WikiDer > Дельта Кронекера

Kronecker delta

В математика, то Дельта Кронекера (названный в честь Леопольд Кронекер) это функция из двух переменные, обычно просто неотрицательный целые числа. Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае:

или с использованием Скобки Айверсона:

где дельта Кронекера δij это кусочно функция переменных я и j. Например, δ1 2 = 0, в то время как δ3 3 = 1.

Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики и инженерии как средство компактного выражения своего определения, приведенного выше.

В линейная алгебра, то п × п единичная матрица я имеет записи, равные дельте Кронекера:

где я и j принять значения 1, 2, ..., п, а внутренний продукт из векторов можно записать как

Ограничение положительными целыми числами является обычным явлением, но нет причин, по которым оно не может иметь отрицательные целые числа а также положительный или любой дискретный рациональное число. Если я и j выше принимают рациональные значения, то, например,

Последний случай предназначен для удобства. Однако дельта Кронекера не определена для комплексных чисел.

Характеристики

Удовлетворяются следующие уравнения:

Следовательно, матрица δ можно рассматривать как единичную матрицу.

Еще одно полезное представление - это следующая форма:

Это можно вывести, используя формулу для конечный геометрический ряд.

Альтернативная нотация

С использованием Кронштейн Айверсона:

Часто запись с одним аргументом δя используется, что эквивалентно установке j = 0:

В линейная алгебра, это можно рассматривать как тензор, и написано δя
j
. Иногда дельту Кронекера называют тензором подстановки.[1]

Цифровая обработка сигналов

Функция единичного образца

При изучении цифровая обработка сигналов (DSP), функция единичной выборки представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера где индексы кронекера включают число ноль, а один из индексов равен нулю. В этом случае:

Или, в более общем смысле, где:

Однако это только очень частный случай. В тензорном исчислении базисные векторы в конкретном измерении чаще нумеруются, начиная с индекса 1, а не индекса 0. В этом случае отношение не существует, и на самом деле дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки - это действительно разные функции, которые случайно перекрываются в одном конкретном случае, когда индексы включают число 0, количество индексов равно 2, а один из индексов имеет нулевое значение.

Хотя в функции дискретной единичной выборки и дельта-функции Кронекера используется одна и та же буква, они различаются следующими способами. Для функции дискретной единичной выборки более условно помещать единственный целочисленный индекс в квадратные скобки, в отличие от дельты Кронекера, которая может иметь любое количество индексов. Кроме того, цель дискретной единичной выборочной функции отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция дискретной единичной выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет производиться на выходе системы. Напротив, типичная цель дельта-функции Кронекера - фильтровать термины из Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Функцию дискретной единичной выборки проще определить как:

Кроме того, в DSP есть функция, называемая Дельта-функция Дирака, который часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:

В отличие от дельта-функции Кронекера и функция единичной выборки , дельта-функция Дирака не имеет целочисленного индекса, имеет единственное непрерывное нецелое значение t.

Чтобы еще больше запутать ситуацию, единичная импульсная функция иногда используется для обозначения Дельта-функция Дирака , или функция единичной выборки .

Свойства дельта-функции

Дельта Кронекера имеет так называемые просеивание собственность, которая для j ∈ ℤ:

и если целые числа рассматриваются как измерить пространство, наделенный счетная мера, то это свойство совпадает с определяющим свойством Дельта-функция Дирака

и фактически дельта Дирака была названа в честь дельты Кронекера из-за этого аналогичного свойства[нужна цитата]. В обработке сигналов обычно контекст (дискретное или непрерывное время) отличает «функции» Кронекера и Дирака. И по условию δ(т) обычно указывает непрерывное время (Дирак), тогда как аргументы вроде я, j, k, л, м, и п обычно зарезервированы для дискретного времени (Кронекер). Другой распространенной практикой является представление дискретных последовательностей в квадратных скобках; таким образом: δ[п]. Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака.

Дельта Кронекера образует мультипликативный элемент идентичности из алгебра инцидентности.[2]

Связь с дельта-функцией Дирака

В теория вероятности и статистика, дельта Кронекера и Дельта-функция Дирака оба могут использоваться для представления дискретное распределение. Если поддержка раздачи состоит из точек Икс = {Икс1, ..., Иксп}, с соответствующими вероятностями п1, ..., пп, то функция массы вероятности п(Икс) распределения по Икс можно записать, используя дельту Кронекера, как

Эквивалентно функция плотности вероятности ж(Икс) распределения можно записать с помощью дельта-функции Дирака как

При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть в результате выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и в идеале проходит фильтрацию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) на Теорема выборки Найквиста – Шеннона, результирующий сигнал в дискретном времени будет дельта-функцией Кронекера.

Обобщения

Если рассматривать как тип (1,1) тензор, тензор Кронекера можно записатьδя
j
с ковариантный показатель j и контравариантный показатель я:

Этот тензор представляет:

В обобщенная дельта Кронекера или многоиндексная дельта Кронекера порядка 2п это тип (п,п) тензор, который является полностью антисимметричный в его п верхние индексы, а также в своих п более низкие показатели.

Два определения, которые различаются в несколько раз. п! уже используются. Ниже представлена ​​версия с ненулевыми компонентами, масштабируемыми до ±1. Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые ±1/п!, с последующими изменениями коэффициентов масштабирования в формулах, таких как коэффициенты масштабирования 1/п! в § Свойства обобщенной дельты Кронекера внизу исчезают.[3]

Определения обобщенной дельты Кронекера

В терминах индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как:[4][5]

Позволять Sп быть симметричная группа степени п, тогда:

С помощью антисимметризация:

С точки зрения п × п детерминант:[6]

С использованием Разложение лапласа (Формула Лапласа) определителя, его можно определить рекурсивно:[7]

где карон, ˇ, указывает индекс, который не указан в последовательности.

Когда п = п (размерность векторного пространства), в терминах Символ Леви-Чивита:

Свойства обобщенной дельты Кронекера

Обобщенная дельта Кронекера может использоваться для антисимметризация:

Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричные тензоры, мы можем вывести свойства обобщенной дельты Кронекера:

которые являются обобщенной версией формул, записанных в § Характеристики. Последняя формула эквивалентна формуле Формула Коши – Бине.

Уменьшение порядка путем суммирования индексов можно выразить тождеством[8]

Используя оба правила суммирования для случая п = п и связь с символом Леви-Чивита,правило суммирования символа Леви-Чивита выводится:

Четырехмерная версия последнего соотношения появляется у Пенроуза. спинорный подход к общей теории относительности[9] которые он позже обобщил, когда разрабатывал диаграммы Эйткена,[10] стать частью техники Графическое обозначение Пенроуза.[11] Кроме того, это соотношение широко используется в S-дуальность теории, особенно когда они написаны на языке дифференциальные формы и Ходжа двойные.

Интегральные представления

Для любого целого числа п, используя стандартный остаток вычисления, мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла ниже, где контур интеграла идет против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу поворотом в комплексной плоскости.

Гребень Кронекера

Гребенка Кронекера с периодом N определяется (с использованием DSP обозначение) как:

где N и п целые числа. Таким образом, гребенка Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов. N единиц и включает единичный импульс в нуле. Его можно рассматривать как дискретный аналог Гребень Дирака.

Интеграл Кронекера

Дельта Кронекера также называется степенью отображения одной поверхности в другую.[12] Предположим, что отображение происходит с поверхности Suvw к Sxyz это границы регионов, рuvw и рxyz которое просто связано с взаимно однозначным соответствием. В этом контексте, если s и т параметры для Suvw, и Suvw к Suvw ориентированы по внешней нормали п:

в то время как нормаль имеет направление

Позволять Икс = Икс(ты,v,ш), у = у(ты,v,ш), z = z(ты,v,ш) быть определенным и гладким в области, содержащей Suvw, и пусть эти уравнения определяют отображение Suvw на Sxyz. Тогда степень δ картографии 1/ умножить на телесный угол изображения S из Suvw относительно внутренней точки Sxyz, О. Если О это происхождение региона, рxyz, то степень, δ дается интегралом:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Троубридж, Дж. Х. (1998). «О методике измерения турбулентных касательных напряжений при наличии поверхностных волн». Журнал атмосферных и океанических технологий. 15 (1): 291. Bibcode:1998JAtOT..15..290T. Дои:10.1175 / 1520-0426 (1998) 015 <0290: OATFMO> 2.0.CO; 2.
  2. ^ Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности, Чистая и прикладная математика, 206, Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8.
  3. ^ Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF).
  4. ^ Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601.
  5. ^ Агарвал, Д. К. (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан СМИ.[ISBN отсутствует]
  6. ^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
  7. ^ Рекурсивное определение требует первого случая, который можно принять как δ = 1 за п = 0, или альтернативно δμ
    ν
    = δμ
    ν
    за п = 1 (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).
  8. ^ Хассани, Садри (2008). Математические методы: для студентов, изучающих физику и смежные специальности (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
  9. ^ Пенроуз, Роджер (июнь 1960). «Спинорный подход к общей теории относительности». Анналы физики. 10 (2): 171–201. Bibcode:1960АнФи..10..171П. Дои:10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X.
  10. ^ Эйткен, Александр Крейг (1958). Детерминанты и матрицы. Великобритания: Оливер и Бойд.
  11. ^ Роджер Пенроуз, «Приложения тензоров отрицательной размерности», в Комбинаторная математика и ее приложения, Academic Press (1971).
  12. ^ Каплан, Уилфред (2003). Расширенный расчет. Pearson Education. п. 364. ISBN 0-201-79937-5.