WikiDer > Центральный момент

Central moment

В теория вероятности и статистика, а центральный момент это момент из распределение вероятностей из случайная переменная о случайной величине иметь в виду; то есть это ожидаемое значение заданной целочисленной степени отклонения случайной величины от среднего. Различные моменты образуют один набор значений, с помощью которого можно эффективно охарактеризовать свойства распределения вероятностей. Центральные моменты используются вместо обычных моментов, вычисляемых в терминах отклонений от среднего, а не от нуля, потому что центральные моменты более высокого порядка относятся только к разбросу и форме распределения, а не также к его. место расположения.

Наборы центральных моментов могут быть определены как для одномерного, так и для многомерного распределения.

Одномерные моменты

В пth момент о иметь в виду (или же пth центральный момент) действительного случайная переменная Икс это количество μп : = E [(Икс - E [Икс])п], где E - оператор ожидания. Для непрерывный одномерный распределение вероятностей с функция плотности вероятности ж(Икс), пй момент о среднем μ является

[1]

Для случайных величин, не имеющих среднего значения, таких как Распределение Коши, центральные моменты не определены.

Первые несколько центральных моментов имеют интуитивную интерпретацию:

Характеристики

В п-й центральный момент инвариантен относительно сдвига, т.е.для любой случайной величины Икс и любая постоянная c, у нас есть

Для всех п, то п-й центральный момент однородный степени п:

Только за п такое, что n равно 1, 2 или 3, есть ли у нас свойство аддитивности для случайных величин Икс и Y которые независимый:

при условии п{1, 2, 3}.

Связанный функционал, который разделяет свойства трансляционной инвариантности и однородности с пцентральный момент, но продолжает иметь это свойство аддитивности, даже когда п ≥ 4 - это пth кумулянт κп(Икс). За п = 1, пй кумулянт - это просто ожидаемое значение; за п = либо 2, либо 3, пй кумулянт - это просто п-й центральный момент; за п ≥ 4, пй кумулянт пУнитарный многочлен -й степени от первого п моменты (около нуля), а также (проще) пмногочлен -й степени от первого п центральные моменты.

Отношение к моментам о происхождении

Иногда удобно преобразовать моменты о происхождении в моменты о среднем значении. Общее уравнение для преобразования пмомент порядка от начала до момента о среднем равен

куда μ - среднее значение распределения, а момент начала координат определяется выражением

Для случаев п = 2, 3, 4 - которые представляют наибольший интерес из-за связи с отклонение, перекос, и эксцесссоответственно - эта формула принимает вид (отмечая, что и ):

который обычно называют

... и так далее,[2] следующий Треугольник Паскаля, т.е.

потому что

Следующая сумма представляет собой стохастическую переменную, имеющую составное распределение

где являются взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же общим распределением и случайная целочисленная переменная, не зависящая от с собственной раздачей. Моменты получены как [3]

куда определяется как ноль для .

Симметричные распределения

В симметричное распределение (тот, на который не влияет отраженный о его среднем), все нечетные центральные моменты равны нулю, потому что в формуле для пМомент, каждый член, включающий значение Икс меньше среднего на определенную сумму, в точности исключает термин, включающий значение Икс больше среднего на такую ​​же величину.

Многовариантные моменты

Для непрерывный двумерный распределение вероятностей с функция плотности вероятности ж(Икс,у) (j,k) момент о среднем μ = (μИксμY) является

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Гриммет, Джеффри; Стирзакер, Дэвид (2009). Вероятность и случайные процессы. Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978 0 19 857222 0.
  2. ^ http://mathworld.wolfram.com/CentralMoment.html
  3. ^ Grubbström, Роберт В .; Тан, Оу (2006). «Моменты и центральные моменты сложного распределения». Европейский журнал операционных исследований. 170: 106–119. Дои:10.1016 / j.ejor.2004.06.012.