WikiDer > Главный сериал

Chief series

В абстрактная алгебра, а главный сериал это максимальный нормальная серия для группа.

Это похоже на серия композиций, хотя эти два понятия в целом различны: главный ряд - это максимальная нормальный серия, а композиционная серия - максимальная субнормальный серии.

Главную серию можно рассматривать как разбиение группы на менее сложные части, которые можно использовать для характеристики различных качеств группы.

Определение

Главный ряд - это максимальный нормальный ряд для группы. Эквивалентно главный ряд - это композиционный ряд группы. г под действием внутренние автоморфизмы.

Подробно, если г это группа, потом главный сериал из г конечный набор нормальные подгруппы N_я ⊆ г,

{ Displaystyle 1 = N_ {0} substeq N_ {1} substeq N_ {2} substeq cdots substeq N_ {n} = G,}

так что каждый факторгруппа N_я+1/N_я, за я = 1, 2,..., п - 1, является минимальная нормальная подгруппа из г/N_я. Эквивалентно не существует никакой подгруппы А нормально в г такой, что N_я < А < N_я+1 для любого я. Другими словами, главный ряд можно рассматривать как «полный» в том смысле, что ни одна нормальная подгруппа г могут быть добавлены к нему.

Факторные группы N_я+1/N_я в главной серии называются главные факторы серии. В отличие от факторы состава, главные факторы не обязательно просто. То есть может существовать подгруппа А нормально в N_я+1 с N_я < А < N_я+1, но А это не нормально в г. Однако главные факторы всегда характерно простой, то есть у них нет собственных нетривиальных характеристические подгруппы. В частности, конечный главный фактор - это прямой продукт изоморфных простых групп.

Характеристики

Существование

Конечные группы всегда имеют главную серию, хотя бесконечные группы не обязательно имеют главную серию. Например, группа целых чисел Z с добавлением, так как операция не имеет главного ряда. Чтобы увидеть это, обратите внимание Z является циклический и абелевский, а значит, все его подгруппы также нормальные и циклические. Предположим, что существует главная серия N_я приводит к немедленному противоречию: N₁ является циклическим и, следовательно, порождается некоторым целым числом а, однако подгруппа, порожденная 2а является нетривиальной нормальной подгруппой, правильно содержащейся в N₁, что противоречит определению главного ряда.

Уникальность

Когда серия вождей для группы существует, она, как правило, не уникальна. Однако форма Теорема Жордана – Гёльдера утверждает, что главные факторы группы уникальны с точностью до изоморфизма, независимо от конкретной главной серии, из которой они построены. В частности, количество главных факторов инвариантный группы г, так же хорошо как классы изоморфизма главных факторов и их множественности.

Другие свойства

В абелевых группах главный ряд и композиционный ряд идентичны, так как все подгруппы нормальны.

Для любой нормальной подгруппы N ⊆ г, всегда можно найти главный сериал, в котором N является одним из элементов (если принять главный ряд для г существует в первую очередь.) Кроме того, если г имеет главную серию и N нормально в г, то оба N и г/N есть главный сериал. Верно и обратное: если N нормально в г и оба N и г/N есть главный сериал, г также есть главная серия.

Navigation