WikiDer > Линейное разностное уравнение

Linear difference equation

В математика и в частности динамические системы, а линейное разностное уравнение^[1]^{:гл. 17}^[2]^{:гл. 10} или линейное рекуррентное соотношение устанавливает равным 0 a многочлен который является линейным в различных итерациях переменная- то есть в значениях элементов последовательность. Линейность полинома означает, что каждый его член имеет степень 0 или 1. Обычно контекст - это эволюция некоторой переменной во времени с текущим временной период или дискретный момент времени, обозначенный как $т$ , один период ранее обозначался как $т - 1$ , одним периодом позже как $т + 1$ , так далее.

An $п$ Линейное разностное уравнение-го порядка - это уравнение, которое может быть записано в терминах параметры $а 1, ..., а п$ и $б$ так как

{ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + cdots + a_ {n} y_ {t-n} + b,}

или эквивалентно как

{ displaystyle y_ {t + n} = a_ {1} y_ {t + n-1} + cdots + a_ {n} y_ {t} + b.}

Уравнение называется однородный если $б = 0$ и неоднородный если $б \neq 0$ . Так как наибольшая задержка между итерациями, появляющимися в уравнении, составляет $п$ , это $п$ уравнение порядка, где $п$ может быть любым положительным целое число. Когда самая длинная задержка указана численно, поэтому $п$ не отображается как самая длинная задержка во времени, $п$ иногда используется вместо $т$ индексировать итерации.

В самом общем случае коэффициенты $а я$ и $б$ могли бы сами быть функции из $т$ ; однако в этой статье рассматривается наиболее распространенный случай - постоянные коэффициенты. Если коэффициенты $а я$ находятся многочлены в $т$ уравнение называется линейное рекуррентное уравнение с полиномиальными коэффициентами.

В решение такого уравнения является функцией $т$ , а не каких-либо значений итерации, давая значение итерации в любое время. Чтобы найти решение, необходимо знать конкретные значения (известные как первоначальные условия) из $п$ итераций, и обычно это $п$ повторяет самые старые. Уравнение или его переменная называется стабильный если из любого набора начальных условий существует предел переменной при стремлении времени к бесконечности; этот предел называется устойчивое состояние.

Уравнения разности используются в различных контекстах, например в экономика для моделирования эволюции во времени таких переменных, как Валовый Внутренний Продукт, то уровень инфляции, то обменный курси др. Они используются при моделировании таких Временные ряды потому что значения этих переменных измеряются только через дискретные интервалы. В эконометрический приложений, линейные разностные уравнения моделируются с помощью стохастические условия в виде модели авторегрессии (AR) и в таких моделях, как векторная авторегрессия (VAR) и авторегрессионная скользящая средняя (ARMA) модели, сочетающие AR с другими функциями.

Решение однородного случая

Характеристическое уравнение и корни

Решение однородного уравнения

{ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + cdots + a_ {n} x_ {t-n}}

предполагает сначала решение ее характеристическое уравнение

{ displaystyle lambda ^ {n} = a_ {1} lambda ^ {n-1} + cdots + a_ {n-2} lambda ^ {2} + a_ {n-1} lambda + a_ { n}}

за характерные корни $λ 1, ..., λ п$ . Эти корни можно решить за алгебраически если $п \leq 4$ , но не обязательно иначе. Если решение использовать численно, все корни этого характеристического уравнения могут быть найдены следующим образом: численные методы. Однако для использования в теоретическом контексте может оказаться, что единственная информация, необходимая о корнях, - это то, больше или равно ли какой-либо из них 1 в абсолютная величина.

Может быть, все корни настоящий или вместо этого могут быть некоторые, которые сложные числа. В последнем случае все сложные корни входят в комплексно сопряженный пары.

Решение с отчетливыми характерными корнями

Если все характеристические корни различны, решение однородного линейного разностного уравнения

{ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + cdots + a_ {n} x_ {t-n}}

можно записать в терминах характеристических корней как

{ displaystyle x_ {t} = c_ {1} lambda _ {1} ^ {t} + cdots + c_ {n} lambda _ {n} ^ {t}}

где коэффициенты $c я$ можно найти, применив начальные условия. В частности, для каждого периода времени, для которого известно значение итерации, это значение и соответствующее ему значение $т$ можно подставить в уравнение решения, чтобы получить линейное уравнение в $п$ пока неизвестные параметры; $п$ такие уравнения, по одному для каждого начального условия, могут быть решено одновременно для $п$ значения параметров. Если все характеристические корни действительны, то все значения коэффициентов $c я$ тоже будет реально; но с невещественными комплексными корнями, как правило, некоторые из этих коэффициентов также будут нереальными.

Преобразование сложного решения в тригонометрическую форму

Если есть комплексные корни, они входят в сопряженные пары, как и комплексные члены в уравнении решения. Если два из этих сложных терминов $c j λ т j$ и $c j +1 λ т j +1$ , корни $λ j$ можно записать как

{ displaystyle lambda _ {j}, lambda _ {j + 1} = alpha pm beta i = M left ({ frac { alpha} {M}} pm { frac { beta } {M}} i right)}

где $я$ это мнимая единица и $M$ это модуль корней:

{ displaystyle M = { sqrt { alpha ^ {2} + beta ^ {2}}}.}

Тогда два комплексных члена в уравнении решения можно записать как

{ displaystyle { begin {align} c_ {j} lambda _ {j} ^ {t} + c_ {j + 1} lambda _ {j + 1} ^ {t} & = M ^ {t} left (c_ {j} left ({ frac { alpha} {M}} + { frac { beta} {M}} i right) ^ {t} + c_ {j + 1} left ( { frac { alpha} {M}} - { frac { beta} {M}} i right) ^ {t} right) [6pt] & = M ^ {t} left (c_ {j} left ( cos theta + i sin theta right) ^ {t} + c_ {j + 1} left ( cos theta -i sin theta right) ^ {t} right) [6pt] & = M ^ {t} { bigl (} c_ {j} left ( cos theta t + i sin theta t right) + c_ {j + 1} left ( cos theta ti sin theta t right) { bigr)} end {align}}}

где $θ$ это угол, косинус которого равен $α / M$ и чей синус $β / M$ ; последнее равенство здесь использовало формула де Муавра.

Теперь процесс нахождения коэффициентов $c j$ и $c j +1$ гарантирует, что они также являются комплексно сопряженными, которые можно записать как $γ \pm δi$ . Использование этого в последнем уравнении дает это выражение для двух комплексных членов в уравнении решения:

{ displaystyle 2M ^ {t} left ( gamma cos theta t- delta sin theta t right)}

который также можно записать как

{ displaystyle 2 { sqrt { gamma ^ {2} + delta ^ {2}}} M ^ {t} cos ( theta t + psi)}

где $ψ$ угол, косинус которого равен $γ / \sqrt γ 2 + δ 2$ и чей синус $δ / \sqrt γ 2 + δ 2$ .

Цикличность

В зависимости от начальных условий, даже если все корни действительны, итерации могут испытывать временную тенденцию переходить выше и ниже значения устойчивого состояния. Но истинная цикличность предполагает постоянную тенденцию к колебаниям, и это происходит, если имеется хотя бы одна пара комплексно сопряженных характеристических корней. Это можно увидеть в тригонометрической форме их вклада в уравнение решения, включая $потому что θt$ и $грех θt$ .

Решение с повторяющимися характеристическими корнями

Во втором случае, если два корня идентичны ( $λ 1 = λ 2$ ), их можно обозначить как $λ$ и решение может иметь вид

{ displaystyle x_ {t} = c_ {1} lambda ^ {t} + c_ {2} t lambda ^ {t}.}

Преобразование в однородную форму

Если $б \neq 0$ , уравнение

{ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + cdots + a_ {n} y_ {t-n} + b}

как говорят неоднородный. Для решения этого уравнения удобно преобразовать его в однородную форму без постоянного члена. Это делается путем нахождения уравнения значение устойчивого состояния-ценность $у *$ так что, если $п$ все последующие итерации имели это значение, как и все будущие значения. Это значение находится путем установки всех значений $у$ равно $у *$ в разностном уравнении и решая, таким образом, получая

{ displaystyle y ^ {*} = { frac {b} {1-a_ {1} - cdots -a_ {n}}}}

предполагая, что знаменатель не равен нулю. Если он равен нулю, устойчивого состояния не существует.

Учитывая установившееся состояние, разностное уравнение может быть переписано в терминах отклонений итераций от установившегося состояния, как

{ displaystyle left (y_ {t} -y ^ {*} right) = a_ {1} left (y_ {t-1} -y ^ {*} right) + cdots + a_ {n} left (y_ {tn} -y ^ {*} right)}

который не имеет постоянного члена, и который может быть записан более кратко как

{ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + cdots + a_ {n} x_ {t-n}}

где $Икс$ равно $у - у *$ . Это однородная форма.

Если устойчивого состояния нет, разностное уравнение

{ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + cdots + a_ {n} y_ {t-n} + b}

можно комбинировать с его эквивалентной формой

{ displaystyle y_ {t-1} = a_ {1} y_ {t-2} + cdots + a_ {n} y_ {t- (n + 1)} + b}

чтобы получить (решая как для $б$ )

{ displaystyle y_ {t} -a_ {1} y_ {t-1} - cdots -a_ {n} y_ {tn} = y_ {t-1} -a_ {1} y_ {t-2} - cdots -a_ {n} y_ {t- (n + 1)}}

в котором одинаковые члены могут быть объединены, чтобы дать однородное уравнение на порядок выше, чем исходное.

Стабильность

В решении уравнения

{ displaystyle x_ {t} = c_ {1} lambda _ {1} ^ {t} + cdots + c_ {n} lambda _ {n} ^ {t},}

член с вещественными характеристическими корнями сходится к 0 при $т$ становится бесконечно большим, если абсолютное значение характеристического корня меньше 1. Если абсолютное значение равно 1, член останется постоянным, как $т$ растет, если корень равен +1, но будет колебаться между двумя значениями, если корень равен -1. Если абсолютное значение корня больше 1, член со временем будет становиться все больше и больше. Пара членов с комплексно сопряженными характеристическими корнями будет сходиться к 0 с демпфирующими колебаниями, если абсолютное значение модуля $M$ корней меньше 1; если модуль равен 1, то будут сохраняться постоянные колебания амплитуды объединенных членов; и если модуль больше 1, объединенные члены покажут флуктуации все возрастающей величины.

Таким образом, развивающаяся переменная $Икс$ будет сходиться к 0, если все характеристические корни имеют величину меньше 1.

Если наибольший корень имеет абсолютное значение 1, ни сходимости к 0, ни расхождения к бесконечности не произойдет. Если все корни с величиной 1 действительны и положительны, $Икс$ сходятся к сумме их постоянных членов $c я$ ; В отличие от стабильного случая, это сходящееся значение зависит от начальных условий; разные отправные точки приводят к разным точкам в конечном итоге. Если какой-либо корень равен -1, его член будет вносить постоянные колебания между двумя значениями. Если любой из корней единичной величины является комплексным, то флуктуации постоянной амплитуды $Икс$ будет сохраняться.

Наконец, если какой-либо характеристический корень имеет величину больше 1, то $Икс$ будет расходиться до бесконечности с течением времени или будет колебаться между все более большими положительными и отрицательными значениями.

Теорема Иссай Шур утверждает, что все корни имеют величину меньше 1 (стабильный случай) тогда и только тогда, когда конкретная строка детерминанты все положительные.^[2]^:247

Если неоднородное линейное разностное уравнение было преобразовано в однородную форму, которая была проанализирована, как указано выше, то свойства устойчивости и цикличности исходного неоднородного уравнения будут такими же, как и у производной однородной формы, со сходимостью в стабильный случай находится на установившемся значении $у *$ вместо 0.

Решение преобразованием в матричную форму

Альтернативный метод решения включает преобразование $п$ разностное уравнение первого порядка матричное разностное уравнение. Это достигается написанием $ш 1, т = у т$ , $ш 2, т = у т -1 = ш 1, т -1$ , $ш 3, т = у т -2 = ш 2, т -1$ , и так далее. Тогда оригинальный сингл $п$ уравнение -го порядка

{ displaystyle y_ {t} = a_ {1} y_ {t-1} + a_ {2} y_ {t-2} + cdots + a_ {n} y_ {t-n} + b}

можно заменить следующими уравнениями первого порядка {mvar | n}}:

{ displaystyle { begin {align} w_ {1, t} & = a_ {1} w_ {1, t-1} + a_ {2} w_ {2, t-1} + cdots + a_ {n} w_ {n, t-1} + b w_ {2, t} & = w_ {1, t-1} & , , , vdots w_ {n, t} & = w_ {П-1, Т-1}. end {Выровнено}}}

Определение вектора $ш я$ так как

{ displaystyle mathbf {w} _ {i} = { begin {bmatrix} w_ {1, i} w_ {2, i} vdots w_ {n, i} end {bmatrix} }}

это можно представить в матричной форме как

{ Displaystyle mathbf {w} _ {t} = mathbf {A} mathbf {w} _ {t-1} + mathbf {b}}

Вот $А$ является $п \times п$ матрица, в которой первая строка содержит $а 1, ..., а п$ а все остальные строки имеют единственную единицу, а все остальные элементы равны 0, и $б$ вектор-столбец с первым элементом $б$ а остальные его элементы равны 0.

Это матричное уравнение может быть решено методами, описанными в статье. Матричное разностное уравнение.

Смотрите также

использованная литература

^ Чан, Альфа (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7.
^ ^а ^б Баумоль, Уильям (1970). Экономическая динамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1.

[Chiang-1] Чан, Альфа (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7.

[Baumol-2] а ^б Баумоль, Уильям (1970). Экономическая динамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1.

[1]

[2]

Navigation