WikiDer > Гипотеза Чернса для гиперповерхностей в сферах - Википедия

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Гипотеза Черна для гиперповерхностей сфер» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Март 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Гипотеза Черна для гиперповерхностей в сферах, нерешенная по состоянию на 2018 г., является гипотезой, предложенной Черном в области дифференциальная геометрия. Это происходит из-за безответного вопроса Черна:

Учитывать закрыто минимальный подмногообразия ${ displaystyle M ^ {n}}$ погруженный в единичную сферу ${ Displaystyle S ^ {п + м}}$ с вторая основная форма постоянной длины, квадрат которой обозначен ${ displaystyle sigma}$. Набор значений для ${ displaystyle sigma}$ дискретный? Какова нижняя грань этих значений ${ displaystyle sigma> { frac {n} {2 - { frac {1} {m}}}}}$?

Первый вопрос, т. Е. Есть ли набор значений для σ дискретна, может быть переформулирована следующим образом:

Позволять ${ displaystyle M ^ {n}}$ - замкнутое минимальное подмногообразие в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + м}}$ со второй основной формой постоянной длины, обозначим через ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {n}}$ набор всех возможных значений квадрата длины второй фундаментальной формы ${ displaystyle M ^ {n}}$, является ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {n}}$ дискретный?

Его положительная сторона, более общая, чем гипотеза Черна для гиперповерхностей, иногда также упоминается как Гипотеза Черна и по состоянию на 2018 год остается без ответа даже M как гиперповерхность (Черн предложил этот частный случай Шинг-Тунг Яусписок открытых проблем в дифференциальная геометрия в 1982 г.):

Рассмотрим множество всех компактных минимальных гиперповерхности в ${ Displaystyle S ^ {N}}$ с постоянной скалярной кривизной. Думайте о скалярной кривизне как о функции на этом множестве. Это изображение этой функции дискретный набор положительных чисел?

Альтернативно сформулированы:

Рассмотрим замкнутые минимальные гиперповерхности ${ Displaystyle М подмножество mathbb {S} ^ {п + 1}}$ с постоянной скалярной кривизной ${ displaystyle k}$. Тогда для каждого ${ displaystyle n}$ набор всех возможных значений для ${ displaystyle k}$ (или эквивалентно ${ displaystyle S}$) дискретна

Это стало известно как Гипотеза Черна о минимальных гиперповерхностях в сферах (или же Гипотеза Черна о минимальных гиперповерхностях в сфере)

Этот случай гиперповерхностей был позже, благодаря прогрессу в исследованиях изопараметрических гиперповерхностей, получил новую формулировку, теперь известную как Гипотеза Черна об изопараметрических гиперповерхностях в сферах (или же Гипотеза Черна для изопараметрических гиперповерхностей на сфере):

Позволять ${ displaystyle M ^ {n}}$ - замкнутая минимально погруженная гиперповерхность единичной сферы ${ Displaystyle S ^ {п + 1}}$ с постоянной скалярной кривизной. потом ${ displaystyle M}$ изопараметрический

Здесь, ${ Displaystyle S ^ {п + 1}}$ относится к (n + 1) -мерной сфере, а n ≥ 2.

В 2008 году Чжицинь Лу выдвинул гипотезу, аналогичную гипотезе Черна, но с ${ displaystyle sigma + lambda _ {2}}$ взят вместо ${ displaystyle sigma}$:

Позволять ${ displaystyle M ^ {n}}$ - замкнутое минимально погруженное подмногообразие в единичной сфере ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + м}}$ с постоянным ${ displaystyle sigma + lambda _ {2}}$. Если ${ displaystyle sigma + lambda _ {2}> п}$, то существует постоянная ${ displaystyle epsilon (п, м)> 0}$ такой, что${ Displaystyle сигма + лямбда _ {2}> п + эпсилон (п, м)}$

Здесь, ${ displaystyle M ^ {n}}$ обозначает n-мерное минимальное подмногообразие; ${ displaystyle lambda _ {2}}$ обозначает второй по величине собственное значение полуположительной симметричной матрицы ${ displaystyle S: = ( left langle A ^ { alpha}, B ^ { beta} right rangle)}$ куда ${ displaystyle A ^ { alpha}}$s (${ Displaystyle альфа = 1, cdots, м}$) являются операторы формы из ${ displaystyle M}$ относительно заданного (локального) нормального ортонормированного репера. ${ displaystyle sigma}$ перезаписывается как ${ Displaystyle { left Vert sigma right Vert} ^ {2}}$.

Другая похожая гипотеза была предложена Роберт Брайант (математик):

Кусок минимальной гиперсферы ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {4}}$ с постоянной скалярной кривизной является изопараметрической типа ${ displaystyle g leq 3}$

Альтернативно сформулированы:

Позволять ${ Displaystyle M подмножество mathbb {S} ^ {4}}$ - минимальная гиперповерхность постоянной скалярной кривизны. потом ${ displaystyle M}$ изопараметрический

Гипотезы Черна иерархически

Выложенные иерархически и сформулированные в едином стиле, предположения Черна (без домыслов Лу и Брайанта) могут выглядеть так:

• Первая версия (гипотеза минимальных гиперповерхностей):

Позволять ${ displaystyle M}$ - компактная минимальная гиперповерхность в единичной сфере ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$. Если ${ displaystyle M}$ имеет постоянную скалярную кривизну, то возможные значения скалярной кривизны ${ displaystyle M}$ образуют дискретный набор

• Уточненная / более сильная версия (гипотеза изопараметрических гиперповерхностей) гипотезы та же самая, но с частью «если» заменяется на это:

Если ${ displaystyle M}$ имеет постоянную скалярную кривизну, то ${ displaystyle M}$ изопараметрический

• Самая сильная версия заменяет часть «если» на:

Обозначим через ${ displaystyle S}$ квадрат длины второй основной формы ${ displaystyle M}$. Набор ${ displaystyle a_ {k} = (k- operatorname {sgn} (5-k)) n}$, за ${ Displaystyle к ин {м ин mathbb {Z} ^ {+}; 1 Leq м Leq 5 }}$. Тогда у нас есть:

• Для любых фиксированных ${ Displaystyle к ин {м ин mathbb {Z} ^ {+}; 1 Leq м Leq 4 }}$, если ${ Displaystyle а_ {к} leq S leq a_ {к + 1}}$, тогда ${ displaystyle M}$ изопараметрический, и ${ Displaystyle S эквив а_ {к}}$ или же ${ Displaystyle S эквив а_ {к + 1}}$
• Если ${ displaystyle S geq a_ {5}}$, тогда ${ displaystyle M}$ изопараметрический, и ${ Displaystyle S эквив а_ {5}}$

Или альтернативно:

Обозначим через ${ displaystyle A}$ квадрат длины второй основной формы ${ displaystyle M}$. Набор ${ displaystyle a_ {k} = (k- operatorname {sgn} (5-k)) n}$, за ${ Displaystyle к ин {м ин mathbb {Z} ^ {+}; 1 Leq м Leq 5 }}$. Тогда у нас есть:

• Для любых фиксированных ${ Displaystyle к ин {м ин mathbb {Z} ^ {+}; 1 Leq м Leq 4 }}$, если ${ displaystyle a_ {k} leq { left vert A right vert} ^ {2} leq a_ {k + 1}}$, тогда ${ displaystyle M}$ изопараметрический, и ${ Displaystyle { влево верт А вправо верт} ^ {2} экв А_ {к}}$ или же ${ Displaystyle { влево верт А вправо верт} ^ {2} экв А_ {к + 1}}$
• Если ${ displaystyle { left vert A right vert} ^ {2} geq a_ {5}}$, тогда ${ displaystyle M}$ изопараметрический, и ${ Displaystyle { влево верт А вправо верт} ^ {2} экв А_ {5}}$

Следует обратить внимание на так называемые проблемы первого и второго защемления как на особые детали для Черна.

Другие связанные и все еще открытые проблемы

Помимо предположений Лу и Брайанта, есть и другие:

В 1983 году Чиа-Гуй Пэн и Чу-Лиан Тернг предложил проблему, связанную с Черном:

Позволять ${ displaystyle M}$ быть ${ displaystyle n}$-мерная замкнутая минимальная гиперповерхность в ${ Displaystyle S ^ {п + 1}, п geq 6}$. Существует ли положительная постоянная ${ Displaystyle дельта (п)}$ в зависимости только от ${ displaystyle n}$ так что если ${ Displaystyle п Leq п + дельта (п)}$, тогда ${ Displaystyle S эквив п}$, т.е. ${ displaystyle M}$ один из Клиффорд тор ${ displaystyle S ^ {k} left ({ sqrt { frac {k} {n}}} right) times S ^ {nk} left ({ sqrt { frac {nk} {n}) }} right), k = 1,2, ldots, n-1}$?

В 2017 году Ли Лэй, Хунвэй Сюй и Чжиюань Сюй предложили две проблемы, связанные с Черном.

Первый был вдохновлен Гипотеза Яу о первом собственном значении:

Позволять ${ displaystyle M}$ быть ${ displaystyle n}$-мерная компактная минимальная гиперповерхность в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$. Обозначим через ${ displaystyle lambda _ {1} (М)}$ первый собственное значение из Оператор Лапласа действуя на функции над ${ displaystyle M}$:

• Можно ли доказать, что если ${ displaystyle M}$ имеет постоянную скалярную кривизну, то ${ Displaystyle лямбда _ {1} (М) = п}$?

• Набор ${ displaystyle a_ {k} = (k- operatorname {sgn} (5-k)) n}$. Можно ли доказать, что если ${ Displaystyle а_ {к} leq S leq a_ {к + 1}}$ для некоторых ${ Displaystyle к ин {м ин mathbb {Z} ^ {+}; 2 Leq м Leq 4 }}$, или же ${ displaystyle S geq a_ {5}}$, тогда ${ Displaystyle лямбда _ {1} (М) = п}$?

Второй - их собственный Обобщенная гипотеза Черна для гиперповерхностей постоянной средней кривизны:

Позволять ${ displaystyle M}$ - замкнутая гиперповерхность с постоянной средней кривизной ${ displaystyle H}$ в единичной сфере ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$:

• Предположить, что ${ Displaystyle а leq S leq b}$, куда ${ displaystyle a$ и ${ displaystyle left [a, b right] cap I = left lbrace a, b right rbrace}$. Можно ли доказать, что ${ Displaystyle S эквив а}$ или же ${ Displaystyle S эквив б}$, и ${ displaystyle M}$ является изопараметрической гиперповерхностью в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$?

• Предположим, что ${ Displaystyle S leq c}$, куда ${ displaystyle c = sup _ {t in I} {t}}$. Можно ли показать, что ${ Displaystyle S эквив с}$, и ${ displaystyle M}$ является изопараметрической гиперповерхностью в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п + 1}}$?

Источники

• Черн С.С. Минимальные подмногообразия в римановом многообразии.мимеограф в 1968 г.), Технический отчет 19 отдела математики (новая серия), Канзасский университет, 1968
• С.С.Черн, Краткий обзор минимальных подмногообразий, Дифференциальная геометрия им Гросена, том 4 (1971), Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, стр. 43–60
• С.С. Черн, М. ду Карму и С. Кобаяши, Минимальные подмногообразия сферы со второй фундаментальной формой постоянной длины, Функциональный анализ и смежные области: Труды конференции в честь профессора Маршалл Стоун, проходивший в Чикагский университет, Май 1968 (1970), Springer-Verlag, стр. 59-75
• S.T. Яу, Семинар по дифференциальной геометрии (Annals of Mathematics Studies, Volume 102), Princeton University Press (1982), стр. 669–706, проблема 105
• Л. Верстрален, Секционная кривизна минимальных подмногообразий, Труды семинара по дифференциальной геометрии (1986), Саутгемптонский университет, стр. 48–62
• М. Шерфнер и С. Вайс, К доказательству гипотезы Черна для изопараметрических гиперповерхностей в сферах, Süddeutsches Kolloquium über Differentialgeometrie, том 33 (2008), Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, Technische Universität Wien, стр. 1–13
• З. Лу, Гипотеза о нормальной скалярной кривизне и ее приложения, Журнал функционального анализа, том 261 (2011), стр. 1284–1308
• Лу, Чжицинь (2011). «Гипотеза о нормальной скалярной кривизне и ее приложения». arXiv:0803.0502v3 [math.DG].
• C.K. Пэн, К. Тернг, Минимальные гиперповерхности сферы с постоянной скалярной кривизной, Анналы математических исследований, том 103 (1983), стр. 177–198
• Лей, Ли; Сюй, Хунвэй; Сюй, Чжиюань (2017). «О гипотезе Черна для минимальных гиперповерхностей в сферах». arXiv:1712.01175 [math.DG].