WikiDer > Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре

А компактный 2-мерная поверхность без граница топологически гомеоморфный к 2-сфере, если каждая петля может быть непрерывно затянута в точку. Гипотеза Пуанкаре утверждает, что то же самое верно и для трехмерных пространств.
Поле	Геометрическая топология
Предполагается	Анри Пуанкаре
Предполагается в	1904
Первое доказательство	Григорий Перельман
Первое доказательство в	2006
Подразумевается	Гипотеза геометризации Гипотеза Зеемана[1]
Эквивалентно	Гипотеза о сферической пространственной форме Гипотеза об эллиптизации Терстона
Обобщения	Обобщенная гипотеза Пуанкаре

В математика, то Гипотеза Пуанкаре (Великобритания: /ˈпшæ̃kæreɪ/,^[2] нас: /ˌпшæ̃kɑːˈрeɪ/,^[3][4] Французский:[pwɛ̃kaʁe]) это теорема о характеристика из 3-сфера, какой гиперсфера что ограничивает единичный мяч в четырехмерном пространстве.

Гипотеза гласит:

Каждый односвязный, закрыто 3-многообразие является гомеоморфный к 3-сфера.

Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм называется гомотопическая эквивалентность: если 3-многообразие гомотопический эквивалент в 3-сферу, то обязательно гомеоморфный к нему.

Первоначально предположил Анри Пуанкаре, теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связано, имеет конечный размер и не имеет границ (a закрыто 3-х коллекторный). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, каждое петля в пространстве можно непрерывно стягивать в точку, тогда это обязательно трехмерный шар. В аналогичные предположения для всех высших размерностей были доказаны до того, как было найдено доказательство исходной гипотезы.

Спустя почти столетие усилий математиков, Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 гг. arXiv. Доказательство построено на программе Ричард С. Гамильтон использовать Риччи поток чтобы попытаться решить проблему. Позднее Гамильтон представил модификацию стандартного потока Риччи, названную Риччи Флоу с хирургией систематически и контролируемым образом вырезать отдельные области по мере их развития, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях.^[5] Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.

Гипотеза Пуанкаре до того, как была доказана, была одним из самых важных открытых вопросов в топология. В 2000 году он был назван одним из семи Задачи Премии тысячелетия, для чего Институт математики Клэя предложил приз в 1 миллион долларов за первое правильное решение. Работа Перельмана выдержала рецензию и была подтверждена в 2006 году, в результате чего ему предложили Медаль Филдса, от которой он отказался. Перельман был удостоен Премии тысячелетия 18 марта 2010 года.^[6] 1 июля 2010 г. он отклонил приз, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем у Гамильтона.^[7][8] По состоянию на 2020 год^{[Обновить]}, гипотеза Пуанкаре - единственная решенная проблема тысячелетия.

22 декабря 2006 г. журнал Наука признал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре как научное "Прорыв года", впервые эта честь была удостоена в области математики.^[9]

История

Ни одна из двух цветных петель на этом тор можно непрерывно затягивать в точку. Тор не гомеоморфен сфере.

Вопрос Пуанкаре

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В начале 20 века Анри Пуанкаре работал над основами топологии - то, что позже будет называться комбинаторная топология а потом алгебраическая топология. Его особенно интересовало, какие топологические свойства характеризуют сфера.

Пуанкаре утверждал в 1900 году, что гомология, инструмент, который он разработал на основе предыдущей работы Энрико Бетти, было достаточно, чтобы определить, 3-х коллекторный был 3-сфера. Однако в статье 1904 года он описал контрпример к этому утверждению, пространство, которое теперь называется Сфера гомологии Пуанкаре. Сфера Пуанкаре была первым примером сфера гомологии, многообразие, имевшее те же гомологии, что и сфера, из которых с тех пор были построены многие другие. Чтобы установить, что сфера Пуанкаре отличается от 3-сферы, Пуанкаре ввел новую топологический инвариант, то фундаментальная группа, и показал, что сфера Пуанкаре имеет фундаментальная группа порядка 120, в то время как 3-сфера имела тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, он смог сделать вывод, что эти два пространства действительно были разными.

В той же статье Пуанкаре задавался вопросом, может ли трехмерное многообразие с гомология 3-сферы, а также тривиальная фундаментальная группа должна быть 3-сферой. Новое условие Пуанкаре, то есть «тривиальная фундаментальная группа», может быть переформулировано как «каждая петля может быть сокращена до точки».

Исходная формулировка была следующей:

Рассмотрим компактное 3-мерное многообразие V без края. Возможно ли, что фундаментальная группа V может быть тривиальной, даже если V не гомеоморфна 3-мерной сфере?

Пуанкаре никогда не заявлял, верит ли он, что это дополнительное условие будет характеризовать 3-сферу, но, тем не менее, утверждение, что это так, известно как гипотеза Пуанкаре. Вот стандартная форма гипотезы:

Каждый односвязный, закрыто 3-многообразие является гомеоморфный в 3-ю сферу.

Обратите внимание, что «закрытый» здесь означает, как это принято в этой области, состояние компактный по заданной топологии, а также без граница (3-х мерный Евклидово пространство является примером односвязного 3-многообразия, не гомеоморфного 3-сфере; но это не компактно и, следовательно, не контрпример).

Попытки решения

Эта проблема, казалось, бездействовала, пока Дж. Х. К. Уайтхед возродил интерес к гипотезе, когда в 1930-х годах он сначала потребовал доказательства, а затем отозвал его. В процессе он обнаружил несколько примеров односвязных (действительно стягиваемых, т.е. гомотопически эквивалентных точке) некомпактных трехмерных многообразий, не гомеоморфных ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$, прототип которого теперь называется Коллектор Уайтхеда.

В 1950-х и 1960-х годах другие математики пытались доказать эту гипотезу только для того, чтобы обнаружить, что они содержат недостатки. Влиятельные математики, такие как Жорж де Рам, Р. Х. Бинг, Вольфганг Хакен, Эдвин Э. Моис, и Христос Папакириакопулос попытался доказать гипотезу. В 1958 году Бинг доказал слабую версию гипотезы Пуанкаре: если каждая простая замкнутая кривая компактного 3-многообразия содержится в 3-шаре, то многообразие гомеоморфно 3-сфере.^[10] Бинг также описал некоторые ловушки при попытке доказать гипотезу Пуанкаре.^[11]

Влодзимеж Якобше в 1978 году показал, что если Гипотеза Бинга – Борсука верно в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верной.^[12]

Со временем эта гипотеза приобрела репутацию особенно сложной для решения проблемы. Джон Милнор отметил, что иногда ошибки в ложных доказательствах могут быть «довольно незаметными и трудно обнаруживаемыми».^[13] Работа над гипотезой улучшила понимание трехмерных многообразий. Эксперты в этой области часто неохотно оглашали доказательства и склонны относиться к любому такому объявлению со скептицизмом. 1980-е и 1990-е годы стали свидетелями нескольких широко разрекламированных ложных доказательств (которые фактически не были опубликованы в рецензируемый форма).^[14][15]

Изложение попыток доказать эту гипотезу можно найти в нетехнической книге. Премия Пуанкаре к Джордж Спиро.^[16]

Размеры

В классификация закрытых поверхностей дает утвердительный ответ на аналогичный вопрос в двух измерениях. Для размерностей больше трех можно сформулировать обобщенную гипотезу Пуанкаре: является ли гомотопия п-сфера гомеоморфен п-сфера? Необходимо более сильное предположение; в размерах четыре и выше есть односвязные закрытые коллекторы, которые не гомотопический эквивалент для п-сфера.

Исторически сложилось так, что гипотеза о трех измерениях казалась правдоподобной, но обобщенная гипотеза считалась ложной. В 1961 г. Стивен Смейл шокировал математиков, доказав обобщенную гипотезу Пуанкаре для размерностей больше четырех, и расширил его методы, чтобы доказать фундаментальные теорема о h-кобордизме. В 1982 г. Майкл Фридман доказал гипотезу Пуанкаре в четырех измерениях. Работа Фридмана оставила открытой возможность того, что существует гладкое четырехмерное многообразие, гомеоморфное четырехмерной сфере, которое не является диффеоморфный в четырехмерную сферу. Эта так называемая гладкая гипотеза Пуанкаре в размерности четыре остается открытой и считается очень сложной. Милнорс экзотические сферы показать, что гладкая гипотеза Пуанкаре неверна, например, в размерности семь.

Эти более ранние успехи в высших измерениях оставили случай трех измерений в подвешенном состоянии. Гипотеза Пуанкаре по существу верна как в четырехмерном, так и во всех более высоких измерениях по существенно разным причинам. В третьем измерении гипотеза имела сомнительную репутацию, пока гипотеза геометризации поместите его в структуру, управляющую всеми 3-многообразиями. Джон Морган написал:^[17]

Я считаю, что раньше Терстонработает над гиперболические трехмерные многообразия и . . . Гипотеза о геометризации не было единого мнения среди экспертов относительно того, была ли гипотеза Пуанкаре верной или ложной. После работы Терстона, несмотря на то, что она не имела прямого отношения к гипотезе Пуанкаре, был достигнут консенсус в отношении того, что гипотеза Пуанкаре (и гипотеза геометризации) верна.

Программа Гамильтона и решение Перельмана

Несколько этапов Риччи поток на двумерном многообразии

Программа Гамильтона была начата в его статье 1982 года, в которой он представил Риччи поток на многообразии и показал, как с его помощью доказать некоторые частные случаи гипотезы Пуанкаре.^[18] В последующие годы он расширил эту работу, но не смог доказать гипотезу. Фактическое решение не было найдено до тех пор, пока Григорий Перельман опубликовал свои статьи.

В конце 2002 и 2003 гг. Перельман опубликовал три статьи о arXiv.^[19][20][21] В этих статьях он набросал доказательство гипотезы Пуанкаре и более общей гипотезы: Гипотеза терстона о геометризации, завершая программу потока Риччи, описанную ранее Ричард С. Гамильтон.

С мая по июль 2006 года несколько групп представили статьи, которые подробно описали доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре:

• Брюс Кляйнер и Джон В. Лотт опубликовал статью на arXiv в мае 2006 года, в которой были подробно описаны доказательство Перельмана гипотезы геометризации после частичных версий, которые были общедоступны с 2003 года.^[22] Их рукопись была опубликована в журнале «Геометрия и топология» в 2008 году. Небольшое количество исправлений было внесено в 2011 и 2013 годах; например, первая версия опубликованной ими статьи использовала неправильную версию теоремы Гамильтона о компактности для потока Риччи.
• Хуай-Донг Цао и Си-Пин Чжу опубликовал статью в июньском номере журнала Азиатский математический журнал с изложением полного доказательства гипотез Пуанкаре и геометризации.^[23] В первом абзаце их статьи говорилось:

В этой статье мы представим теорию течения Риччи Гамильтона-Перельмана. На основе этого мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Терстона. Хотя вся работа является результатом совокупных усилий многих геометрических аналитиков, основными участниками, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.

Некоторые наблюдатели истолковали Цао и Чжу как взявшие заслугу за работу Перельмана. Позже они разместили исправленную версию с новой формулировкой в ​​архиве arXiv.^[24] Кроме того, страница их экспозиции была по существу идентична странице одного из ранних общедоступных черновиков Кляйнера и Лотта; это также было исправлено в исправленной версии, вместе с извинениями редакционной коллегии журнала.

• Джон Морган и Ганг Тиан опубликовал статью на arXiv в июле 2006 года, в которой было дано подробное доказательство только гипотезы Пуанкаре (что несколько проще, чем гипотеза полной геометризации)^[25] и расширил это до книги.^[26] В 2015 г. Аббас Бахри указал, что страницы 441–445 изложения Моргана и Тиана неверны.^[27] Позднее ошибка была исправлена ​​Морганом и Тианом.^[28]

Все три группы обнаружили, что пробелы в статьях Перельмана незначительны и могут быть восполнены, используя его собственные методы.

22 августа 2006 г. ICM наградил Перельмана Медаль Филдса за работу над гипотезой, но Перельман отказался от медали.^[29][30][31]Джон Морган выступил на ICM по поводу гипотезы Пуанкаре 24 августа 2006 года, заявив, что «в 2003 году Перельман решил гипотезу Пуанкаре».^[32]

В декабре 2006 г. журнал Наука удостоил доказательства гипотезы Пуанкаре как Прорыв года и поместил это на обложку.^[9]

Риччи Флоу с хирургией

Программа Гамильтона по доказательству гипотезы Пуанкаре включает сначала постановку Риманова метрика на неизвестном односвязном замкнутом трехмерном многообразии. Основная идея - попытаться «улучшить» этот показатель; например, если метрика может быть улучшена настолько, чтобы она имела постоянную положительную кривизну, то, согласно классическим результатам римановой геометрии, это должна быть 3-сфера. Гамильтон предписал "Риччи поток уравнения »для улучшения метрики;

${displaystyle partial _ {t} g_ {ij} = - 2R_ {ij}}$

куда грамм это метрика и р его кривизна Риччи, и можно надеяться, что со временем т увеличивается коллектор становится легче понять. Поток Риччи расширяет часть коллектора с отрицательной кривизной и сжимает часть с положительной кривизной.

В некоторых случаях Гамильтон смог показать, что это работает; например, его первоначальный прорыв состоял в том, чтобы показать, что если риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи всюду, то описанная выше процедура может выполняться только для ограниченного интервала значений параметров, ${displaystyle tin [0, T)}$ с ${displaystyle T$и, что более важно, есть числа ${displaystyle c_ {t}}$ так что как ${displaystyle tearrow T}$, римановы метрики ${displaystyle c_ {t} g (t)}$ плавно сходятся к одной постоянной положительной кривизны. Согласно классической римановой геометрии, единственное односвязное компактное многообразие, которое может поддерживать риманову метрику постоянной положительной кривизны, - это сфера. Итак, по сути, Гамильтон показал частный случай гипотезы Пуанкаре: если компактное односвязное 3-многообразие поддерживает риманову метрику положительной кривизны Риччи, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере.

Если вместо этого имеется только произвольная риманова метрика, уравнения потока Риччи должны приводить к более сложным сингулярностям. Основное достижение Перельмана состояло в том, чтобы показать, что, если взглянуть с определенной точки зрения, если они появляются за конечное время, эти сингулярности могут выглядеть только как сжимающиеся сферы или цилиндры. Обладая количественным пониманием этого явления, он разрезает многообразие по сингулярностям, разбивая многообразие на несколько частей, а затем продолжает поток Риччи на каждой из этих частей. Эта процедура известна как поток Риччи с хирургическим вмешательством.

Перельман привел отдельный аргумент, основанный на поток сокращения кривой показать, что на односвязном компактном трехмерном многообразии любое решение потока Риччи с перестройкой вымирает за конечное время. Альтернативный аргумент, основанный на теории минимума-максимума минимальных поверхностей и геометрической теории меры, был предоставлен Тобиас Колдинг и Уильям Миникоцци. Следовательно, в односвязном контексте все, что имеет значение, - это описанные выше феномены конечного времени потока Риччи с хирургией. Фактически, это верно даже в том случае, если фундаментальная группа является свободным произведением конечных групп и циклических групп.

Это условие на фундаментальную группу оказывается необходимым и достаточным для вымирания за конечное время. Это равносильно утверждению, что простое разложение многообразия не имеет ациклических компонентов и оказывается эквивалентным условию, что все геометрические части многообразия имеют геометрию, основанную на двух геометриях Терстона S²×р и S³. В контексте того, что никто не делает никаких предположений относительно фундаментальной группы вообще, Перельман провел дальнейшее техническое исследование предела многообразия для бесконечно больших времен и тем самым доказал гипотезу о геометризации Терстона: на больших временах многообразие имеет толсто-тонкий разложение, толстый кусок которого имеет гиперболическую структуру, а тонкий кусок графовое многообразие. Однако из-за результатов Перельмана, Колдинга и Миникоцци эти дальнейшие результаты не нужны для доказательства гипотезы Пуанкаре.

Решение

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Октябрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Григорий Перельман

13 ноября 2002 г. российский математик Григорий Перельман опубликовал первую из трех eprints на arXiv наметив решение гипотезы Пуанкаре. Доказательство Перельмана использует модифицированную версию Риччи поток программа разработана Ричард С. Гамильтон. В августе 2006 года Перельман был награжден, но отклонил Медаль Филдса (стоимостью 15 000 канадских долларов) за доказательство. 18 марта 2010 г. Институт математики Клэя присудил Перельману 1 миллион долларов Приз тысячелетия в знак признания его доказательств.^[33][34] Перельман отверг и эту премию.^[7][35]

Перельман доказал гипотезу, деформировав многообразие с помощью потока Риччи (который ведет себя аналогично потоку Риччи). уравнение теплопроводности описывающий распространение тепла через объект). Поток Риччи обычно деформирует коллектор в сторону более округлой формы, за исключением некоторых случаев, когда он растягивает коллектор отдельно от себя в сторону того, что известно как особенности. Перельман и Гамильтон затем разрезают многообразие по сингулярностям (процесс, называемый «операцией»), заставляя отдельные части принимать форму шара. Основные шаги в доказательстве включают демонстрацию того, как ведут себя многообразия, когда они деформируются потоком Риччи, исследование того, какие особенности развиваются, определение того, можно ли завершить этот процесс операции и установление того, что операцию не нужно повторять бесконечно много раз.

Первый шаг - деформировать коллектор с помощью Риччи поток. Риччи С. Гамильтон определил поток Риччи как способ деформирования многообразий. Формула потока Риччи представляет собой имитацию уравнение теплопроводности который описывает, как тепло течет в твердом теле. Подобно тепловому потоку, поток Риччи стремится к однородному поведению. В отличие от теплового потока, поток Риччи мог столкнуться с сингулярностями и перестать функционировать. Сингулярность в многообразии - это место, где она не дифференцируема: например, угол, выступ или защемление. Поток Риччи был определен только для гладких дифференцируемых многообразий. Гамильтон использовал поток Риччи, чтобы доказать, что некоторые компактные многообразия диффеоморфный к сферам, и он надеялся применить его для доказательства гипотезы Пуанкаре. Ему нужно было понять особенности.^{[нужна цитата]}

Гамильтон составил список возможных сингулярностей, которые могли образоваться, но он был обеспокоен тем, что некоторые особенности могут вызвать трудности. Он хотел разрезать многообразие по сингулярностям и вставить заглавные буквы, а затем снова запустить поток Риччи, поэтому ему нужно было понять особенности и показать, что некоторые виды сингулярностей не возникают. Перельман обнаружил, что все сингулярности очень просты: по сути, трехмерные цилиндры, сделанные из сфер, вытянутых вдоль линии. Обычный цилиндр состоит из окружностей, вытянутых вдоль линии. Перельман доказал это, используя так называемый «уменьшенный объем», который тесно связан с собственное значение определенного эллиптическое уравнение.

Иногда сложная операция сводится к умножению на скаляр (число). Такие числа называются собственными значениями этой операции. Собственные значения тесно связаны с частотами вибрации и используются при анализе известной проблемы: ты слышишь форму барабана? По сути, собственное значение похоже на ноту, которую играет многообразие. Перельман доказал, что это замечание растет, поскольку многообразие деформируется потоком Риччи. Это помогло ему устранить некоторые из наиболее неприятных особенностей, которые волновали Гамильтона, в частности, решение сигарного солитона, которое выглядело как нить, торчащая из коллектора, с другой стороны ничего не было. По сути, Перельман показал, что все образующиеся пряди можно обрезать и закрепить, и ни одна из них не выступает только с одной стороны.

Завершая доказательство, Перельман берет любое компактное односвязное трехмерное многообразие без границы и запускает поток Риччи. Это деформирует коллектор на круглые части с прядями, проходящими между ними. Он разрезает нити и продолжает деформировать коллектор, пока в конце концов не останется набор круглых трехмерных сфер. Затем он перестраивает исходное многообразие, соединяя сферы вместе с трехмерными цилиндрами, трансформирует их в круглую форму и видит, что, несмотря на всю первоначальную путаницу, многообразие фактически гомеоморфно сфере.

Возник сразу же вопрос: как можно быть уверенным в том, что бесконечное количество разрезов не требуется. Это было поднято из-за того, что сокращение потенциально может продолжаться вечно. Перельман доказал, что этого не может быть, используя минимальные поверхности на коллекторе. Минимальная поверхность - это, по сути, мыльная пленка. Гамильтон показал, что площадь минимальной поверхности уменьшается по мере того, как в многообразии течет Риччи. Перельман проверил, что произошло с площадью минимальной поверхности при разрезании многообразия. Он доказал, что в конечном итоге площадь настолько мала, что любой вырез после области будет таким маленьким, как отрубание трехмерных сфер, а не более сложных частей. Это описывается как битва с Гидрой. Сормани в цитируемой ниже книге Шпиро. Эта последняя часть доказательства появилась в третьей и последней статье Перельмана по этому поводу.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кляйнер, Брюс; Лотт, Джон (2008). «Заметки о бумагах Перельмана». Геометрия и топология. 12 (5): 2587–2855. arXiv:математика / 0605667. Дои:10.2140 / gt.2008.12.2587. МИСТЕР 2460872. S2CID 119133773.
• Хуай-Донг Цао; Си-Пин Чжу (3 декабря 2006 г.). "Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации". arXiv:math.DG / 0612069.
• Морган, Джон В.; Тиан, банда (2007). Поток Риччи и гипотеза Пуанкаре. Монографии по математике из глины. 3. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. arXiv:математика / 0607607. ISBN 978-0-8218-4328-4. МИСТЕР 2334563.: Подробное доказательство, дополняющее работы Перельмана.
• О'Ши, Донал (26 декабря 2007 г.). Гипотеза Пуанкаре: в поисках формы Вселенной. Уокер и компания. ISBN 978-0-8027-1654-5.
• Перельман, Гриша (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv:math.DG / 0211159.
• Перельман, Гриша (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с операцией на трехмерных многообразиях». arXiv:math.DG / 0303109.
• Перельман, Гриша (17 июля 2003 г.). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv:math.DG / 0307245.
• Шпиро, Джордж (29 июля 2008 г.). Приз Пуанкаре: столетний поиск решения одной из величайших математических головоломок. Плюм. ISBN 978-0-452-28964-2.
• Стиллвелл, Джон (2012). «Пуанкаре и ранняя история 3-многообразий». Бюллетень Американского математического общества. 49 (4): 555–576. Дои:10.1090 / S0273-0979-2012-01385-X. МИСТЕР 2958930.
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2019). Форма жизни: один математик в поисках скрытой геометрии Вселенной. Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета. ISBN 978-0-300-23590-6. МИСТЕР 3930611.

внешняя ссылка

• Гипотеза Пуанкаре в ProofWiki

• "Гипотеза Пуанкаре" – BBC Radio 4 программа В наше время, 2 ноября 2006 г. Соавторы Джун Барроу-Грин, преподаватель истории математики Открытый университет, Ян Стюарт, Профессор математики Уорикский университет, Маркус дю Сотуа, Профессор математики Оксфордский университет, и ведущий Мелвин Брэгг.