WikiDer > Характеристическое уравнение (исчисление)

В математика, то характеристическое уравнение (или же вспомогательное уравнение^[1]) является алгебраический уравнение степень п от чего зависит решение данной пth-порядок дифференциальное уравнение^[2] или же разностное уравнение.^[3][4] Характеристическое уравнение может быть сформировано только тогда, когда дифференциальное или разностное уравнение линейный и однородный, и имеет постоянную коэффициенты.^[1] Такое дифференциальное уравнение с у как зависимая переменная, надстрочный индекс (п) обозначающий п^th-производная, и а_п, а_{п − 1}, ..., а₁, а₀ в качестве константы,

${ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + cdots + a_ {1} y '+ a_ {0} y = 0,}$

будет иметь характеристическое уравнение вида

${ displaystyle a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0}$

чьи решения р₁, р₂, ..., р_п корни, из которых общее решение может быть сформирован.^[1][5][6] Аналогично линейное разностное уравнение вида

${ displaystyle y_ {t + n} = b_ {1} y_ {t + n-1} + cdots + b_ {n} y_ {t}}$

имеет характеристическое уравнение

${ displaystyle r ^ {n} -b_ {1} r ^ {n-1} - cdots -b_ {n} = 0,}$

обсуждается более подробно на Линейное разностное уравнение # Решение однородного случая.

Характеристические корни (корни характеристического уравнения) также предоставляют качественную информацию о поведении переменной, эволюция которой описывается динамическим уравнением. Для дифференциального уравнения, параметризованного по времени, эволюция переменной равна стабильный если и только если настоящий часть каждого корня отрицательна. Для разностных уравнений устойчивость существует тогда и только тогда, когда модуль (абсолютная величина) каждого корня меньше 1. Для обоих типов уравнений стойкие флуктуации возникают, если имеется хотя бы одна пара сложный корни.

Методика интеграция линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами были открыты Леонард Эйлер, который обнаружил, что решения зависят от алгебраического «характеристического» уравнения.^[2] Свойства характеристического уравнения Эйлера позже были более подробно рассмотрены французскими математиками. Огюстен-Луи Коши и Гаспар Монж.^[2][6]

Вывод

Начиная с линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами а_п, а_{п − 1}, ..., а₁, а₀,

${ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + cdots + a_ {1} y ^ { prime} + a_ {0} y = 0}$

видно, что если у(Икс) = е^rx, каждый член будет постоянным кратным е^rx. Это происходит из-за того, что производная от экспоненциальная функция е^rx является кратным самому себе. Следовательно, у′ = повторно^rx, у″ = р²е^rx, и у^(п) = р^пе^rx все кратны. Это говорит о том, что определенные значения р позволит несколько е^rx суммировать до нуля, таким образом решая однородное дифференциальное уравнение.^[5] Чтобы решить р, можно заменить у = е^rx и его производные в дифференциальное уравнение, чтобы получить

${ displaystyle a_ {n} r ^ {n} e ^ {rx} + a_ {n-1} r ^ {n-1} e ^ {rx} + cdots + a_ {1} re ^ {rx} + а_ {0} е ^ {rx} = 0}$

С е^rx никогда не может равняться нулю, его можно разделить, дав характеристическое уравнение

${ displaystyle a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} + cdots + a_ {1} r + a_ {0} = 0}$

Решая для корней, р, в этом характеристическом уравнении можно найти общее решение дифференциального уравнения.^[1][6] Например, если р имеет корни, равные {3, 11, 40}, то общее решение будет ${ displaystyle y (x) = c_ {1} e ^ {3x} + c_ {2} e ^ {11x} + c_ {3} e ^ {40x}}$ , куда ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$, и ${ displaystyle c_ {3}}$ находятся произвольные константы которые должны определяться граничными и / или начальными условиями.

Формирование общего решения

Решая характеристическое уравнение относительно его корней, р₁, ..., р_п, позволяет найти общее решение дифференциального уравнения. Корни могут быть настоящий или же сложный, а также отдельные или повторяющиеся. Если характеристическое уравнение имеет части с различными действительными корнями, час повторяющиеся корни, или k комплексные корни, соответствующие общим решениям у_D(Икс), у_р1(Икс), ..., у_рчас(Икс), и у_C1(Икс), ..., у_Ck(Икс)соответственно, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид

${ displaystyle y (x) = y _ { mathrm {D}} (x) + y _ { mathrm {R} _ {1}} (x) + cdots + y _ { mathrm {R} _ {h} } (x) + y _ { mathrm {C} _ {1}} (x) + cdots + y _ { mathrm {C} _ {k}} (x)}$

Пример

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

${ displaystyle y ^ {(5)} + y ^ {(4)} - 4y ^ {(3)} - 16y '' - 20y'-12y = 0}$

имеет характеристическое уравнение

${ displaystyle r ^ {5} + r ^ {4} -4r ^ {3} -16r ^ {2} -20r-12 = 0}$

К факторинг характеристическое уравнение в

${ Displaystyle (г-3) влево (г ^ {2} + 2r + 2 вправо) ^ {2} = 0}$

видно, что решения для р отдельные корни р₁ = 3 и двойные комплексные корни р_2,3,4,5 = 1 ± я. Это соответствует действительнозначному общему решению

${ displaystyle y (x) = c_ {1} e ^ {3x} + e ^ {x} (c_ {2} cos x + c_ {3} sin x) + xe ^ {x} (c_ {4 } cos x + c_ {5} sin x)}$

с константами c₁, ..., c₅.

Отчетливые настоящие корни

В принцип суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами говорит, что если ты₁, ..., ты_п находятся п линейно независимый решения конкретного дифференциального уравнения, то c₁ты₁ + ... + c_пты_п также решение для всех значений c₁, ..., c_п.^[1][7] Следовательно, если характеристическое уравнение имеет различные настоящий корни р₁, ..., р_п, то общее решение будет иметь вид

${ displaystyle y _ { mathrm {D}} (x) = c_ {1} e ^ {r_ {1} x} + c_ {2} e ^ {r_ {2} x} + cdots + c_ {n} e ^ {r_ {n} x}}$

Повторяющиеся настоящие корни

Если характеристическое уравнение имеет корень р₁ это повторяется k раз, то ясно, что у_п(Икс) = c₁е^р₁Икс есть хотя бы одно решение.^[1] Однако в этом решении отсутствуют линейно независимые решения от других k − 1 корни. С р₁ имеет множественность k, дифференциальное уравнение можно разложить на^[1]

${ displaystyle left ({ frac {d} {dx}} - r_ {1} right) ^ {k} y = 0}$.

Дело в том, что у_п(Икс) = c₁е^р₁Икс Это одно решение позволяет предположить, что общее решение может иметь вид у(Икс) = ты(Икс)е^р₁Икс, куда ты(Икс) - функция, которую предстоит определить. Подстановка уэ^р₁Икс дает

${ displaystyle left ({ frac {d} {dx}} - r_ {1} right) ue ^ {r_ {1} x} = { frac {d} {dx}} left (ue ^ { r_ {1} x} right) -r_ {1} ue ^ {r_ {1} x} = { frac {d} {dx}} (u) e ^ {r_ {1} x} + r_ {1 } ue ^ {r_ {1} x} -r_ {1} ue ^ {r_ {1} x} = { frac {d} {dx}} (u) e ^ {r_ {1} x}}$

когда k = 1. Применяя этот факт k раз, следует, что

${ displaystyle left ({ frac {d} {dx}} - r_ {1} right) ^ {k} ue ^ {r_ {1} x} = { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} (u) e ^ {r_ {1} x} = 0}$

Разделив е^р₁Икс, видно, что

${ displaystyle { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} (u) = u ^ {(k)} = 0}$

Следовательно, общий случай для ты(Икс) является многочленом степени к-1, так что ты(Икс) = c₁ + c₂Икс + c₃Икс² + ... + c_kИкс^{k − 1}.^[6] С у(Икс) = уэ^р₁Икс, часть общего решения, соответствующая р₁ является

${ displaystyle y _ { mathrm {R}} (x) = e ^ {r_ {1} x} left (c_ {1} + c_ {2} x + cdots + c_ {k} x ^ {k-1 }верно)}$

Сложные корни

Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение с сложный сопрягать корни формы р₁ = а + би и р₂ = а − би, то общее решение соответственно у(Икс) = c₁е^{(а + би)Икс} + c₂е^{(а − би)Икс}. К Формула Эйлера, в котором говорится, что е^iθ = cos θ + я грех θ, это решение можно переписать следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} y (x) & = c_ {1} e ^ {(a + bi) x} + c_ {2} e ^ {(a-bi) x} & = c_ { 1} e ^ {ax} ( cos bx + i sin bx) + c_ {2} e ^ {ax} ( cos bx-i sin bx) & = left (c_ {1} + c_ {2} right) e ^ {ax} cos bx + i (c_ {1} -c_ {2}) e ​​^ {ax} sin bx end {align}}}$

куда c₁ и c₂ - константы, которые могут быть нереальными и зависят от начальных условий.^[6] (Действительно, поскольку у(Икс) реально, c₁ − c₂ должно быть мнимым или нулевым и c₁ + c₂ должны быть действительными, чтобы оба члена после последнего знака равенства были действительными.)

Например, если c₁ = c₂ = 1/2, то частное решение у₁(Икс) = е^топор потому что bx сформирован. Аналогично, если c₁ = 1/2я и c₂ = −1/2я, то формируется независимое решение у₂(Икс) = е^топор грех bx. Таким образом принцип суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными корнями р = а ± би приведет к следующему общему решению:

${ displaystyle y _ { mathrm {C}} (x) = e ^ {ax} left (c_ {1} cos bx + c_ {2} sin bx right)}$

Этот анализ также применяется к частям решений дифференциального уравнения высшего порядка, характеристическое уравнение которого включает невещественные комплексно сопряженные корни.

Смотрите также

• Характеристический полином

Рекомендации