WikiDer > Диадики
В математика, конкретно полилинейная алгебра, а диадический или же диадический тензор это второй порядок тензор, записанные в обозначениях, которые соответствуют векторная алгебра.
Есть множество способов умножить два Евклидовы векторы. В скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скаляр, в то время как перекрестное произведение возвращает псевдовектор. Оба они имеют различные геометрические интерпретации и широко используются в математике, физика, и инженерное дело. В диадический продукт принимает два вектора и возвращает тензор второго порядка, называемый диадический в контексте. Диадика может использоваться для содержания физической или геометрической информации, хотя, как правило, нет прямого способа ее геометрической интерпретации.
Диадический продукт распределительный над векторное сложение, и ассоциативный с скалярное умножение. Следовательно, диадический продукт линейный в обоих его операндах. В общем, можно добавить две диадики, чтобы получить еще одну диадику, и умноженный по числам для масштабирования диадики. Однако продукт не коммутативный; изменение порядка векторов приводит к другой диадике.
Формализм диадическая алгебра является расширением векторной алгебры, включающим диадическое произведение векторов. Диадическое произведение также ассоциативно со скалярными произведениями, а скрещенные произведения с другими векторами, что позволяет скомбинировать точечные, перекрестные и диадические произведения вместе для получения других скаляров, векторов или диадических чисел.
Он также имеет некоторые аспекты матричная алгебра, так как числовые компоненты векторов могут быть организованы в векторы строк и столбцов, и тензоров второго порядка по квадратные матрицы. Кроме того, точечные, перекрестные и диадические произведения могут быть выражены в матричной форме. Диадические выражения могут сильно напоминать матричные эквиваленты.
Скалярное произведение диадики с вектором дает другой вектор, а скалярное произведение этого результата дает скаляр, полученный из диадики. Влияние данной диадики на другие векторы может давать косвенные физические или геометрические интерпретации.
Диадические обозначения были впервые установлены Джозайя Уиллард Гиббс в 1884 году. Обозначения и терминология сегодня относительно устарели. Его использование в физике включает механика сплошной среды и электромагнетизм.
В этой статье жирным шрифтом верхнего регистра обозначены диадики (включая диады), а жирным строчным шрифтом - векторы. Альтернативное обозначение использует соответственно двойные и одинарные символы подчеркивания или подчеркивания.
Определения и терминология
Диадические, внешние и тензорные произведения
А диада это тензор из порядок два и классифицировать один и является диадическим произведением двух векторов (сложные векторы в целом), тогда как диадический генерал тензор из порядок два (которые могут быть полными или нет).
Для этого продукта существует несколько эквивалентных терминов и обозначений:
- то диадический продукт двух векторов и обозначается (рядом; без символов, знаков умножения, крестиков, точек и т. д.)
- то внешний продукт из двух вектор-столбец и обозначается и определяется как или же , куда средства транспонировать,
- то тензорное произведение двух векторов и обозначается ,
В диадическом контексте все они имеют одинаковое определение и значение и используются как синонимы, хотя тензорное произведение является примером более общего и абстрактного использования этого термина.
Дирака обозначение бюстгальтера делает использование диад и диадиков интуитивно понятным, см. Кэхилл (2013).
Трехмерное евклидово пространство
Чтобы проиллюстрировать эквивалентное использование, рассмотрим трехмерный Евклидово пространство, позволяя:
быть двумя векторами, где я, j, k (также обозначается е1, е2, е3) являются стандартными базисные векторы в этом векторное пространство (смотрите также Декартовы координаты). Тогда диадическое произведение а и б можно представить в виде суммы:
или путем расширения из векторов строк и столбцов, матрица 3 × 3 (также результат внешнего произведения или тензорного произведения а и б):
А диада является составной частью диадического (a одночлен суммы или, что то же самое, элемента матрицы) - диадическое произведение пары базисные векторы скалярное умножение по номеру.
Так же, как стандартные базисные (и единичные) векторы я, j, k, имеют представления: