WikiDer > Двухточечный тензор

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Двухточечный тензор» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Декабрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Нет причина очистки был указан. Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Двухточечные тензоры, или же двойные векторы, находятся тензор-подобные величины, преобразующиеся как евклидовы векторы по каждому из их индексов и используются в механика сплошной среды для преобразования между опорными («материальными») и текущими («конфигурационными») координатами.^[1] Примеры включают градиент деформации и первый Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа.

Как и во многих приложениях тензоров, Обозначение суммирования Эйнштейна часто используется. Чтобы прояснить это обозначение, заглавные индексы часто используются для обозначения опорных координат и строчные буквы для текущих координат. Таким образом, двухточечный тензор будет иметь один заглавный и один строчный индекс; Например, А_jM.

Механика сплошной среды

Обычный тензор можно рассматривать как преобразование векторов в одной системе координат в другие векторы в той же системе координат. Напротив, двухточечный тензор преобразует векторы из одной системы координат в другую. То есть обычный тензор,

${ Displaystyle mathbf {Q} = Q_ {pq} ( mathbf {e} _ {p} otimes mathbf {e} _ {q})}$,

активно трансформирует вектор ты к вектору v такой, что

${ Displaystyle mathbf {v} = mathbf {Q} mathbf {u}}$

где v и ты измеряются в одном пространстве, и их координаты представлены относительно одного и того же базиса (обозначены знаком "е").

Напротив, двухточечный тензор, грамм будет записано как

${ Displaystyle mathbf {G} = G_ {pq} ( mathbf {e} _ {p} otimes mathbf {E} _ {q})}$

и преобразует вектор, U, в E система в вектор, v, в е система как

${ Displaystyle mathbf {v} = mathbf {GU}}$.

Закон преобразования для двухточечного тензора

Предположим, что у нас есть две системы координат, одна со штрихом, а другая без штрихов, и компоненты вектора преобразуются между ними как

${ displaystyle v '_ {p} = Q_ {pq} v_ {q}}$.

Для тензоров предположим, что тогда мы имеем

${ displaystyle T_ {pq} (e_ {p} otimes e_ {q})}$.

Тензор в системе ${ displaystyle e_ {i}}$. В другой системе пусть тот же тензор задается формулой

${ displaystyle T '_ {pq} (e' _ {p} otimes e '_ {q})}$.

Мы можем сказать

${ displaystyle T '_ {ij} = Q_ {ip} Q_ {jr} T_ {pr}}$.

потом

${ Displaystyle T '= QTQ ^ { mathsf {T}}}$

- обычное тензорное преобразование. Но двухточечный тензор между этими системами просто

${ displaystyle F_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})}$

который преобразуется как

${ displaystyle F '= QF}$.

Самый банальный пример двухточечного тензора

Самым приземленным примером двухточечного тензора является тензор преобразования, Q в приведенном выше обсуждении. Обратите внимание, что

${ displaystyle v '_ {p} = Q_ {pq} u_ {q}}$.

Теперь, выписывая полностью,

${ displaystyle u = u_ {q} e_ {q}}$

а также

${ displaystyle v = v '_ {p} e' _ {p}}$.

Тогда это требует Q иметь форму

${ displaystyle Q_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})}$.

По определению тензорное произведение,

${ displaystyle (e '_ {p} otimes e_ {q}) e_ {q} = (e_ {q} .e_ {q}) e' _ {p} = 3e '_ {p}}$

(1)

Итак, мы можем написать

${ displaystyle u_ {p} e_ {p} = (Q_ {pq} (e '_ {p} otimes e_ {q})) (v_ {q} e_ {q})}$

Таким образом

${ displaystyle u_ {p} e_ {p} = Q_ {pq} v_ {q} (e '_ {p} otimes e_ {q}) e_ {q}}$

Включение (1), у нас есть

${ displaystyle u_ {p} e_ {p} = Q_ {pq} v_ {q} e_ {p}}$.

В уравнении, следующем за (1), есть четыре q!?

Смотрите также

• Смешанный тензор
• Ковариация и контравариантность векторов

Рекомендации

внешняя ссылка

• Математические основы упругости Джерролд Э. Марсден, Томас Дж. Р. Хьюз
• Двухточечные тензоры в iMechanica