WikiDer > Модуль символов - Википедия

В математике, особенно в области абстрактная алгебра, каждый модуль имеет связанный символьный модуль. Используя связанный символьный модуль, можно исследовать свойства исходного модуля. Один из основных результатов, обнаруженных Иоахим Ламбек показывает, что модуль плоский тогда и только тогда, когда связанный символьный модуль инъективный. ^[1]

Определение

В группа ${ Displaystyle ( mathbb {Q} / mathbb {Z}, +)}$, группа рациональных чисел по модулю ${ textstyle 1}$, можно рассматривать как ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-модуль естественным образом. Позволять ${ displaystyle M}$ быть аддитивной группой, которая также рассматривается как ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-модуль. Тогда группа

из ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-гомоморфизмы из ${ displaystyle M}$ к ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ называется группа символов, связанная с ${ displaystyle M}$. Элементы в этой группе называются символы. Если ${ displaystyle M}$ левый ${ displaystyle R}$-модуль над кольцом ${ displaystyle R}$, то группа символов ${ displaystyle M ^ {*}}$ это право ${ displaystyle R}$-модуль и назвал символьный модуль, связанный с ${ displaystyle M}$. Действие модуля в символьном модуле для ${ displaystyle f in operatorname {Hom} _ { mathbb {Z}} (M, mathbb {Q} / mathbb {Z})}$ и ${ displaystyle r in R}$ определяется ${ Displaystyle (fr) (m) = f (rm)}$ для всех ${ displaystyle m in M}$. ^[2] Таким же образом можно определить символьный модуль для правого ${ displaystyle R}$-модули. В литературе также обозначения ${ displaystyle M ', M ^ {0}}$ и ${ displaystyle M ^ {+}}$ используются для символьных модулей. ^[3][4]

Позволять ${ displaystyle M, N}$ быть оставленным ${ displaystyle R}$-модули и ${ displaystyle f двоеточие от M до N}$ ан ${ displaystyle R}$-гомоморфизм. Тогда отображение ${ displaystyle f ^ {*} двоеточие N ^ {*} to M ^ {*}}$ определяется ${ displaystyle f ^ {*} (h) = h circ f}$ для всех ${ displaystyle h in N ^ {*}}$ это право ${ displaystyle R}$-гомоморфизм. Формирование символьного модуля - контравариант функтор от категория слева ${ displaystyle R}$-модули в категорию правых ${ displaystyle R}$-модули. ^[3]

Мотивация

Абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ является делимый и поэтому инъективный ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-модуль. Кроме того, он обладает следующим важным свойством: пусть ${ displaystyle G}$ быть абелевой группой и ${ displaystyle g in G}$ ненулевой. Тогда существует групповой гомоморфизм ${ Displaystyle е двоеточие G в mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ с ${ displaystyle f (g) neq 0}$. Это говорит, что ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ это когенератор. С помощью этих свойств можно показать основную теорему теории символьных модулей: ^[3]

Теорема (Ламбек) ^[1]: Левый модуль ${ displaystyle M}$ над кольцом ${ displaystyle R}$ является плоский тогда и только тогда, когда символьный модуль ${ displaystyle M ^ {*}}$ является инъективный верно ${ displaystyle R}$-модуль.

Характеристики

Позволять ${ displaystyle M}$ левый модуль над кольцом ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle M ^ {*}}$ связанный символьный модуль.

• Модуль ${ displaystyle M}$ плоский тогда и только тогда, когда ${ displaystyle M ^ {*}}$ инъективно (теорема Ламбека ^[4]). ^[1]
• Если ${ displaystyle M}$ бесплатно, тогда ${ displaystyle M ^ {*}}$ инъективное право ${ displaystyle R}$-модуль и ${ displaystyle M ^ {*}}$ является прямым продуктом копий права ${ displaystyle R}$-модули ${ Displaystyle R ^ {*}}$. ^[2]
• Для каждого права ${ displaystyle R}$-модуль ${ displaystyle N}$ есть бесплатный модуль ${ displaystyle M}$ такой, что ${ displaystyle N}$ изоморфен подмодулю в ${ displaystyle M ^ {*}}$. Благодаря предыдущему свойству этот модуль ${ displaystyle M ^ {*}}$ инъективно, поэтому каждое право ${ displaystyle R}$-модуль изоморфен подмодулю инъективного модуля. (Теорема Бэра) ^[5]
• Левый ${ displaystyle R}$-модуль ${ displaystyle N}$ инъективен тогда и только тогда, когда существует свободный ${ displaystyle M}$ такой, что ${ displaystyle N}$ изоморфно прямому слагаемому ${ displaystyle M ^ {*}}$. ^[5]
• Модуль ${ displaystyle M}$ инъективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым символьного модуля свободного модуля. ^[2]
• Если ${ displaystyle N}$ является подмодулем ${ displaystyle M}$, тогда ${ Displaystyle (М / Н) ^ {*}}$ изоморфен подмодулю ${ displaystyle M ^ {*}}$ который состоит из всех элементов, которые аннигилируют ${ displaystyle N}$. ^[2]
• Формирование символьного модуля - контравариант точный функтор, т.е. сохраняет точные последовательности. ^[3]
• Позволять ${ displaystyle N}$ быть правым ${ displaystyle R}$-модуль. Тогда модули ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (N, M ^ {*})}$ и ${ displaystyle (N otimes _ {R} M) ^ {*}}$ изоморфны как ${ Displaystyle mathbb {Z}}$-модули. ^[4]

Рекомендации