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Die Hyperbel als Kegelschnitt, hier mit streng vertikaler Schnittebene gezeichnet

In dem Geometrie ist ein Hyperbel ein Kegelschnitt (die also aus beiden Hälften eines Doppels gebildet wird Kegel mit einer Ebene), die aus zwei Kurven besteht. Diese werden die Geäst der Hyperbel.

Die Hyperbel wurde von den Griechen entdeckt MathematikerMenächmus. Der Name 'Hyperbole' kommt von Apollonius von Perga und kommt aus dem Altgriechisch: βολή, Übertreibung, übertreffend, Übertreibung von ὑπερ, hyper, Über, und βάλλειν, ballett, werfen, und bezieht sich auf die Übertreibung, den "übertriebenen Wurf" des Schnittwinkels (oder numerische Exzentrizität ${Anzeigestil Varepsilon }$, siehe unten) im Kegelschnitt. Mit zunehmendem Schnittwinkel wird der Kreis (${displaystyle varepsilon=0}$) zunächst in zunehmend verlängerten Ellipsen und schließlich über die Parabel (${displaystyle varepsilon=1}$) in eine Hyperbel (${Displaystil-Varepsilon >1}$).^[1]

Definitionen

Definition aus den Focal Points

Hyperbel in Rot, in der ${Anzeigestil c}$ (siehe 'Gleichungen') ist gleich 8. Der Wert für ${Anzeigestil a}$ gleich 2 ist, ist die Distanzdifferenz ${displaystyle d=operatorname {abs} (d_{2}-d_{1})=4.}$

Eine Hyperbel kann auch als alle Punkte beschrieben werden, für die die Differenz der Entfernungen${displaystyle d_{1}}$ und ${displaystyle d_{2}}$ bis zu zwei gewählt Punkte, das Schwerpunkte, ein konstanter Wert ${displaystyle d}$ hast. Eine Hyperbel besteht also aus zwei Ästen.

Hauptachse und Nebenachse

Eine Hyperbel hat zwei Achsen: Die Linie durch die beiden Brennpunkte der Hyperbel heißt Hauptachse und die dazu senkrechte Linie in der Mitte zwischen den Brennpunkten (und in der Mitte zwischen den Hyperbelästen) heißt de Nebenachse.

Das Achsen Rechteck einer Hyperbel ist das Rechteck, dessen zwei Seiten die Ecken der Hyperbeläste tangential sind und dessen Ecken auf den Asymptoten liegen. Die Diagonalen liegen auf den Asymptoten. Die Länge der Diagonalen ist gleich dem Abstand zwischen den Brennpunkten der Hyperbel.^[2]

Definition unter Annahme von Fokus und Zielkreis

Gegeben zwei Kreise mit gleichem Radius kleiner als der Abstand von ihren Mittelpunkten, dann sind beide Konfliktlinien eines Kreises mit dem Mittelpunkt des anderen Kreises ist eine Hyperbel. Die Mittelpunkte der Kreise sind die Brennpunkte; die Kreise werden Zielkreise genannt. Die Konfliktlinie besteht aus allen Punkten, deren Abstand vom Zielkreis gleich dem Abstand vom Mittelpunkt des anderen Zielkreises ist.

Definition unter Annahme von Fokus und Leitlinie

Eine Hyperbel ist der Ort von Punkten in der Ebene, bei dem das Verhältnis des Abstands von einem beliebigen Punkt, Brennpunkt genannt, zum Abstand von einer beliebigen Linie, genannt Leitlinie, konstant ist. Dieses konstante Verhältnis wird Exzentrizität genannt ${Anzeigestil Varepsilon }$ der Hyperbel. Für eine Hyperbel ist ${Displaystil-Varepsilon >1}$. Jedem Schwerpunkt entspricht eine Richtlinie. Die beiden Kombinationen eines Fokus und seiner (nächsten) Direktrix ergeben jeweils die vollständige Hyperbel.

Vor dem ${displaystyle varepsilon=1}$ wird die Figur a Parabel und für ${displaystyle 0$ ein Ellipse.

Die Hilfslinien stehen senkrecht zur Hauptachse im Abstand von ${displaystyle {frac {a}{varepsilon}}}$ der Nebenachse. Der Abstand von der Hyperbel zur nächsten Leitlinie ist ${displaystyle a-{frac {a}{varepsilon }}}$, das ist für ${Anzeigestil Varepsilon ca. 1}$ ungefähr gleich ${displaystyle avarepsilon -a}$. Der Abstand vom betreffenden Brennpunkt zur Hyperbel ist daher ungefähr gleich diesem. wenn ${Anzeigestil Varepsilon }$ nähert sich von oben auf 1 und ${displaystyle avarepsilon -a}$ gleich gehalten wird, und ${Anzeigestil a}$ damit nähert sich der jeweilige Hyperbelzweig in der Nähe des jeweiligen Brennpunkts der Unendlichkeit und die bestimmte Leitlinie nähert sich a Parabel, dessen Achse die Hauptachse der Hyperbel ist. Die Nebenachse und der andere Ast verschwinden, von der jeweiligen Umgebung aus gesehen, ins Unendliche, die Parabel hat nur eine Achse und einen Ast. Der Winkel zwischen den Asymptoten (mit ebenfalls weiter entferntem Scheitel) geht gegen Null.

Gleichungen

Mittelpunktgleichung

Das Punkte${Anzeigestil(x,y)}$ auf einer Hyperbel mit dem Zentrum im Ursprung und deren Brennpunkte in sind ${Displaystil B_{1}=(-c,0)}$ und ${Displaystil B_{2}=(c,0)}$ lügen, treffen:

${displaystyle left({frac {x}{a}}ight)^{2}-left({frac {y}{b}}ight)^{2}=1}$;

darin steht:

${Anzeigestil a^{2} b^{2}=c^{2}}$

Eine Ableitung dieser Gleichung ist unten angegeben.

Die Hyperbel schneidet die X-Achse in den Punkten ${Anzeigestil (-a,0)}$ und ${displaystyle(a,0)}$, und für die Entfernungen ${displaystyle d_{1}}$ und ${displaystyle d_{2}}$ von einem Punkt auf der Hyperbel zu den Brennpunkten:

${Displaystil |d_{2}-d_{1}|=2a}$

Im Gegensatz zu einer Ellipse ${displaystyle b}$ größer sein als ${Anzeigestil a}$.

Parametervergleich

Eine Hyperbel wird bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems durch die folgende parametrische Gleichung beschrieben:

${displaystyle x=pm ;acosh t}$

${displaystyle y=bsinh t}$,

Verwendung der hyperbolische Funktionen (Namen beachten!).

Polargleichung

Weitere Definitionen in Polarkoordinaten sind möglich:

${displaystyle { egin{array}{lrl}r^{2}=&a&sec 2t/r^{2}=&-a&sec 2t/r^{2}=&a&csc 2t/r^{2}=&-a&csc 2t/ Ende{array}}}$

Eigenschaften

Die Hyperbel mit Gleichung

${displaystyle left({frac {x}{a}}ight)^{2}-left({frac {y}{b}}ight)^{2}=1}$

konvergiert für große Werte von ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ zum Linienpaar:

${displaystyle y=pm {frac {b}{a}}x}$

dass die Asymptoten der Hyperbel.

Es kann gezeigt werden, dass die Schnittpunkte der Hyperbel mit der X-Achse immer innerhalb des Intervalls ${displaystyle left[-{sqrt {a^{2} b^{2}}},, {sqrt {a^{2} b^{2}}}ight]}$ Je weiter sich die Schnittpunkte zu den Brennpunkten hin bewegen, desto gekrümmter wird die Hyperbel. Die senkrechte Linie durch den Ursprung ist ein Sonderfall, die Hyperbel heißt degenerieren. Die beiden Äste der Hyperbel fallen hier zusammen, denn der Abstandsunterschied ist genau gleich 0.

Ein Sonderfall liegt vor, wenn ${Anzeigestil a=b}$. Die Asymptoten sind dann gleich den Diagonalen der xy-Ebene. Wird das Koordinatensystem um 45° gedreht, sind im neuen System die alten x- und y-Achsen die Asymptoten. In diesem neuen Koordinatensystem ${displaystyle(x',y')}$ kann die Hyperbel beschrieben werden als described umkehren Funktion

${displaystyle y'={frac {c}{x}}'}$

Zwei Hyperbeln schneiden sich in maximal vier Punkten.

Sein ${Displaystil B_{1}}$ und ${Displaystil B_{2}}$ die Brennpunkte einer Hyperbel und ${Anzeigestil P}$ ein Punkt auf der Hyperbel, dann heißen die Geraden ${displaystyle PB_{1}}$ und ${displaystyle PB_{2}}$ das Fokale Zuführungsstrahlen von diesem Punkt ${Anzeigestil P}$. Das Winkelhalbierende der fokalen Samples sind die Normale und die Tangente an die Hyperbel in Punkt ${Anzeigestil P}$.

Gleichseitige Hyperbel

Eine Hyperbel, deren Asymptoten sich treffen aufrecht Schnittpunkt wird als gleichseitige Hyperbel, orthogonale Hyperbel oder rechteckige Hyperbel bezeichnet Highlight-System goes ist eine gleichseitige Hyperbel.

Nehmen Sie nun an, dass die Asymptoten parallel zur horizontalen und vertikalen Achse verlaufen. ${Anzeigestil x=a}$ ist die Gleichung einer Asymptote und ${Anzeigestil y=b}$ vom anderen. Dann ist ${Anzeigestil (a,b)}$ der Schnittpunkt der 2 Asymptoten. Damit können wir die Hyperbel wie folgt herleiten: Die vertikale Asymptote wird gefunden als ${Anzeigestil x}$ bis um ${Anzeigestil a}$ nähert sich und ${Anzeigestil y}$ wird unendlich groß.

${displaystyle y={dfrac {1}{x-a}}}$

Wir haben also eine Hyperbel mit der richtigen vertikalen Asymptote gefunden. Wie erhalten wir eine Formel, die auch die richtige horizontale Asymptote hat? wenn ${Anzeigestil y}$ bis um ${displaystyle b}$ nähert sich, wird ${Anzeigestil x}$ unendlich groß. ${Anzeigestil x}$ wird unendlich.

${displaystyle y={dfrac {bx}{x}}}$

Was wird passieren? ${Anzeigestil y}$? Dieser wird immer bleiben ${displaystyle b}$, egal welche Nummer wir anstreben ${Anzeigestil x}$ wählen. Was aber, wenn wir diese mit unserer zuvor gefundenen Formel zusammenführen?

${displaystyle y={dfrac {bx}{x-a}}}$

wenn ${Anzeigestil y=b}$, dann gilt das ${Anzeigestil x}$ ist unendlich groß. Das ${Anzeigestil a}$ ist vernachlässigbar, weil es sehr klein ist im Vergleich zum unendlich großen ${Anzeigestil x}$. Du bekommst dann ${Anzeigestil y=b}$. Dies ist richtig!

wenn ${Anzeigestil x=a}$, dann gilt das ${Anzeigestil y}$ ist unendlich groß, denn ${Anzeigestil x-a}$ ist genau 0. (Wenn man etwas durch 0 teilt, nähert man sich der Unendlichkeit).

Wenn Sie also 2 Asymptoten mit Schnittpunkt haben ${Anzeigestil (a,b)}$ dann finden wir folgende Formel mit der entsprechenden Hyperbel:

${displaystyle y={dfrac {bx}{x-a}}}$

Herleitung der Mittelpunktgleichung

Hyperbel
${Anzeigestil a,c>0}$
${displaystyle c^{2}=a^{2} b^{2}}$
${Anzeigestil |r_{1}-r_{2}|=2a}$

Gestell

Eine Hyperbel mit

• Hauptachse ${Anzeigestil 2a}$,
• Nebenachse ${Anzeigestil 2b}$,
• Center in dem Ursprung${Anzeigestil O}$ von a Kartesisches Koordinatensystem${Anzeigestil Oxy}$,
• Fokus auf die ${Anzeigestil x}$-Asche,

entspricht der Vergleich:

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Dies ist die Zentrumsgleichung der Hyperbel.

Symbole

Wo zuerst ${displaystyle d_{1}}$ und ${displaystyle d_{2}}$ verwendet wurden, werden hier gezeigt ${displaystyle r_{1}}$ und ${displaystyle r_{2}}$ benutzt.

Symbol	Beschreibung
${Anzeigestil Varepsilon }$	eine beliebige Hyperbel im hyper flaches Flugzeug
${displaystyle F_{1}}$, ${displaystyle F_{2}}$	die Schwerpunkte von ${Anzeigestil Varepsilon }$
${displaystyle Oxy}$	• ein orthogonales Koordinatensystem • mit Ursprung ${Anzeigestil O}$ mittendrin Liniensegment${displaystyle F_{1}F_{2}}$ • das ${Anzeigestil x}$-Achsenpunkte von ${displaystyle F_{1}}$ zu ${displaystyle F_{2}}$
${Anzeigestil 2c}$	Brennweite von ${Anzeigestil Varepsilon }$, per Definition die Entfernung zwischen ${displaystyle F_{1}}$ und ${displaystyle F_{2}}$
${Anzeigestil P}$	eine zufällige Punkt von ${Anzeigestil Varepsilon }$
${Anzeigestil x}$	das ${Anzeigestil x}$-Koordinate von ${Anzeigestil P}$
${Anzeigestil y}$	das ${Anzeigestil y}$-Koordinate von ${Anzeigestil P}$
${displaystyle r_{1}}$	das Länge des Zuführstrahls von ${Anzeigestil P}$ von ${displaystyle F_{1}}$
${displaystyle r_{2}}$	die Länge des Vorschubbalkens von ${Anzeigestil P}$ von ${displaystyle F_{2}}$
${Anzeigestil 2a}$	die Länge der Hauptachse von ${Anzeigestil Varepsilon }$
${Anzeigestil 2b}$	die Länge der Nebenachse von ${Anzeigestil Varepsilon }$

Ablenken ${displaystyle r_{1}}$ und ${displaystyle r_{2}}$ als lineare Funktionen von ${Anzeigestil x}$

Schritt	Gebrauch machen von	dann gilt
${displaystyle _{s.1}}$	Definition Hyperbel	${displaystyle _{r_{1}}}$${displaystyle _{-}}$${displaystyle _{r_{2}=}}$${displaystyle _{^{pm }}}$${displaystyle _{2a}}$
${displaystyle _{s.2}}$	Satz des Pythagoras	${displaystyle _{r_{1}^{2}=(x c)^{2} y^{2}}}$
${displaystyle _{s.3}}$	Satz des Pythagoras	${displaystyle _{r_{2}^{2}=(x-c)^{2} y^{2}}}$
${displaystyle _{s.4}}$	${displaystyle _{s.2-s.3}}$	${displaystyle _{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=((xc)^{2} y^{2}))-((xc)^{2} y^{2 }))}}$
${displaystyle _{s.5}}$	${displaystyle _{s.4}}$ • bemerkenswertes Produkt	${displaystyle _{(r_{1} r_{2})(r_{1}-r_{2})=4cx}}$
${displaystyle _{s.6}}$	${displaystyle _{s.1}}$${displaystyle _{s.5}}$	${displaystyle _{^{pm }}}$${displaystyle _{2a(r_{1}}}$${displaystyle _{ }}$${displaystyle _{r_{2})=4cx}}$
${displaystyle _{s.7}}$	${displaystyle _{s.6}}$	${displaystyle _{r_{1}}}$${displaystyle _{ }}$${displaystyle _{r_{2}=}}$${displaystyle _{^{pm }}}$${displaystyle _{2cx/a}}$
${displaystyle _{s.8}}$	${displaystyle _{(s.1s.7)/2}}$	${displaystyle _{r_{1}=}}$${displaystyle _{^{pm }}}$(${displaystyle _{a cx/a}}$)
${displaystyle _{s.9}}$	${displaystyle _{-}}$${Displaystil _{(s.1-s.7)/2}}$	${displaystyle _{r_{2}=}}$${displaystyle _{^{mp }}}$(${displaystyle _{a-cx/a}}$)

s.8 und s.9 gemeinsam bewerben.

Ableitung der quadratischen Beziehung zwischen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$

Schritt	Gebrauch machen von	dann gilt
${displaystyle _{s.10}}$	${displaystyle _{(s.8)^{2} (s.9)^{2}}}$	${displaystyle _{r_{1}^{2} r_{2}^{2}=(a cx/a)^{2} (a-cx/a)^{2}}}$
${displaystyle _{s.11}}$	${displaystyle _{s.10}}$ • bemerkenswertes Produkt	${displaystyle _{r_{1}^{2} r_{2}^{2}=2(a^{2} (cx/a)^{2})}}$
${displaystyle _{s.12}}$	${displaystyle _{s.2s.3}}$	${displaystyle _{r_{1}^{2} r_{2}^{2}=(x c)^{2} (x-c)^{2} 2y^{2}}}$
${displaystyle _{s.13}}$	${displaystyle _{(s.11=s.12)/2}}$ • bemerkenswertes Produkt	${displaystyle _{a^{2} (cx/a)^{2}=x^{2} c^{2} y^{2}}}$
${displaystyle _{s.14}}$	${displaystyle _{s.13}}$	${displaystyle _{a^{2}=(1-(c/a)^{2})x^{2} c^{2} y^{2}}}$
${displaystyle _{s.15}}$	${displaystyle _{s.14}}$	${displaystyle _{a^{2}-c^{2}=(1/a^{2})(a^{2}-c^{2})x^{2} y^{2}}}$
${displaystyle _{s.16}}$	Beziehung zwischen Brennweite, Hauptachse und Nebenachse	${displaystyle _{c^{2}=a^{2}}}$${displaystyle _{ }}$${displaystyle _{b^{2}}}$
${displaystyle _{s.17}}$	${displaystyle _{s.15}}$${displaystyle _{s.16}}$	${displaystyle _{b^{2}=(b^{2}/a^{2})x^{2}}}$${displaystyle _{-}}$${displaystyle _{y^{2}}}$
${displaystyle _{s.18}}$	${displaystyle _{(s.17)/b^{2}}}$	${displaystyle _{x^{2}/a^{2}}}$${displaystyle _{-}}$${displaystyle _{y^{2}/b^{2}=1}}$

Nun hat sich gezeigt, dass wenn ein Punkt ${Anzeigestil P}$ liegt auf der Hyperbel, die Koordinaten ${Anzeigestil(x,y)}$ von ${Anzeigestil P}$ erfülle die Gleichung ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

Umgekehrt kann man zeigen, dass wenn die Koordinaten ${Anzeigestil(x,y)}$ von jedem Punkt aus ${Anzeigestil P}$ Passen Sie diese Gleichung an, ${Anzeigestil P}$ ist auf dieser Hyperbel.

So ist ${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ die Gleichung einer Hyperbel.

Verweise