WikiDer > Инъективный когенератор
 | Эта статья не цитировать любой источники. (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В теория категорий, раздел математики, понятие инжекторный когенератор взят из таких примеров, как Понтрягинская двойственность. Генераторы - это объекты, которые приблизительно покрывают другие объекты и (двойственно) когенераторы являются объектами, которые приблизительно охватывают другие объекты.
Точнее:
- А генератор из категория с нулевой объект это объект грамм такое, что для любого ненулевого объекта H существует ненулевойнулевой морфизм f:грамм → ЧАС.
- А когенератор это объект C так что для каждого ненулевого объекта ЧАС существует ненулевой морфизм f:ЧАС → C. (Обратите внимание на обратный порядок).
Случай абелевой группы
Предполагая, что у кого-то есть такая категория, как абелевы группы, можно фактически сформировать прямые суммы копий грамм до морфизма
- ж: Sum (грамм) →ЧАС
является сюръективный; и можно формировать прямые продукты C до морфизма
- ж:ЧАС→ Прод (C)
является инъективный.
Например, целые числа являются генератором категории абелевых групп (поскольку каждая абелева группа является фактором некоторой свободная абелева группа). Это происхождение термина генератор. Приближение здесь обычно описывается как генераторы и отношения.
В качестве примера когенератор в той же категории мы имеем Q/Z, рациональные числа по модулю целых чисел, что является делимый абелева группа. Для любой абелевой группы А, существует изоморфная копия А содержащегося внутри продукта | A | копии Q/Z. Это приближение близко к тому, что называется делимый конверт - истинная огибающая подчиняется условию минимальности.
Общая теория
Поиск генератора абелева категория позволяет выразить каждый объект как частное от прямой суммы копий генератора. Обнаружение когенератора позволяет выразить каждый объект как подобъект прямого произведения копий когенератора. Часто интересуют проективные генераторы (даже конечно порожденные проективные генераторы, называемые проективными генераторами) и минимальные инъективные когенераторы. Оба приведенных выше примера обладают этими дополнительными свойствами.
Когенератор Q/Z полезен при изучении модули над общими кольцами. Если ЧАС левый модуль над кольцом р, один образует (алгебраический) символьный модуль ЧАС* состоящий из всех гомоморфизмов абелевых групп из ЧАС к Q/Z. ЧАС* тогда является правым R-модулем. Q/Z когенератор говорит именно о том, что ЧАС* равно 0 тогда и только тогда, когда ЧАС равно 0. Верно даже больше: операция * принимает гомоморфизм
- ж:ЧАС → K
к гомоморфизму
- ж*:K* → ЧАС*,
и ж* равно 0 тогда и только тогда, когда ж равно 0. Таким образом, это верный контравариантный функтор слева р-модули справа р-модули.
Каждый ЧАС* является чисто инъективный (также называемый алгебраически компактным). Часто можно рассмотреть проблему после применения *, чтобы упростить задачу.
Все это можно сделать и для непрерывных модулей. ЧАС: модуль топологических характеров непрерывных гомоморфизмов групп образует ЧАС к круговая группа р/Z.
В общей топологии
В Теорема Титце о продолжении может использоваться, чтобы показать, что интервал является инъективным когенератором в категории топологические пространства при условии аксиомы разделения.