WikiDer > Декартова моноидальная категория
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, особенно в области, известной как теория категорий, а моноидальная категория где моноидальное («тензорное») произведение - это категориальный продукт называется декартова моноидальная категория. Любой категория с конечными продуктами («категория конечных продуктов») можно рассматривать как декартову моноидальную категорию. В любой декартовой моноидальной категории конечный объект - тензорная единица. Вдвойне, моноидальная категория конечных копроизведений с моноидальной структурой, заданной сопродукт и объединить исходный объект называется кокартова моноидальная категория, и любую категорию конечных копроизведений можно рассматривать как кокартову моноидальную категорию.
Декартовы категории с внутренним Hom функтор это присоединенный функтор к товару называются Декартовы закрытые категории.[1]
Характеристики
Декартовы моноидальные категории обладают рядом особых и важных свойств, таких как существование диагональные карты ΔИкс : Икс → Икс ⊗ Икс и дополнения еИкс : Икс → я для любого объект Икс. В приложениях к Информатика мы можем думать о Δ как о «дублировании данных» и е как «удаление данных». Эти карты превращают любой объект в комоноид. Фактически, любой объект в декартовой моноидальной категории становится комоноидом уникальным образом.
Примеры
Декартовы моноидальные категории:
- Набор, то категория наборов с одноэлементный набор служащий единицей.
- Кот, то бикатегория малых категорий с Категория продукта, где единицей является категория с одним объектом и только его идентификационной картой.
Кокартезианские моноидальные категории:
- Vect, то категория векторных пространств над данным поле, можно сделать кокартово моноидальным с помощью "тензорного произведения", задаваемого прямая сумма векторных пространств и тривиальное векторное пространство как единица.
- Ab, то категория абелевых групп, с прямая сумма абелевых групп как моноидальный продукт и тривиальная группа как единица.
- В более общем плане категория р-Мод из (слева) модули через звенеть р (коммутативный или нет) становится кокартезианской моноидальной категорией с прямая сумма модулей как тензорное произведение и тривиальный модуль как единица.
В каждой из этих категорий модулей, снабженных кокартовой моноидальной структурой, конечные произведения и копроизведения совпадают (в том смысле, что произведение и копроизведение конечного числа объектов изоморфны). Или более формально, если ж : Икс1 ∐ ... ∐ Иксп → Икс1 × ... × Иксп "каноническая" карта из п-опарное произведение объектов Иксj к их продукту, за натуральное число п, если карта ж является изоморфизм, мы говорим, что побочный продукт для объектов Иксj это объект изоморфен и вместе с картами яj : Иксj → Икс и пj : Икс → Иксj такая, что пара (Икс, {яj}) - диаграмма сопродукции для объектов Иксj и пара (Икс, {пj}) представляет собой диаграмму продукта для объектов Иксj , и где пj ∘ яj = idИксj. Если, кроме того, рассматриваемая категория имеет нулевой объект, так что для любых объектов А и B есть уникальная карта 0А,B : А → 0 → B, часто следует, что пk ∘ яj = : δij, то Дельта Кронекера, где мы интерпретируем 0 и 1 как карты 0 и карты идентичности объектов Иксj и Иксk, соответственно. Видеть категория перед добавкой для большего.
