WikiDer > Лемма Чоу - Википедия

Chows lemma - Wikipedia

Лемма Чоу, названный в честь Вэй-Лян Чоу, является одним из основополагающих результатов в алгебраическая геометрия. Это примерно говорит, что правильный морфизм довольно близко к тому, чтобы быть проективный морфизм. Точнее, его версия гласит следующее:[1]

Если схема, правильная над нётерский основание , то существует проективный -схема и сюръективный -морфизм что индуцирует изоморфизм для некоторых плотных открытых

Доказательство

Доказательство здесь стандартное (ср. EGA II, 5.6.1).

Легко свести к случаю, когда неприводима следующим образом. является нётеровым, поскольку имеет конечный тип над нётеровой базой. Тогда она также топологически нётерова и состоит из конечного числа неприводимых компонент. , каждый из которых свойственен (потому что это закрытые погружения в схему что правильно над ). Если внутри каждой из этих неприводимых компонент существует плотная открытая , тогда мы можем взять

Нетрудно увидеть, что каждая из непересекающихся частей плотна в своих соответствующих , так что полный комплект плотно в . Кроме того, ясно, что аналогично можно найти морфизм которое удовлетворяет условию плотности.

Сократив задачу, мы теперь предполагаем неприводимо. Напомним, что он тоже должен быть нётеровым. Таким образом, мы можем найти конечное открытое аффинное покрытие

куда квазипроективны над Есть открытые погружения в некоторые проективные -схемы Набор потом непусто, поскольку неприводимо. Позволять

быть предоставленным ограниченный над . Позволять

быть предоставленным и над . тогда погружение; таким образом, это учитывается как открытое погружение с последующим закрытым погружением. (теоретико-схемный образ). Позволять быть погружением с последующей проекцией. Мы утверждаем побуждает ; для этого достаточно показать . Но это значит, что закрыт в факторизуется как

разделен на и поэтому морфизм графов закрытое погружение. Это доказывает нашу точку зрения.

Осталось показать проективен над . Позволять - закрытое погружение с последующей проекцией. Показывая это это закрытое погружение показывает проективен над . Это можно проверить на месте. Идентификация с его изображением в мы подавляем из наших обозначений.

Позволять куда . Мы утверждаем открытая крышка . Это следует из ресурсы. Это, в свою очередь, следует из на как функции на нижележащем топологическом пространстве. Таким образом, достаточно показать, что для каждого карта , обозначаемый , является замкнутым погружением (поскольку свойство быть замкнутым погружением локально на основе).

Исправить и разреши быть графиком

Это закрытая подсхема поскольку разделен на . Позволять

быть прогнозами. Мы утверждаем, что факторы через , что означало бы закрытое погружение. Но для у нас есть:

Последнее равенство выполнено и, следовательно, существует что удовлетворяет первому равенству. Это доказывает наше утверждение.

Дополнительные заявления

В формулировке леммы Чоу, если редуцированный, неприводимый или целочисленный, можно считать, что то же самое верно для . Если оба и неприводимы, то это бирациональный морфизм. (ср. EGA II, 5.6).

Рекомендации

  1. ^ Hartshorne, Глава II. Упражнение 4.10.
  • Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude global élémentaire de quelques classes de morphismes". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 8. Дои:10.1007 / bf02699291. МИСТЕР 0217084.
  • Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157