WikiDer > Правильный морфизм

Proper morphism

В алгебраическая геометрия, а правильный морфизм между схемы является аналогом правильная карта между сложные аналитические пространства.

Некоторые авторы называют правильным разнообразие через поле k а полное разнообразие. Например, каждый проективное разнообразие над полем k правильно над k. Схема Икс из конечный тип над сложные числа (например, разнообразие) собственно над C тогда и только тогда, когда пространство Икс(C) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактный и Хаусдорф.

А закрытое погружение правильно. Морфизм - это конечный если и только если это правильно и квазиконечный.

Определение

А морфизм ж: ИксY схем называется универсально закрытый если для каждой схемы Z с морфизмом ZY, проекция из волокнистый продукт

это закрытая карта лежащих в основе топологические пространства. Морфизм схем называется правильный если это отделенный, из конечный тип, и универсально замкнутый ([EGA] II, 5.4.1 [1]). Еще говорят, что Икс правильно над Y. В частности, разнообразие Икс над полем k считается правильным k если морфизм Икс → Спец (k) правильно.

Примеры

Для любого натурального числа п, проективное пространство пп через коммутативное кольцо р правильно над р. Проективные морфизмы собственные, но не все собственные морфизмы проективны. Например, есть гладкий собственное комплексное многообразие размерности 3, не проективное над C.[1] Аффинные разновидности положительной размерности над полем k никогда не бывает правильным k. В общем, правильный аффинный морфизм схем должно быть конечным.[2] Например, нетрудно увидеть, что аффинная линия А1 над полем k не подходит k, потому что морфизм А1 → Спец (k) не является универсально закрытым. Действительно, обратный морфизм

(дано (Икс,у) ↦ у) не замкнуто, поскольку образ замкнутого подмножества ху = 1 дюйм А1 × А1 = А2 является А1 - 0, который не закрывается в А1.

Свойства и характеристики собственных морфизмов

Далее пусть ж: ИксY быть морфизмом схем.

  • Композиция двух собственных морфизмов правильная.
  • Любой изменение базы правильного морфизма ж: ИксY правильно. То есть, если грамм: Z → Y - любой морфизм схем, то полученный морфизм Икс ×Y ZZ правильно.
  • Правильность - это местная собственность на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрывается некоторыми открытыми подсхемами Yя и ограничение ж все ж−1(Yя) правильно, то так ж.
  • Более того, правильность локальна на основе в топология fpqc. Например, если Икс это схема над полем k и E является расширением поля k, тогда Икс правильно над k если и только если база изменится ИксE правильно над E.[3]
  • Закрытые погружения правильные.
  • В более общем смысле конечные морфизмы являются собственными. Это следствие подниматься теорема.
  • К Делинь, морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный.[4] Это было показано Гротендик если морфизм ж: ИксY является локально конечного представления, что следует из других предположений, если Y является нётерский.[5]
  • За Икс собственно над схемой S, и Y разделены S, образ любого морфизма ИксY над S является замкнутым подмножеством Y.[6] Это аналогично топологической теореме о том, что образ непрерывного отображения компакта в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
  • В Факторизация Штейна Теорема утверждает, что любой собственный морфизм к локально нётеровой схеме может быть факторизован как ИксZY, куда ИксZ собственно, сюръективно и имеет геометрически связные слои, и ZY конечно.[7]
  • Лемма Чоу говорит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективные морфизмы. Одна из версий: если Икс правильно над квазикомпактный схема Y и Икс имеет только конечное число неприводимых компонент (что автоматически при Y нетеров), то существует проективный сюръективный морфизм грамм: WИкс такой, что W проективен над Y. Более того, можно устроить, что грамм является изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U из Икс, и это грамм−1(U) плотно в W. Можно также организовать это W является целым, если Икс является цельным.[8]
  • Теорема нагаты о компактификациив обобщенном виде Делиня говорит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактным и квазиотделенный Факторы схем как открытое погружение с последующим собственным морфизмом.[9]
  • Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что более высокие прямые изображения ряж(F) (в частности прямое изображение ж(F)) из связный пучок F когерентны (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для правильного отображения комплексных аналитических пространств Грауэрт и Реммерт показал, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) Как очень частный случай: кольцо регулярных функций на собственной схеме Икс над полем k имеет конечную размерность как k-векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k кольцо многочленов k[Икс], который не имеет конечной размерности как k-векторное пространство.
  • Есть и более сильное утверждение об этом :(EGA III, 3.2.4) позволять - морфизм конечного типа, S местно нётерский и а -модуль. Если поддержка F правильно над S, то для каждого то более высокое прямое изображение логично.
  • Для схемы Икс конечного типа над комплексными числами множество Икс(C) комплексных точек является сложное аналитическое пространство, используя классическую (евклидову) топологию. За Икс и Y разделены и конечного типа над C, морфизм ж: ИксY над C собственно тогда и только тогда, когда непрерывное отображение ж: Икс(C) → Y(C) является собственным в том смысле, что прообраз каждого компакта компактен.[10]
  • Если ж: ИксY и грамм: YZ такие, что gf правильно и грамм отделяется, то ж правильно. Это можно, например, легко доказать, используя следующий критерий.
Оценочный критерий правильности

Оценочный критерий правильности

Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Chevalley. Его обычно называют оценочный критерий правильности. Позволять ж: ИксY - морфизм конечного типа нётерские схемы. потом ж правильно тогда и только тогда, когда для всех дискретные оценочные кольца р с поле дроби K и для любого K-значная точка ИксИкс(K), который отображается в точку ж(Икс), который определен над р, есть уникальный лифт Икс к . (EGA II, 7.3.8). В более общем смысле, квазиразделенный морфизм ж: ИксY конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактные) * любых * схем Икс, Y правильно тогда и только тогда, когда для всех оценочные кольца р с поле дроби K и для любого K-значная точка ИксИкс(K), который отображается в точку ж(Икс), который определен над р, есть уникальный лифт Икс к . (Стеки проекта Теги 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K это общая точка из Spec R а кольца дискретной оценки - это в точности обычный местный одномерных колец, критерий можно перефразировать: заданная регулярная кривая на Y (соответствует морфизму s: Spec рY) и подняв общую точку этой кривой до Икс, ж является правильным тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую.

По аналогии, ж разделен тогда и только тогда, когда на каждой такой диаграмме есть не более одного лифта .

Например, с учетом оценочного критерия становится легко проверить, что проективное пространство пп над полем (или даже над Z). Просто замечаем, что для дискретного оценочного кольца р с полем дробей K, каждый K-точка [Икс0,...,Иксп] проективного пространства происходит от рточки, масштабируя координаты так, чтобы все лежали в р и по крайней мере одна единица в р.

Геометрическая интерпретация с помощью дисков

Одним из мотивирующих примеров оценочного критерия правильности является интерпретация как бесконечно малый диск или комплексно-аналитически как диск . Это происходит из-за того, что каждая серия мощности

сходится в некотором круге радиуса вокруг происхождения. Затем, используя изменение координат, это можно выразить в виде степенного ряда на единичном диске. Тогда, если мы инвертируем , это кольцо которые являются степенными рядами, которые не могут исчезнуть в нуле в начале координат. Топологически это представлено как открытый диск с удаленным источником. Для морфизма схем над , это задается коммутативной диаграммой

Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение пункта в образе .

Пример

Поучительно взглянуть на контрпример, чтобы понять, почему оценочный критерий правильности должен выполняться в пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем и , то морфизм факторов через аффинную карту , сводя диаграмму к

куда диаграмма сосредоточена вокруг на . Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр

Затем, подняв диаграмму схем, , будет означать, что есть морфизм отправка из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может быть. Следовательно не подходит .

Геометрическая интерпретация с кривыми

Есть еще один аналогичный пример оценочного критерия правильности, который отражает некоторую интуицию относительно того, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую и дополнение точки . Тогда оценочный критерий правильности читался бы в виде диаграммы

с подъемом . Геометрически это означает, что каждая кривая в схеме можно завершить до компактного изгиба. Эта часть интуиции согласуется с теоретико-схемной интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными слоями, согласно которой последовательность в одном из слоев должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация представляет собой проблему локально, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца , который является DVR, и его поле дробей . Тогда задача подъема дает коммутативную диаграмму

где схема представляет собой локальный диск вокруг с закрытой точкой удаленный.

Правильный морфизм формальных схем

Позволять быть морфизмом между локально нетеровы формальные схемы. Мы говорим ж является правильный или же является правильный над Если я) ж является адический морфизм (т.е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение правильно, где и K идеал определения .(EGA III, 3.4.1) Определение не зависит от выбора K.

Например, если грамм: YZ является собственным морфизмом локально нётеровых схем, Z0 является замкнутым подмножеством Z, и Y0 является замкнутым подмножеством Y такой, что грамм(Y0) ⊂ Z0, то морфизм на формальных пополнениях - это собственный морфизм формальных схем.

Гротендик доказал теорему о когерентности в этой ситуации. А именно пусть - собственный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F является связным пучком на , то более высокие прямые изображения последовательны.[11]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Хартсхорн (1977), Приложение B, Пример 3.4.1.
  2. ^ Лю (2002), лемма 3.3.17.
  3. ^ Stacks Project, тег 02YJ.
  4. ^ Гротендик, EGA IV, часть 4, Corollaire 18.12.4; Stacks Project, тег 02LQ.
  5. ^ Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.
  6. ^ Stacks Project, тег 01W0.
  7. ^ Stacks Project, тег 03GX.
  8. ^ Гротендик, EGA II, Corollaire 5.6.2.
  9. ^ Конрад (2007), теорема 4.1.
  10. ^ SGA 1, XII Предложение 3.2.
  11. ^ Гротендик, EGA III, Часть 1, Теорема 3.4.2.

внешняя ссылка