WikiDer > Ручка кассона

В 4-мерной топологии раздел математики Ручка кассона является 4-мерным топологическим 2 ручки построенный бесконечной процедурой. Они названы в честь Эндрю Кэссон, который представил их примерно в 1973 году. Первоначально сам Кассон называл их "гибкими ручками", и Майкл Фридман (1982) ввел название «ручка Кассона», под которым они известны сегодня. В этой работе он показал, что ручки Кассона являются топологическими 2-ручками, и использовал это для классификации односвязных компактных топологических 4-коллектор.

Мотивация

В доказательство теорема о h-кобордизме, используется следующая конструкция. Для заданной окружности на границе многообразия мы часто хотели бы найти вложенный в это многообразие диск, краем которого является данная окружность. Если многообразие односвязно, то мы можем найти отображение диска в многообразие с границей данной окружности, а если многообразие имеет размерность не менее 5, то поместив этот диск в "общая позиция"становится вложением. Число 5 появляется по следующей причине: подмногообразия размерности м и п в общем положении не пересекаются, если размер коллектора, в котором они находятся, имеет размер больше, чем ${displaystyle m + n}$. В частности, диск (размерности 2) в общем положении не будет иметь самопересечений внутри многообразия размерности больше 2 + 2.

Если многообразие четырехмерное, это не работает: проблема в том, что диск в общем положении может иметь двойные точки, тогда как две точки диска имеют одинаковое изображение. Это основная причина, по которой обычное доказательство теоремы о h-кобордизме работает только для кобордизмов, граница которых имеет размерность не менее 5. Мы можем попытаться избавиться от этих двойных точек следующим образом. Нарисуйте линию на диске, соединяющую две точки с одинаковым изображением. Если изображение этой линии является границей встроенного диска (называемого Диск Уитни), то двойную точку легко убрать. Однако этот аргумент, кажется, идет по кругу: чтобы исключить двойную точку первого диска, нам нужно построить второй встроенный диск, конструкция которого включает в себя точно такую ​​же проблему устранения двойных точек.

Идея Кассона состояла в том, чтобы повторять эту конструкцию бесконечное число раз в надежде, что проблемы с двойными точками каким-то образом исчезнут в бесконечном пределе.

Строительство

Ручка Кассона имеет двумерный каркас, который можно построить следующим образом.

1. Начните с двухдискового ${displaystyle D ^ {2}}$.
2. Определите конечное число пар точек на диске.
3. Для каждой пары идентифицированных точек выберите путь на диске, соединяющий эти точки, и постройте новый диск с границей этого пути. (Поэтому мы добавляем диск для каждой пары идентифицированных точек.)
4. Повторите шаги 2–3 для каждого нового диска.

Мы можем представить эти скелеты корневыми деревьями, так что каждая точка соединяется только с конечным числом других точек: у дерева есть точка для каждого диска и линия, соединяющая точки, если соответствующие диски пересекаются в скелете.

А Ручка кассона построен путем «утолщения» двумерной конструкции выше, чтобы дать 4-мерный объект: мы заменяем каждый диск ${displaystyle D ^ {2}}$ копией ${displaystyle D ^ {2} imes mathbb {R} ^ {2}}$. Неформально мы можем думать об этом как о взятии небольшой окрестности скелета (считающейся вложенной в какое-то 4-многообразие). При этом есть несколько дополнительных тонкостей: нам нужно отслеживать некоторые обрамления, а точки пересечения теперь имеют ориентацию.

Ручки Кассона соответствуют корневым деревьям, как указано выше, за исключением того, что теперь каждая вершина имеет прикрепленный к ней знак, указывающий ориентацию двойной точки. Мы также можем предположить, что у дерева нет конечных ветвей, поскольку конечные ветви могут быть «распутаны». так что не имеет значения.

Самая простая экзотическая ручка Кассона соответствует дереву, которое представляет собой полубесконечную линию точек (со всеми одинаковыми знаками). Он диффеоморфен ${displaystyle D ^ {2} imes D ^ {2}}$ с конусом над Континуум Уайтхеда удалено. Имеется аналогичное описание более сложных ручек Кассона, где континуум Уайтхеда заменен аналогичным, но более сложным набором.

Структура

Основная теорема Фридмана о ручках Кассона утверждает, что все они гомеоморфны ${displaystyle D ^ {2} imes mathbb {R} ^ {2}}$; или, другими словами, это топологические 2-ручки. В общем случае они не диффеоморфны ${displaystyle D ^ {2} imes mathbb {R} ^ {2}}$ как следует из Теорема Дональдсона, и существует бесчисленное множество различных типов диффеоморфизмов ручек Кэссона. Однако внутренняя часть ручки Кассона диффеоморфна ${displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$; Ручки Casson отличаются от стандартных 2 ручек только способом крепления границы к внутренней части.

Структурную теорему Фридмана можно использовать для доказательства теорема о h-кобордизме для 5-мерных топологических кобордизмов, что, в свою очередь, влечет 4-мерные топологические Гипотеза Пуанкаре.

Рекомендации

• Гомпф, Роберт (2001) [1994], "Кассон ручка", Энциклопедия математики, EMS Press
• Кассон, Эндрю (1986), "Три лекции о новых бесконечных конструкциях в 4-мерных многообразиях", À la recherche de la topologie perdue, Успехи в математике, 62, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 201–244, ISBN 0-8176-3329-4, МИСТЕР 0900253
• Фридман, Майкл Хартли (1982), «Топология четырехмерных многообразий», Журнал дифференциальной геометрии, 17 (3): 357–453, Дои:10.4310 / jdg / 1214437136, МИСТЕР 0679066
• Кирби, Робион С. (1989), Топология 4-многообразий, Конспект лекций по математике, 1374, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0089031, ISBN 978-3-540-51148-9, МИСТЕР 1001966
• Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3749-4.