WikiDer > Симметричная моноидальная категория - Википедия

Symmetric monoidal category - Wikipedia

В теория категорий, филиал математика, а симметричная моноидальная категория это моноидальная категория (т.е. категория, в которой «тензорное произведение» ${ displaystyle otimes}$ определено) так, чтобы тензорное произведение было симметричным (т. е. ${ displaystyle A otimes B}$ в определенном строгом смысле естественно изоморфно ${ displaystyle B otimes A}$ для всех объектов ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ категории). Одним из типичных примеров симметричной моноидальной категории является категория векторных пространств над некоторыми фиксированными поле k, используя обычные тензорное произведение векторных пространств.

Определение

Симметричная моноидальная категория - это моноидальная категория (C, ⊗, я) такой, что для каждой пары А, B объектов в C, существует изоморфизм ${ displaystyle s_ {AB}: от A otimes B до B otimes A}$ то есть естественный в обоих А и B и такие, что коммутируют следующие диаграммы:

Связность агрегата:
Связность ассоциативности:
Обратный закон:

На диаграммах выше а, л , р являются изоморфизмом ассоциативности, левым единичным изоморфизмом и правым единичным изоморфизмом соответственно.

Примеры

Некоторые примеры и не примеры симметричных моноидальных категорий:

В категория наборов. Тензорное произведение - это декартово теоретико-множественное произведение, и любой синглтон может быть зафиксирован как единичный объект.
В категория групп. Как и раньше, тензорное произведение - это просто декартово произведение групп, а тривиальная группа - это единичный объект.
В более общем смысле, любая категория с конечными продуктами, то есть декартова моноидальная категория, является симметричным моноидальным. Тензорное произведение является прямым произведением объектов, а любой конечный объект (пустой продукт) является единичным объектом.
В категория бимодулей над кольцом р является моноидальным (используя обычное тензорное произведение модулей), но не обязательно симметричным. Если р коммутативна, категория левых р-модули симметричны моноидальны. Последний примерный класс включает категорию всех векторных пространств над данным полем.
Учитывая поле k и группа (или Алгебра Ли над k), категория всех k-линейный представления группы (или алгебры Ли) является симметричной моноидальной категорией. Здесь используется стандартное тензорное произведение представлений.
Категории (Ste, ${ displaystyle circledast}$ ) и (Ste, ${ displaystyle odot}$ ) из стереотипные пространства над ${ Displaystyle { mathbb {C}}}$ являются симметричными моноидальными, причем (Ste, ${ displaystyle circledast}$ ) это закрыто симметричная моноидальная категория с внутренним гом-функтором ${ displaystyle oslash}$ .

Характеристики

В классификация пространства (геометрическая реализация нерв) симметричной моноидальной категории является ${ displaystyle E _ { infty}}$ пространство, так что это завершение группы является бесконечное пространство цикла.^[1]

Специализации

А кинжал симметричная моноидальная категория симметричная моноидальная категория с согласованной структура кинжала.

А космос это полный завершенный закрыто симметричная моноидальная категория.

Обобщения

В симметричной моноидальной категории естественные изоморфизмы ${ displaystyle s_ {AB}: от A otimes B до B otimes A}$ их собственный обратное в том смысле, что ${ displaystyle s_ {BA} circ s_ {AB} = 1_ {A otimes B}}$ . Если мы откажемся от этого требования (но все же потребуем, чтобы ${ displaystyle A otimes B}$ естественно изоморфен ${ displaystyle B otimes A}$ ), получаем более общее понятие плетеная моноидальная категория.

Navigation