WikiDer > Петля Бола

В математика и абстрактная алгебра, а Петля Бола является алгебраическая структура обобщая понятие группа. Петли Бола названы в честь голландского математика. Геррит Бол кто представил их в (Бол 1937).

А петля, L, называется левая петля Бола если он удовлетворяет личность

${displaystyle a (b (ac)) = (a (ba)) c}$, для каждого а,б,c в L,

пока L считается правая петля Бола если это удовлетворяет

${displaystyle ((ca) b) a = c ((ab) a)}$, для каждого а,б,c в L.

Эти идентичности можно рассматривать как ослабленные формы ассоциативность.

Петля является как левым, так и правым Болом тогда и только тогда, когда это Петля муфанг. Разные авторы используют термин «петля Бола» для обозначения левой или правой петли Бола.

Петли Брука

Петля Бола, удовлетворяющая автоморфное обратное свойство, (ab)⁻¹ = а⁻¹ б⁻¹ для всех а, б в L, известен как (левый или правый) Петля Брука или же K-петля (назван в честь американского математика Ричард Брук). Пример в следующем разделе - это цикл Брука.

Петли Брука находят применение в специальная теория относительности; см. Ungar (2002). Левая петля Брука эквивалентна петле Ангара (2002). гирокоммутативный гирогруппы, хотя эти две структуры определены по-разному.

Пример

Позволять L обозначим множество п х п положительно определенный, Эрмитский матрицы над комплексными числами. Как правило, неверно, что матричный продукт AB матриц А, B в L является эрмитовым, не говоря уже о положительно определенном. Однако существует уникальный п в L и уникальный унитарная матрица U такой, что AB = PU; это полярное разложение из AB. Определите бинарную операцию * на L к А * B = п. Потом (L, *) - левая петля Брука. Явная формула для * дается А * B = (А Б² А)^1/2, где верхний индекс 1/2 указывает на единственный положительно определенный эрмитов квадратный корень.

Алгебра Бол

Алгебра Бола (слева) - это векторное пространство, снабженное бинарной операцией ${displaystyle [a, b] + [b, a] = 0}$ и тернарная операция ${displaystyle {a, b, c}}$ который удовлетворяет следующим тождествам:^[1]

${displaystyle {a, b, c} + {b, a, c} = 0}$

и

${displaystyle {a, b, c} + {b, c, a} + {c, a, b} = 0}$

и

${displaystyle [{a, b, c}, d] - [{a, b, d}, c] + {c, d, [a, b]} - {a, b, [c, d]} + [[a, b], [c, d]] = 0}$

и

${displaystyle {a, b, {c, d, e}} - {{a, b, c}, d, e} - {c, {a, b, d}, e} - {c, d, { a, b, e}} = 0}$

Если А левый или правый альтернативная алгебра то с ней ассоциирована алгебра Бола А^б, куда ${displaystyle [a, b] = ab-ba}$ это коммутатор и ${displaystyle {a, b, c} = langle b, c, aangle}$ это Иорданский ассоциатор.

Рекомендации

• Бол, Г. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen, 114 (1): 414–431, Дои:10.1007 / BF01594185, ISSN 0025-5831, JFM 63.1157.04, МИСТЕР 1513147, Zbl 0016.22603
• Кихле, Х. (2002). Теория K-петель. Springer. ISBN 978-3-540-43262-3.
• Пфлугфельдер, Х. (1990). Квазигруппы и петли: введение. Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8. Глава VI посвящена петлям Бола.
• Робинсон, Д.А. (1966). "Бол петли". Пер. Амер. Математика. Soc. 123 (2): 341–354. Дои:10.1090 / с0002-9947-1966-0194545-4. JSTOR 1994661.
• Унгар, А.А. (2002). За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств. Kluwer. ISBN 978-0-7923-6909-7.