} qx^{2} rx s}$,

mit Nullen ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$, die Formeln sehen so aus:

${displaystyle x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}=-p}$

${displaystyle x_{1}x_{2} x_{1}x_{3} x_{1}x_{4} x_{2}x_{3} x_{2}x_{4} x_{3}x_{4} =q}$

${displaystyle x_{1}x_{2}x_{3} x_{1}x_{2}x_{4} x_{1}x_{3}x_{4} x_{2}x_{3}x_{4} =-r}$

${displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=s}$

Geschichte

Die Formeln wurden von den Franzosen des 16. Jahrhunderts entdeckt und nach ihnen benannt Mathematiker François Viète, für den Fall positiver Nullen. Nach Ansicht des britischen Mathematikers des 18. Jahrhundertscentury Charles Hutton das allgemeine Prinzip wurde zuerst von dem französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts verstanden Albert Girard.

Siehe auch

• Symmetrische Funktionen eines Polynoms
• Symmetrische Funktion
• Gauss-Lucas .theorem
• Summe-Produkt-Methode

Literatur

• Funkhouser, H. Gray, Eine kurze Darstellung der Geschichte der symmetrischen Funktionen von Gleichungswurzeln. Mathematische Vereinigung von Amerika. DOI:10.2307/2299273 (1930), 357–365.
• Vinberg, E. B., Ein Kurs in Algebra. American Mathematical Society, Providence, R. I. (2003). ISBN 0-8218-3413-4 .
• Djukić, Dusan, Das IMO-Kompendium: eine Sammlung von Problemen, die für die Internationalen Mathematikolympiaden 1959–2004 vorgeschlagen wurden. Springer, New York, N. Y. (2006). ISBN 0-387-24299-6 .