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Arten von Kegelschnitten: Links: Parabel, Mitte: Kreis und Ellipse, Recht Hyperbelol

EIN Kegelschnitt ist eine flache lineare Figur bestehend aus den Punkten von a Kegel (eigentlich ein Doppelkegel), die in einer Ebene liegen, die den Kegel schneidet. Kegelschnitte wurden bereits 200 Jahre v. Chr. verwendet. studiert von Apollonius von Perga. Je nachdem, wie der Kegel geschnitten ist, ist der Kegel eine einfache Kurve, die a Kreis, ein Ellipse oder ein Parabel, oder existiert es im Fall von a Hyperbel, aus zwei Kurven. Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse. Je nach Kontext kann die Verwendung des Wortes "Ellipse" einen Kreis enthalten oder nicht (wie bei "Rechteck" und "Quadrat"). Eine Parabel kann als Grenzfall zwischen einer Ellipse und einer Hyperbel angesehen werden.

Kreise, Ellipsen und Hyperbeln sind zentrale konische Abschnitte genannt, weil sie im Gegensatz zu einer Parabel a Center haben.

Ein Kegelschnitt wird durch fünf Punkte definiert, von denen es nicht drei gibt ausrichten oder um fünf Tangenten an einen Punkt auf dem Kegelschnitt, von denen es nicht drei gibt einen Punkt durchgehen.

Anwendungen

Es Zwei-Körper-Problem beyogen auf inverses quadratisches Gesetz hat die Kegelschnitte (mit den Hyperbeln: die Äste) als Lösungen. Im Zweikörperproblem basierend auf Schwere wenn die Masse des einen Körpers gegenüber der Masse des anderen vernachlässigbar ist, kann der schwere Körper als stationär betrachtet werden, und der Kegelschnitt ist die Bahn des leichten Körpers, wobei der schwere Körper im Brennpunkt liegt. In einer Hyperbel ist die Umlaufbahn der nächste Zweig. Das spezifische Bahnenergie ist für eine Ellipse (einschließlich eines Kreises) negativ, nämlich das Gegenteil der Gravitationskonstante mal der Masse des schweren Körpers geteilt durch die Hauptachse. Die spezifische Bahnenergie ist für eine Parabel null, für einen Hyperbelzweig positiv, nämlich die Gravitationskonstante mal der Masse des schweren Körpers geteilt durch den Abstand des betreffenden Hyperbelzweigs zum zugehörigen anderen Hyperbelzweig.

EIN Kugelbahn die Vernachlässigung des Luftwiderstands ist ein Kegelschnitt, der vom Gravitationsmodell abhängt. Bei einem gleichmäßigen Gravitationsfeld handelt es sich um eine Parabel. Von einer Kugelbahn spricht man nur, wenn die Bahn im Verhältnis zur Erdgröße kurz ist, und dann ist dies eine gute Näherung. In diesem Modell ist es nicht anwendbar, dass die spezifische Bahnenergie für eine Parabel null ist. Außerdem ist es in diesem Modell praktisch, die spezifische Bahnenergie auf die im Stillstand auf einem bestimmten Niveau zu beziehen.

Newtons Kanone

Unter der Annahme einer kugelförmigen Erde ist die exakte Umlaufbahn Teil einer Ellipse mit vertikaler Hauptachse und der Fernfokus liegt im Erdmittelpunkt. Vergleicht man die spezifische Bahnenergie in einer solchen elliptischen Bahn mit der nach dem anderen Modell, sollte sie mit der des Stillstands auf der gleichen Ebene auf der Erdoberfläche verglichen werden (beide sind in diesem Modell aufgrund der potentiellen Energie mit in Bezug auf die in unendlich großer Entfernung von der Erde), möglicherweise in beiden Fällen die Rotation der Erde um ihre Achse ignorierend.

Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands wird ein Geschoss von der Erde in horizontaler Richtung ausgestoßen (Newtons Kanone) in der Reihenfolge steigender Anfangsgeschwindigkeit in den folgenden Bahnen (wenn die Kugel die Erde trifft, natürlich nur bis zu diesem Punkt):

• Ellipse mit vertikaler Hauptachse und Fernfokus im Erdmittelpunkt
• Kreis im Mittelpunkt der Erde
• Ellipse mit vertikaler Hauptachse und dem Nahfokus im Erdmittelpunkt
• Parabel mit vertikaler Achse und dem Fokus im Erdmittelpunkt
• Hyperbelzweig mit Nahfokus im Mittelpunkt der Erde

Die Umlaufbahn durchquert somit jede Art von Kegelschnitt und jede Form davon, die Ellipsenformen zweimal. Die Exzentrizität (siehe unten) nimmt von 1 auf 0 ab und steigt dann von 0 auf unendlich. Die Exzentrizität nimmt hier mit der Anfangsgeschwindigkeit zu desda die anfängliche kinetische spezifische Energie mal die gesamte orbitale spezifische Energie steigt^[1]Dies ist der Fall, wenn die anfängliche kinetische spezifische Energie mehr als das -1/2-fache der anfänglichen potentiellen spezifischen Energie beträgt.

Exzentrizität

Vergleichen Sie Ellipse, Parabel und Hyperbel. Der Unterschied zwischen diesen wird durch ihre . bestimmt Exzentrizität.

Ellipse

Gegeben sind zwei Punkte, die Schwerpunkte ${displaystyle F_{1}}$ und ${displaystyle F_{2}}$, in gegenseitigem Abstand ${Anzeigestil 2c}$, und eine Zahl ${Anzeigestil a>c}$, dann die Ellipse ${Anzeigestil E}$ der Ort der Punkte, für die die Summe der Entfernungen zu den beiden Brennpunkten gleich ist ${Anzeigestil 2a}$.

${Anzeigestil xin Elongleftrightarrow d(x,F_{1}) d(x,F_{2})=2a}$

Parabel

Gegeben sind eine Linie ${displaystyle d}$, das Richtlinie, und ein Punkt ${Anzeigestil F}$, der Brennpunkt, nicht auf der Linie, dann die Parabel ${Anzeigestil P}$ der Ort der Punkte, bei denen die Entfernung von der Leitlinie gleich der Entfernung vom Fokus ist.

${Anzeigestil xin PLongleftrightarrow d(x,d)=d(x,F)}$

Hyperbel

Gegeben sind zwei Punkte, die Schwerpunkte ${displaystyle F_{1}}$ und ${displaystyle F_{2}}$, in gegenseitigem Abstand ${Anzeigestil 2c}$, und eine Zahl ${Anzeigestil a$, dann ist die Hyperbel der Ort der Punkte, für die die Differenz der Abstände zu den beiden Brennpunkten gleich ist ${Anzeigestil 2a}$.

${displaystyle xin Hlongleftrightarrow |d(x,F_{1})-d(x,F_{2})|=2a}$.

In einem Zweig ist der Abstand zu einem Brennpunkt am kleinsten, in dem anderen ist es der Abstand zum anderen Brennpunkt.

Exzentrizität als Abstand von einem Punkt geteilt durch Abstand von einer Linie

Beispiele für unterschiedliche Exzentrizität bei gleichem Brennpunkt und Leitlinie

Es ist auch möglich, eine gemeinsame geometrische Definition für einen Punkt, eine Ellipse (ohne Kreis), eine Parabel und eine Hyperbel zu geben. Gegeben sind eine Linie ${Displaystil l,}$ die Richtlinie, ein Punkt ${Anzeigestil F,}$ der Brennpunkt, der nicht auf der Leitlinie liegt, und eine positive Zahl ${Anzeigestil Varepsilon }$, das Exzentrizität, dann ist die Ort${Anzeigestil K}$ der Punkte ${Anzeigestil x}$ die entsprechen:

${displaystyle xin KLongleftrightarrow d(x,F)=varepsilon ;d(x,l)}$

eine Ellipse, wenn ${displaystyle 0leq varepsilon <1}$, eine parabel wie ${displaystyle varepsilon=1}$ (wie oben besprochen) und eine Hyperbel wie ${Displaystil-Varepsilon >1}$. Wenn du einen Fixpunkt erreichst ${Anzeigestil F}$ und eine feste Richtlinie ${displaystyle l}$ Wenn die Exzentrizität immer kleiner wird, wird die Ellipse nicht nur kreisförmiger, sondern auch kleiner. Vor dem ${displaystyle varepsilon=0}$ (die Exzentrizität eines Kreises) gibt diesem nur den Punkt ${Anzeigestil F}$. Wenn Sie einen Fixpunkt erreichen ${Anzeigestil F}$ macht eine Ellipse immer kreisförmiger, ohne sie auf einen Punkt zusammenzuziehen, dann bewegt sich die entsprechende Leitlinie ins Unendliche.

Vergleich

In einem kartesischen Koordinatensystem hat die Gleichung eines Kegelschnitts die Form

${displaystyle ax^{2} 2hxy by^{2} 2gx 2fy c=0}$

mit nicht allen Koeffizienten gleich Null. Auch dann stellt dies für manche Wertekombinationen der Koeffizienten keinen Kegelschnitt im vorgenannten geometrischen Sinne dar, auch keinen entarteten, da die Gleichung auch die leere Menge darstellen kann (dies gilt z.B. für die Gleichung 1 = 0, aber auch zu ${Anzeigestil x^{2} 1=0}$ und ${Anzeigestil x^{2} y^{2} 1=0}$). Wenn die Gleichung nicht die leere Menge repräsentiert, repräsentiert sie immer einen Kegelschnitt, möglicherweise einen entarteten (einen Punkt, eine Gerade oder zwei sich schneidende Geraden, siehe auch unten).

Es ist eine quadratische Gleichung in zwei Variablen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$.wenn

• ${displaystyle h^{2}=ab}$, ist die Gleichung eine Parabel oder eine Gerade,
• ${displaystyle h^{2}$, die Gleichung ist eine Ellipse (mit einem Punkt als Sonderfall),
• ${displaystyle h^{2}>ab}$, die Gleichung ist eine Hyperbel oder zwei sich schneidende Geraden,
• ${Anzeigestil a=b}$ und ${Anzeigestil h=0}$, die Gleichung ist ein Kreis (mit einem Punkt als Sonderfall),
• ${Anzeigestil a b=0}$, es ist eine rechteckige Hyperbel.

Der Kreis hat also 3 Freiheitsgrade, die Parabel 4, und die Ellipse und die Hyperbel 5. Abgesehen von der Position und der Orientierung sind dies 1, 1, 2 bzw. 2. Abgesehen von der Skalierung, also von der Form her, sie sind jeweils 0, 0, 1 und 1.

Ein vollständiger Kegelschnitt ist (außer in Ausnahmefällen) der Graph von ${Anzeigestil y}$ als Funktion von ${Anzeigestil x}$ in den folgenden zwei Fällen:

• ${Displaystil Axt^{2} 2gx 2fy c=0}$ (Parabel mit vertikaler Achse)
• ${displaystyle ax^{2} 2hxy 2gx 2fy c=0}$ (Hyperbel wo a Asymptote ist vertikal)

Matrixgleichung eines Kegelschnitts

Das symmetrische Matrix

${displaystyle C={ egin{bmatrix}a&h&g/h&b&f/g&f&cend{bmatrix}}}$

heißt die kubische Matrix des Kegelschnitts, bestimmt durch die Gleichung

${displaystyle ax^{2} 2hxy by^{2} 2gx 2fy c=0}$

Diese Gleichung kann geschrieben werden als

${Anzeigestil P^{T}CP=0}$

mit ${displaystyle P={ egin{bmatrix}x/y/1end{bmatrix}}}$

Tangente an einem Punkt eines Kegelschnitts

Die Gleichung der Tangente am Punkt ${Anzeigestil (p,q)}$ des durch die kubische Matrix gegebenen Kegelschnitts ${Anzeigestil C}$ kann geschrieben werden als

${displaystyle { egin{bmatrix}x&y&1end{bmatrix}};C;{ egin{bmatrix}p/q/1end{bmatrix}}=0}$

Beispiel

Die Tangente am Punkt ${Anzeigestil (1,1)}$ des Kegelschnitts mit Gleichung

${Anzeigestil 3x^{2} 4xy 2x-9=0}$

ist gegeben durch die Gleichung

${displaystyle { egin{bmatrix}x&y&1end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}3&2&1/2&0&0/1&0&-9end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}1/1/1end{bmatrix}}=3x y-4=0}$

Tangente von einem Punkt zu einem Kegelschnitt

Tangenten von einem Punkt ${Anzeigestil D}$ auf einem Kegelschnitt

Die Verbindungslinie der Tangenten der Tangenten von einem Punkt ${Anzeigestil D=(a,b)}$ auf einem Kegelschnitt ${Anzeigestil K}$ mit Matrixgleichung ${Anzeigestil P^{T}CP=0}$ heißt der Tangente entsprechend Punkt ${Anzeigestil D}$. Wenn die Tangentensehne bekannt ist, ist es möglich, die Tangenten aus ${Anzeigestil D}$ um den Kegelschnitt zu berechnen.

der Tangenten-Akkord ${displaystyle k}$ dem Punkt entsprechend ${Anzeigestil D}$ hat die Gleichung

${displaystyle { egin{bmatrix}x&y&1end{bmatrix}};C;{ egin{bmatrix}a/b/1end{bmatrix}}=0.}$

Darin ist ${Anzeigestil C}$ die kubische Matrix des Kegelschnitts ${Anzeigestil K}$.Sobald dieser Tangentenakkord ${displaystyle k}$ bekannt ist, die Schnittpunkte von ${displaystyle k}$ und berechne den Kegelschnitt. Diese Kreuzungen ${Anzeigestil S}$ und ${Anzeigestil T}$ sind die Tangenten der Tangenten vom Punkt ${Anzeigestil D}$ zum Kegelschnitt. Die benötigten Tangenten sind dann die Geraden ${displaystyle DS}$ und ${displaystyle DT}$.

Beispiel

Wir berechnen die Tangenten von Punkt ${Anzeigestil D=(1,0)}$ zum Kegelschnitt mit Gleichung

${Anzeigestil x^{2} 2xy-y^{2} 4x-6=0}$

Die dem Punkt entsprechende Tangentensehne ${Anzeigestil D}$ hat als vergleich

${displaystyle { egin{bmatrix}x&y&1end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}1&1&2/1&-1&0/2&0&-6end{bmatrix}}{ egin{bmatrix}1/0/1end{bmatrix}}=3x y-4= 0}$

Die Kreuzungen ${Anzeigestil S}$ und ${Anzeigestil T}$ dieser Tangentensehne mit dem Kegelschnitt sind die Lösungen des Systems

${displaystyle { egin{alignedat}{3}x^{2} 2xy-y^{2} 4x-6=0&&;=;&&0/3x y-4&&;=;&&0/end{alignedat}}}$

Die Lösungen sind ${Anzeigestil S=(1,1)}$ und ${Anzeigestil T=(11/7,-5/7)}$.

Die Tangente ${displaystyle DS}$ hat Vergleich ${Anzeigestil x=1}$.

Die Tangente ${displaystyle DT}$ hat Vergleich ${Anzeigestil 5x 4y=5}$.

Mittelpunkt einer Ellipse oder Hyperbel

Der Mittelpunkt einer Ellipse oder Hyperbel stellt den Symmetriepunkt der Figur dar. Die Koordinaten des Mittelpunkts eines solchen Kegelschnitts mit Gleichung ${displaystyle ax^{2} 2hxy by^{2} 2gx 2fy c=0;}$ sind die Lösungen des Systems

${displaystyle { egin{alignedat}{2}ax hy g;&=;&0/hx by f;&=;&0end{alignedat}}}$

entartete Kegelschnitte

Zusätzlich zu diesen „Standard“-Kegelschnitten gibt es auch degeneriert konische Abschnitte. Diese werden gebildet, indem die Schneide durch die Spitze des Kegels geführt wird. Dies ergibt einen Punkt, eine Gerade oder zwei sich schneidende Geraden.

Ein Kegelschnitt ist entartet, wenn seine Gleichung als Produkt zweier linearer Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten faktorisiert werden kann. Der Graph zerfällt dann in zwei reelle oder zwei imaginäre Linien. Sie stellen die Komponenten des entarteten Kegelschnitts dar. Der Schnittpunkt dieser Geraden wird als Doppelpunkt bezeichnet. Wenn die beiden Linien zusammenfallen, ist jeder Punkt ein Doppelpunkt. Ebenso der Kegelschnitt mit Gleichung ${Anzeigestil x^{2}-y^{2}-6x 9=0}$ in echte Rechte entartet mit Gleichung ${Anzeigestil x y-3=0}$ und ${Anzeigestil x-y-3=0}$.Der Punkt (3.0) ist der Doppelpunkt. Der Kegelschnitt ${Anzeigestil x^{2} y^{2}=0}$ verkommt zu imaginären Rechten ${Anzeigestil x iy=0}$ und ${displaystyle x-iy=0}$ und der echte Doppelpunkt steht im Ursprung (0,0).

Eine Parabel degeneriert in eine gerade Linie und eine Ellipse in zwei zusätzliche gedachte Linien. Eine Hyperbel degeneriert in zwei sich schneidende reelle Linien.

Der Kegelschnitt mit Gleichung ${displaystyle ax^{2} 2hxy mal^{2} 2gx 2fy dc^{2}=0}$ degeneriert nur, wenn

${displaystyle { egin{vmatrix}a&h&g/h&b&f/g&f&cend{vmatrix}}=0}$

Die Determinante ${displaystyle { egin{vmatrix}a&h&g/h&b&f/g&f&cend{vmatrix}}}$ heißt kubische Determinante des Kegelschnitts.

Basierend auf der Definition einer Ellipse als der Ortskurve der Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den Brennpunkten, einer gegebenen Zahl entspricht, ist der Extremfall, dass die gegebene Zahl der Abstand zwischen den Brennpunkten ist. Man erhält dann den Linienabschnitt zwischen den Brennpunkten, den man als entartete Ellipse bezeichnen könnte. Außer im Fall koinzidenter Brennpunkte, bei denen das Segment zu einem Punkt degeneriert, kann jedoch kein Segment durch Schneiden einer Ebene mit einem Kegel erhalten werden, noch gibt es irgendwelche Koeffizienten, durch die die obige Gleichung ein Segment repräsentiert.

Eine zunehmend schmaler werdende Parabel hat als "Grenze" eine Halblinie, aber auch diese kann nicht durch Schnitt einer Ebene mit einem Kegel erreicht werden, noch gibt es Koeffizienten, mit denen die obige Gleichung eine Halblinie darstellt. Ausgehend von der Definition einer Parabel als Ort der Punkte, bei denen der Abstand von der Leitlinie gleich dem Abstand vom Fokus ist, ist ein Extremfall, dass der Fokus auf der Linie liegt. Allerdings erhält man dann keine Halbgerade, sondern eine ganze Gerade, so wie wenn eine Ebene einen Kegel schneidet, die Ebene parallel zur Seite des Kegels liegt und die Ebene auf diese Seite verschoben wird: auch hier die Parabel wird immer schmaler, aber bei einer Breite von Null kommt plötzlich eine Halbgerade hinzu, die die Linie vervollständigt.

Polar Koordinaten

Im Polar Koordinaten bezüglich eines Brennpunkts ist die Gleichung eines Kegelschnitts

${displaystyle r={frac {l}{1 varepsilon cos heta }}}$

und für den fernen Zweig der Hyperbel

${displaystyle r={frac {l}{-1 varepsilon cos heta}}}$

bei welchem ${Anzeigestil-Heta}$ aus der Richtung gemessen wird, in der der Kegelschnitt dem Brennpunkt am nächsten ist, und ${displaystyle l}$ das Semilatus Rektum ist (der Abstand vom Brennpunkt zum Kegelschnitt in den Richtungen senkrecht zur Hauptachse).

Siehe auch

• Reduktion (konischer Abschnitt)