WikiDer > Закрытая моноидальная категория - Википедия

В математика, особенно в теория категорий, а закрытая моноидальная категория (или моноидальная замкнутая категория) это категория это одновременно моноидальная категория и закрытая категория таким образом, чтобы конструкции были совместимы.

Классический пример - категория наборов, Набор, где моноидальное произведение множеств ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ это обычный декартово произведение ${ displaystyle A times B}$, а внутренний Hom ${ displaystyle B ^ {A}}$ это набор функции из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$. Не-декартов пример - это категория векторных пространств, K-Вект, через поле ${ displaystyle K}$. Здесь моноидальное произведение - это обычный тензорное произведение из векторные пространства, а внутреннее Hom - векторное пространство линейные карты из одного векторного пространства в другое.

В внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий есть линейная логика и система типов это система линейного типа. Многие примеры замкнутых моноидальных категорий: симметричный. Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории могут встречаться в теоретико-категорийных формулировках лингвистика; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Определение

А закрытая моноидальная категория это моноидальная категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ так что для каждого объекта ${ displaystyle B}$ то функтор задано правым тензором с ${ displaystyle B}$

${ displaystyle A mapsto A otimes B}$

имеет правый смежный, написано

${ Displaystyle A mapsto (B Rightarrow A).}$

Это означает, что существует биекция, называемая 'карри', между Hom-множества

${ displaystyle { text {Hom}} _ { mathcal {C}} (A otimes B, C) cong { text {Hom}} _ { mathcal {C}} (A, B Rightarrow C )}$

это естественно в обоих А и C. В других, но общих обозначениях можно было бы сказать, что функтор

${ displaystyle - otimes B: { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}$

имеет право сопряженный

${ displaystyle [B, -]: { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}$

Эквивалентно замкнутая моноидальная категория ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ категория оборудована, на каждые два объекта А и B, с

• объект ${ Displaystyle A Rightarrow B}$,
• морфизм ${ displaystyle mathrm {eval} _ {A, B} :( A Rightarrow B) otimes A to B}$,

удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого морфизма

${ displaystyle f: X время от A до B}$

существует уникальный морфизм

${ displaystyle h: X to A Rightarrow B}$

такой, что

${ displaystyle f = mathrm {eval} _ {A, B} circ (h otimes mathrm {id} _ {A}).}$

Можно показать, что эта конструкция определяет функтор ${ displaystyle Rightarrow: { mathcal {C}} ^ {op} times { mathcal {C}} to { mathcal {C}}}$. Этот функтор называется внутренний функтор Hom, а объект ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ называется внутренний Hom из ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$. Многие другие обозначения обычно используются для внутреннего Hom. Когда тензорное произведение на ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ - декартово произведение, обычное обозначение ${ displaystyle B ^ {A}}$ и этот объект называется экспоненциальный объект.

Двухзамкнутые и симметричные категории

Строго говоря, мы определили право закрыто моноидальная категория, поскольку мы требовали, чтобы верно тензор с любым объектом ${ displaystyle A}$ имеет правый сопряженный. В оставлен закрытым моноидальной категории, мы вместо этого требуем, чтобы функтор левого тензоринга с любым объектом ${ displaystyle A}$

${ displaystyle B mapsto A otimes B}$

иметь право сопрягать

${ Displaystyle B mapsto (B Leftarrow A)}$

А двустворчатый моноидальная категория - это моноидальная категория, замкнутая как слева, так и справа.

А симметричная моноидальная категория остается закрытым тогда и только тогда, когда оно закрывается справа. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, является ли она замкнутой вправо или влево. Фактически, то же самое верно и для плетеные моноидальные категории: поскольку плетение делает ${ displaystyle A otimes B}$ естественно изоморфен ${ displaystyle B otimes A}$, различие между натяжением слева и натяжением справа становится несущественным, поэтому каждая правая закрытая плетеная моноидальная категория становится закрытой слева каноническим способом, и наоборот.

Мы описали замкнутые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Эквивалентно замкнутую моноидальную категорию можно определить как закрытая категория с дополнительным имуществом. А именно, мы можем потребовать существования тензорное произведение то есть левый смежный к внутренний функтор Hom.В этом подходе замкнутые моноидальные категории также называют моноидальные замкнутые категории.

Примеры

• Каждый декартова закрытая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, когда моноидальная структура является декартовой структурой произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальный объект ${ displaystyle B ^ {A}}$.
  • В частности, категория наборов, Набор, является симметричной замкнутой моноидальной категорией. Здесь внутренний Hom ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ это просто набор функций из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$.
• В категория модулей, р-Мод через коммутативное кольцо р не декартова симметричная моноидальная замкнутая категория. Моноидальное произведение задается формулой тензорное произведение модулей а внутренний Hom ${ Displaystyle M Rightarrow N}$ дается пространством р-линейные карты ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$ с его естественным р-модульная структура.
  • В частности, категория векторных пространств над полем ${ displaystyle K}$ является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
  • Абелевы группы можно рассматривать как Z-модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
• А компактная закрытая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, в которой внутренний функтор Hom ${ Displaystyle A Rightarrow B}$ дан кем-то ${ displaystyle A ^ {*} otimes B}$. Канонический пример - категория конечномерных векторных пространств, FdVect.

Контрпримеры

• В категория колец является симметричной моноидальной категорией относительно тензорное произведение колец, с ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ служащий единичным объектом. Эта категория нет закрыто. Если бы это было так, между любой парой колец был бы ровно один гомоморфизм: ${ displaystyle operatorname {Hom} (R, S) cong operatorname {Hom} ( mathbb {Z} otimes R, S) cong operatorname {Hom} ( mathbb {Z}, R Rightarrow S ) cong { bullet }}$. То же верно и для категории р-алгебры через коммутативное кольцо р.

Смотрите также

• Сопряжение Исбелла

Рекомендации

• Келли, Г. «Основные понятия теории обогащенных категорий», Серия лекций Лондонского математического общества № 64 (C.U.P., 1982)
• Поль-Андре Мельес, «Категориальная семантика линейной логики», Panoramas et Synthèses 27, Société Mathématique de France, 2009 г.
• Замкнутая моноидальная категория в nLab