WikiDer > Категориальный след

В математике категоричный след является обобщением след матрицы.

Определение

Трасса определяется в контексте симметричная моноидальная категория C, т.е. категория, снабженная подходящим понятием продукта ${ displaystyle otimes}$. (Обозначения отражают, что произведение во многих случаях является разновидностью тензорного произведения.) Объект Икс в такой категории C называется двойственный если есть другой объект ${ Displaystyle X ^ { vee}}$ играя роль двойного объекта Икс. В этой ситуации след морфизма ${ displaystyle f: X to X}$ определяется как композиция следующих морфизмов:${ displaystyle mathrm {tr} (f): 1 to X otimes X ^ { vee} { stackrel {f otimes id} { to}} X otimes X ^ { vee} to 1 }$где 1 - моноидальная единица, а экстремальные морфизмы - это сооценка и оценка, которые являются частью определения дуализуемых объектов.^[1]

То же самое определение применяется, с большим эффектом, также, когда C является симметричной моноидальной ∞-категорией.

Примеры

Если C - категория векторных пространств над фиксированным полем k, дуализируемые объекты - это в точности конечномерные векторные пространства, а след в указанном выше смысле является морфизмом

${ displaystyle k to k}$

которое есть умножение на след эндоморфизма ж в обычном смысле линейной алгебры. В этом смысле категорный след обобщает линейно-алгебраический след.

Если C ∞-категория цепные комплексы модулей (над фиксированным коммутативным кольцом р), дуализируемые объекты V в C точно идеальные комплексы. Трассировка в этой настройке фиксирует, например, Эйлерова характеристика, который представляет собой переменную сумму рангов его членов:

${ displaystyle mathrm {tr} (id_ {V}) = sum _ {i} (- 1) ^ {i} operatorname {rank} V_ {i}.}$^[2]

Дальнейшие приложения

Кондырев и Приходько (2018) использовали методы категориального следа для доказательства алгебро-геометрической версии Формула Атьи – Ботта для неподвижной точки, расширение Формула фиксированной точки Лефшеца.

Рекомендации

• Кондырев, Григорий; Приходько, Артем (2018), "Категорическое доказательство голоморфной формулы Атьи – Ботта", J. Inst. Математика. Жасси: 1–25, arXiv:1607.06345, Дои:10.1017 / S1474748018000543

• Понто, Кейт; Шульман, Майкл (2014), "Следы в симметричных моноидальных категориях", Expositiones Mathematicae, 32 (3): 248–273, arXiv:1107.6032, Bibcode:2011arXiv1107.6032P