WikiDer > Категория наборов - Википедия

в математический поле теория категорий, то категория наборов, обозначенный как Набор, это категория чей объекты находятся наборы. Стрелки или морфизмы между сетами А и B являются общие функции из А к B, а композиция морфизмов - это состав функций.

Многие другие категории (например, категория групп, с групповые гомоморфизмы в виде стрелок) добавляют структуру к объектам категории наборов и / или ограничивают стрелки функциями определенного типа.

Свойства категории множеств

Аксиомам категории удовлетворяют Набор потому что композиция функций ассоциативный, и потому что каждый набор Икс имеет функция идентичности я бы_Икс : X → X который служит элементом идентичности для функциональной композиции.

В эпиморфизмы в Набор являются сюръективный карты, мономорфизмы являются инъективный карты, а изоморфизмы являются биективный карты.

В пустой набор служит исходный объект в Набор с пустые функции как морфизмы. Каждый одиночка это конечный объект, с функциями, отображающими все элементы исходных наборов в один целевой элемент как морфизмы. Таким образом, нет нулевые объекты в Набор.

Категория Набор является полный и со-завершенный. В товар в этой категории дается декартово произведение наборов. В сопродукт дается несвязный союз: данные наборы А_я куда я колеблется над некоторым набором индексов я, мы строим копроизведение как объединение А_я×{я} (декартово произведение с я служит для того, чтобы все компоненты не пересекались).

Набор является прототипом конкретная категория; другие категории являются конкретными, если они «построены на» Набор каким-то четко определенным образом.

Каждый двухэлементный набор служит классификатор подобъектов в Набор. Энергетический объект набора А дается его набор мощности, а экспоненциальный объект наборов А и B задается набором всех функций из А к B. Набор таким образом топос (и в частности декартово закрыто и точно в смысле Барра).

Набор не является абелевский, добавка ни предаддитив.

Каждое непустое множество - это инъективный объект в Набор. Каждый набор - это проективный объект в Набор (при условии аксиома выбора).

В конечно презентабельные объекты в Набор - конечные множества. Поскольку каждый набор является прямой предел его конечных подмножеств категория Набор это локально конечно представимая категория.

Если C - произвольная категория, контравариантные функторы из C к Набор часто являются важным объектом изучения. Если А является объектом C, то функтор из C к Набор что посылает Икс в Hom_C(Икс,А) (множество морфизмов в C из Икс к А) является примером такого функтора. Если C это малая категория (т.е. совокупность его объектов образует набор), то контравариантные функторы из C к Наборвместе с естественными преобразованиями как морфизмами образуют новую категорию категория функторов известная как категория предварительные пучки на C.

Основы для категории комплектов

В Теория множеств Цермело – Френкеля набор всех наборов не является набором; это следует из аксиома основания. Один относится к коллекциям, которые не установлены как правильные классы. Невозможно обрабатывать правильные классы так же, как наборы; в частности, нельзя написать, что эти правильные классы принадлежат коллекции (либо набору, либо к собственному классу). Это проблема, потому что это означает, что категория множеств не может быть формализована прямо в этой настройке. Категории вроде Набор чья коллекция объектов формирует соответствующий класс, известна как большие категории, чтобы отличить их от небольших категорий, объекты которых образуют множество.

Один из способов решить проблему - работать в системе, которая придает формальный статус соответствующим классам, например Теория множеств NBG. В этом случае категории, сформированные из наборов, называются маленький и те (вроде Набор), образованные из собственных классов, называются большой.

Другое решение - предположить существование Вселенные Гротендика. Грубо говоря, вселенная Гротендика - это множество, которое само по себе является моделью ZF (C) (например, если множество принадлежит вселенной, его элементы и их набор мощности будут принадлежать вселенной). Существование вселенных Гротендика (кроме пустого множества и множества ${ displaystyle V _ { omega}}$ из всех наследственно конечные множества) не следует из обычных аксиом ZF; это дополнительная независимая аксиома, примерно эквивалентная существованию сильно труднодоступные кардиналы. Принимая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Набор к элементам определенной вселенной. (В модели нет "набора всех наборов", но все же можно рассуждать о классе U всех внутренних множеств, т.е.элементы U.)

В одном из вариантов этой схемы класс множеств представляет собой объединение всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно правильный класс, но каждая вселенная Гротендика представляет собой набор, потому что это элемент некоторой более крупной вселенной Гротендика.) Однако нельзя напрямую работать с «категорией всех множеств». Вместо этого теоремы выражаются в терминах категории Набор_U чьи объекты являются элементами достаточно большой вселенной Гротендика U, а затем показано, что они не зависят от конкретного выбора U. В качестве основы для теория категорий, этот подход хорошо сочетается с такой системой, как Теория множеств Тарского – Гротендика в котором нельзя напрямую рассуждать о надлежащих классах; его главный недостаток в том, что теорема может быть верной для всех Набор_U но не из Набор.

Были предложены различные другие решения и варианты вышеупомянутого.^[1][2][3]

Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств.

Смотрите также

• Теория множеств
• Малый набор (теория категорий)

Примечания

Рекомендации

• Бласс, А. Взаимодействие теории категорий и теории множеств. Современная математика 30 (1984).
• Феферман С. Теоретико-множественные основы теории категорий. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 201–247.
• Лавер, Ф. Элементарная теория категории множеств (полная версия) с комментариями
• Мак-Лейн, С. Одна вселенная как основа теории категорий. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 192–200.
• Мак-Лейн, Сондерс (Сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика. Springer. ISBN 0-387-98403-8. (Том 5 из серии Тексты для выпускников по математике)
• Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы, Чистая и прикладная математика, 39, Академическая пресса, ISBN 978-0-12-545150-5