WikiDer > Инъективный объект

В математика, особенно в области теория категорий, Концепция чего-либо инъективный объект является обобщением концепции инъективный модуль. Эта концепция важна в когомология, в теория гомотопии и в теории категории моделей. Двойственное понятие - это понятие проективный объект.

Определение

Объект Q инъективно, если по мономорфизму ж : Икс → Y, Любые грамм : Икс → Q может быть расширен до Y.

An объект ${ displaystyle Q}$ в категория ${ displaystyle mathbf {C}}$ как говорят инъективный если для каждого мономорфизм ${ displaystyle f: от X до Y}$ и каждый морфизм ${ displaystyle g: X to Q}$ существует морфизм ${ displaystyle h: от Y до Q}$ расширение ${ displaystyle g}$ к ${ displaystyle Y}$, т.е. такие, что ${ displaystyle h circ f = g}$.

Морфизм ${ displaystyle h}$ в приведенном выше определении не требуется однозначно определять ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$.

В местно маленький категории, это эквивалентно требованию, чтобы хом функтор ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { mathbf {C}} (-, Q)}$ несет мономорфизмы в ${ displaystyle mathbf {C}}$ к сюръективный набор карт.

В абелевых категориях

Понятие инъективности было впервые сформулировано для абелевы категории, и это по-прежнему одна из основных областей ее применения. Когда ${ displaystyle mathbf {C}}$ абелева категория, объект Q из ${ displaystyle mathbf {C}}$ инъективен если и только если его хом функтор Hom_C(–,Q) является точный.

Если ${ Displaystyle 0 к Q к U к V к 0}$ является точная последовательность в ${ displaystyle mathbf {C}}$ такой, что Q инъективно, то последовательность разбиения.

Достаточно инъективных и инъективных оболочек

Категория ${ displaystyle mathbf {C}}$ говорят иметь достаточно инъекций если для каждого объекта Икс из ${ displaystyle mathbf {C}}$, существует мономорфизм из Икс к инъективному объекту.

Мономорфизм грамм в ${ displaystyle mathbf {C}}$ называется существенный мономорфизм если по любому морфизму ж, составной фг является мономорфизмом, только если ж является мономорфизмом.

Если грамм является существенным мономорфизмом с областью определения Икс и инъективный кодомен грамм, тогда грамм называется инъективная оболочка из Икс. Тогда инъективная оболочка однозначно определяется равенством Икс вплоть до неканонический изоморфизм.

Примеры

• В категории абелевы группы и групповые гомоморфизмы, Ab, инъективный объект обязательно является делимая группа. Принимая аксиому выбора, понятия эквивалентны.
• В категории (слева) модули и модульные гомоморфизмы, р-Мод, инъективный объект - это инъективный модуль. р-Мод имеет инъективные оболочки (как следствие, р-Мод хватает инъекций).
• в категория метрических пространств, Встретились, инъективный объект - это инъективное метрическое пространство, а инъективная оболочка метрического пространства - это его тесный промежуток.
• В категории Т₀ пробелы и непрерывные отображения, инъективный объект всегда Топология Скотта на непрерывная решетка, и поэтому всегда трезвый и локально компактный.

Использует

Если в абелевой категории достаточно инъективных, мы можем сформировать инъективные разрешения, т.е. для данного объекта Икс мы можем сформировать длинную точную последовательность

${ Displaystyle 0 к X к Q ^ {0} к Q ^ {1} к Q ^ {2} к cdots}$

и затем можно определить производные функторы данного функтора F применяя F к этой последовательности и вычисление гомологии полученной (не обязательно точной) последовательности. Этот подход используется для определения Ext, и Tor функторы, а также различные когомология теории в теория групп, алгебраическая топология и алгебраическая геометрия. Используемые категории обычно категории функторов или категории снопы О_Икс модули над некоторыми окольцованное пространство (Икс, О_Икс) или, в более общем смысле, любой Категория Гротендика.

Обобщение

Объект Q является ЧАС-инъективный, если, учитывая час : А → B в ЧАС, Любые ж : А → Q факторы через час.

Позволять ${ displaystyle mathbf {C}}$ быть категорией и пусть ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ быть класс морфизмов ${ displaystyle mathbf {C}}$.

Объект ${ displaystyle Q}$ из ${ displaystyle mathbf {C}}$ как говорят ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-инъективный если для каждого морфизма ${ displaystyle f: от A до Q}$ и каждый морфизм ${ displaystyle h: от A до B}$ в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ существует морфизм ${ displaystyle g: B to Q}$ с ${ displaystyle g circ h = f}$.

Если ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ это класс мономорфизмы, мы возвращаемся к инъективным объектам, о которых говорилось выше.

Категория ${ displaystyle mathbf {C}}$ говорят достаточно ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-инъективы если для каждого объекта Икс из ${ displaystyle mathbf {C}}$, существует ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-морфизм из Икс чтобы ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-инъективный объект.

А ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-морфизм грамм в ${ displaystyle mathbf {C}}$ называется ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-существенный если по любому морфизму ж, составной фг в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ только если ж в ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Если грамм это ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-существенный морфизм с доменом Икс и ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-инъективный кодомен грамм, тогда грамм называется ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-инъективный корпус из Икс.

Примеры ЧАС-инъективные объекты

• В категории симплициальные множества, инъективные объекты по отношению к классу ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ анодных удлинителей Кан комплексы.
• В категории частично упорядоченные наборы и монотонные карты, то полные решетки формируют инъективные объекты для класса ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ из порядковые вложения, а Завершение Дедекинда – МакНила частично упорядоченного множества - это его ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-инъективный корпус.

Смотрите также

• Проективный объект

Примечания

Рекомендации

• Дж. Росицки, Инъективность и доступные категории
• Ф. Кальяри и С. Монтовани, Т.₀-отражающие и инъективные оболочки расслоенных пространств