WikiDer > Характеристическая функция (выпуклый анализ)

Characteristic function (convex analysis)

В области математика известный как выпуклый анализ, то характеристическая функция набора это выпуклая функция что указывает на принадлежность (или непринадлежность) данного элемента к этому набору. Он похож на обычный индикаторная функция, и можно свободно преобразовывать между ними, но характеристическая функция, как определено ниже, лучше подходит для методов выпуклого анализа.

Определение

Позволять ${displaystyle X}$ быть набор, и разреши ${displaystyle A}$ быть подмножество из ${displaystyle X}$ . В характеристическая функция из ${displaystyle A}$ это функция

{displaystyle chi _ {A}: X o mathbb {R} чашка {+ infty}}

принимая ценности в расширенная строка действительных чисел определяется

{displaystyle chi _ {A} (x): = {egin {cases} 0, & xin A; + infty, & xot in A.end {cases}}}

Связь с индикаторной функцией

Позволять ${displaystyle mathbf {1} _ {A}: X o mathbb {R}}$ обозначают обычную индикаторную функцию:

{displaystyle mathbf {1} _ {A} (x): = {egin {cases} 1, & xin A; 0, & xot in A.end {cases}}}

Если принять соглашения,

для любого ${displaystyle ain mathbb {R} чашка {+ infty}}$ , ${displaystyle a + (+ infty) = + infty}$ и ${displaystyle a (+ infty) = + infty}$ , Кроме ${displaystyle 0 (+ infty) = 0}$ ;
${displaystyle {frac {1} {0}} = + infty}$ ; и
${displaystyle {frac {1} {+ infty}} = 0}$ ;