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Bolschilstelling

In dem klassische Mechanik führt die Kugelschalensatz um die Berechnung der zu vereinfachen Schwere aufgrund eines kugelförmigen Körpers. Diese Aussage ist wichtig für die Astronomie, das Planetologie und der Geophysik.

Isaac Newton formulierte den Kugelschalensatz und gab seinen Beweis.

EIN Kugelsymmetrie Körper übt die Schwerkraft auf die Außenwelt aus, als ob seine gesamte Masse in einem Punktmasse in der Körpermitte.
Wenn der Körper eine kugelsymmetrische Schale (d. h. eine Hohlkugel) ist, übt diese Schale keine Nettogravitationskraft auf ein Objekt im inneren Hohlraum aus, wo immer sich dieses Objekt im inneren Hohlraum befindet.

Eine Konsequenz dieser beiden Aussagen ist:

Innerhalb einer massiven Kugel konstanter Dichte ist die Gravitation proportional zum Abstand vom Zentrum. Im Zentrum ist die Schwerkraft Null.

Diese Ergebnisse waren notwendig für Isaac Newtons Analyse der Planetenbewegung. Sie können nachgewiesen werden mit infinitesimalrechnung, sondern folgen auch aus dem Gaußsches Gesetz für die Schwerkraft.

Da das elektrische Feld dem gleichen Gesetz folgt wie die Schwerkraft, gilt der Kugelschalensatz auch für das elektrische Feld, das durch eine statische kugelsymmetrische Ladungsdichte erzeugt wird. Der Kugelschalensatz gilt auch für jedes andere Phänomen, das einem inversen quadratischen Gesetz folgt.

Außerhalb der Lampenhülle

Allgemeines

eine massive, Kugelsymmetrie Körper kann aus unendlich vielen zusammengesetzt sein konzentrisch, unendlich dünne Kugelschalen. Wenn einer von ihnen als Punktmasse behandelt werden kann, können sie auch alle zusammen (die gesamte Kugel) behandelt werden. Untersuchen Sie dazu zunächst eine einzelne Glühbirnenschale.

Im Diagramm, ${displaystyle mathrm {d} heta }$ in die kleine Ecke, nicht in die Bogenlänge. Die Bogenlänge ist ${displaystyle Rmathrm {d} heta }$ .

von Newtons Gravitationsgesetz Daraus folgt, dass die Größe der Kraft durch das schattierte Band gleich ist:

{displaystyle mathrm {d} F={frac {Gm,mathrm {d} M}{s^{2}}}}

Aufgrund der Symmetrie heben sich einige Komponenten der Kraft auf, so dass die resultierende Kraft in Richtung ${displaystyle m}$ gleich

{displaystyle mathrm {d} F_{r}={frac {Gm,mathrm {d} M}{s^{2}}}cos phi}

Die Gesamtleistung an ${displaystyle m}$ wird die Summe der Kräfte, die von allen Reifen ausgeübt werden. Durch Verringern der Reifenbreite und Erhöhen der Reifenanzahl wird die Summe Integral-:

{displaystyle F_{r}=int mathrm {d} F_{r}=int {frac {Gmcos phi }{s^{2}}},mathrm {d} M}

Darin sind ${Anzeigestil G}$ und ${displaystyle m}$ Konstanten und können außerhalb des Integrals genommen werden:

{displaystyle F_{r}=Gmint {frac {cos phi }{s^{2}}},mathrm {d} M}

Der Bereich des schattierten Bandes ist

{displaystyle 2pi Rsin heta cdot R,mathrm {d} heta =2pi R^{2}sin heta,mathrm {d} heta}

Da die Gesamtfläche der Kugelschale gleich ist ${displaystyle 4pi R^{2}}$ , ist die Masse des Reifens:

{displaystyle mathrm {d} M={frac {2pi R^{2}sin heta }{4pi R^{2}}}M,mathrm {d} heta ={ frac {1}{2}}Msin heta ,mathrm {d} heta }

,

in welchem ${Anzeigestil M}$ ist die Gesamtmasse der Kugelschale. Also folgt:

{displaystyle F_{r}={ frac {1}{2}}GMmint {frac {sin heta cos phi }{s^{2}}},mathrm {d} heta }

Laut der Kosinusregel ist

{displaystyle cos phi ={frac {r^{2}s^{2}-R^{2}}{2rs}}}

und

{displaystyle cos heta ={frac {r^{2}R^{2}-s^{2}}{2rR}}}

Differenzierung des letzten Ausdrucks liefert:

{displaystyle sin heta ,mathrm {d} heta ={frac {s}{rR}},mathrm {d} s}

und Substitution im Integral:

{displaystyle F_{r}={frac {GMm}{2rR}}int {frac {cos phi }{s}},mathrm {d} s={frac {GMm}{4r^{2}R}}int left (1 {frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}ight), mathrm {d} s}

,

wobei die neue Integrationsvariable ${Anzeigestil s}$ läuft von ${Anzeigestil r-R}$ bis um ${displaystyle rR}$ .

Jetzt ist:

{displaystyle int _{rR}^{r R}left(1 {frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}ight), mathrm {d} s=left[s -{frac {r^{2}-R^{2}}{s}}ight]_{rR}^{r R}=4R}

,

so dass

{displaystyle F_{r}=G{frac {Mm}{r^{2}}}}

Dies zeigt, dass die Gravitationskraft außerhalb der Schale durch eine Punktmasse verursacht werden kann ${Anzeigestil M}$ im Zentrum.

Um die Anziehungskraft einer massiven Massenkugel zu finden ${Anzeigestil M}$ zu berechnen ist die Gravitationskraft einer Kugelschale mit Masse ${displaystyle mathrm {d} M}$ integriert:

{displaystyle F_{ ext{sphere}}=int {frac {Gm}{r^{2}}},mathrm {d} M}

Eine Kugelschale zwischen den Strahlen ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle xmathrm {d} x}$ hat eine Masse:

{displaystyle mathrm {d} M={frac {4pi x^{2},mathrm {d} x}{{frac {4}{3}}pi R^{3}}}M=3{frac {M} {R^{3}}}x^{2},mathrm {d} x}

,

so dass

{displaystyle F_{ ext{sphere}}=3{frac {GMm}{r^{2}R^{3}}}int _{0}^{R}x^{2},mathrm {d} x= G{frac {Mm}{r^{2}}}}

Dies zeigt, dass auch in diesem Fall die Gravitationskraft außerhalb der Kugel als durch eine Punktmasse verursacht gedacht werden kann ${Anzeigestil M}$ im Zentrum.

In einer Glühbirne

Interessant ist der Fall bei ${Anzeigestil r$ , bei dem die Punktmasse innerhalb der Kugelschale liegt. Aus Symmetrieüberlegungen folgt, dass bei einem Massenpunkt im Zentrum der Kugelschale die Kraft Null sein muss, dies gilt aber auch für alle Stellen innerhalb der Schale.

Das Integral läuft nun von ${Displaystil R-r}$ bis um ${Anzeigestil R r}$ :

{displaystyle F_{r}={frac {GMm}{4r^{2}R}}int _{Rr}^{R r}{frac {r^{2} s^{2}-R^{2} }{s^{2}}}Mathematik {d} s=0}

Somit übt die Hülle keine Nettokraft auf Partikel im Inneren aus. Intuitiv lässt sich dies anhand der inverses quadratisches Gesetz: die Schalenstücke nahe der Masse ${displaystyle m}$ viel Kraft ausüben, während große, weiter entfernte Peeling-Flecken viel weniger zur Kraft beitragen.

Dicke Zwiebelschalen

Die Wirkung einer kugelsymmetrischen Kugelschale mit endlicher Dicke (Innenradius ${displaystyle R_{a}}$ und Außenradius ${displaystyle R_{b}}$ ) kann auch berechnet werden. Die Schwerkraft innerhalb und außerhalb der Kugelschale findet sich wie bei einer dünnen Schale. Aber was ist die Schwerkraft in der Schale selbst, also für ${Anzeigestil R_{a}$ ?

Aus dem Obigen geht hervor, dass nur die dicke Kugelschale zwischen ${displaystyle R_{a}}$ und ${displaystyle r}$ trägt zur Schwerkraft bei. Wie oben kann man sich vorstellen, dass diese dicke Kugelschale aus vielen konzentrischen dünnen Kugelschalen mit Radius . besteht ${displaystyle R_{a}$ . Der Beitrag zur Schwerkraft einer solchen Schale ist:

{displaystyle mathrm {d} F_{r}={frac {Gm}{r^{2}}}mathrm {d} M_{R}}

Darin ist

{displaystyle mathrm {d} M_{R}=4pi R^{2}ho ,mathrm {d} R}

,

mit ${displaystyle ho ={frac {M}{{frac {4}{3}}pi (R_{b}^{3}-R_{a}^{3})}}}$ ist die homogene Massendichte, also ist

{displaystyle F_{r}={frac {4pi Gm}{r^{2}}}int _{R_{a}}^{r}R^{2}ho ,mathrm {d} R=G{frac { Mm}{r^{2}}}int _{R_{a}}^{r}{frac {3R^{2}}{R_{b}^{3}-R_{a}^{3}} },mathrm {d} R=G{frac {Mm}{r^{2}}}{frac {r^{3}-R_{a}^{3}}{R_{b}^{3}- R_{a}^{3}}}}

Feste Kugeln

Eine feste Kugel mit Radius ${Anzeigestil R}$ kann als Spezialfall einer dicken Kugelschale mit ${Anzeigestil R_{a}=0}$ und ${Displaystil R_{b}=R}$ :

Gilt also für ${Anzeigestil r$ :

{displaystyle F_{r}=G{frac {Mm}{R^{2}}}{frac {r}{R}}}

Viele Himmelskörper sind in guter Näherung kugelsymmetrische massive Körper. Aber normalerweise ist die Dichte ${Anzeigestil ho (R)}$ im Allgemeinen nicht überall gleich, aber umgekehrt proportional zu ${Anzeigestil R}$ . Dies führt zu unerwarteten Ergebnissen. Wir würden denken, dass die Schwerkraft abnimmt, wenn wir auf der Erde in einen tiefen Minenschacht hinabsteigen. Da die Dichte jedoch mit der Tiefe zunimmt, nimmt die Schwerkraft zunächst leicht zu. Dieser Effekt sollte auf einem gasförmigen Riesenplaneten wie . stärker sein Jupiter.

Siehe auch

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