WikiDer > Глоссарий алгебраической геометрии

Glossary of algebraic geometry

Это глоссарий алгебраической геометрии.

Смотрите также глоссарий коммутативной алгебры, глоссарий классической алгебраической геометрии, и глоссарий теории колец. О теоретико-числовых приложениях см. глоссарий арифметики и диофантовой геометрии.

Для простоты ссылки на базовую схему часто опускаются; т.е. схема будет схемой над некоторой фиксированной базовой схемой S и морфизм S-морфизм.

!$@

А общая точка. Например, точка, связанная с нулевым идеалом для любой интегральной аффинной схемы.
F(п), F(D)
1. Если Икс является проективной схемой с Скручивающаяся связка Серра и если F является -модуль, затем
2. Если D является дивизором Картье и F является -модуль (Икс произвольно), то Если D является дивизором Вейля и F рефлексивно, то заменяется F(D) его рефлексивной оболочкой (и назовем результат по-прежнему F(D).)
|D|
В полная линейная система из Дивизор Вейля D на нормальном полном разнообразии Икс над алгебраически замкнутым полем k; то есть, . Между множеством k-рациональные точки |D| и множество эффективных дивизоров Вейля на Икс которые линейно эквивалентны D.[1] То же определение используется, если D это Делитель Картье на полном разнообразии k.
[X / G]
В стек частных , скажем, алгебраического пространства Икс действием групповой схемы грамм.
В Коэффициент GIT схемы Икс по действие групповой схемы грамм.
Lп
Неоднозначная запись. Обычно это означает п-я тензорная степень L но также может означать число самопересечения L. Если , структурный пучок на Икс, то это означает прямую сумму п копии .
В пучок тавтологических линий. Это двойник Скручивающаяся связка Серра .
Скручивающаяся связка Серра. Это двойник пучок тавтологических линий . Его также называют расслоением гиперплоскостей.
1. Если D является эффективный делитель Картье на Икс, то это обратный пучку идеалов D.
2. В большинстве случаев это изображение D при естественном групповом гомоморфизме из группы дивизоров Картье в группу Пикара из Икс, группа классов изоморфизма линейных расслоений на Икс.
3. В целом пучок, соответствующий Дивизор Вейля D (на нормальная схема). Он не обязательно должен быть бесплатным, только рефлексивный.
4. Если D является ℚ-дивизором, то является неотъемлемой части D.
1.   это связка Дифференциалы Kähler на Икс.
2.   это п-я внешняя сила .
1. Если п равно 1, это пучок логарифмические дифференциалы Келера на Икс вдоль D (примерно дифференциальные формы с простыми полюсами вдоль дивизора D.)
2.   это п-я внешняя сила .
п(V)
Обозначения неоднозначны. Его традиционное значение - проектирование конечномерного k-векторное пространство V; т.е.
Проект из кольцо полиномиальных функций k[V]) и это k-точки соответствуют линиям в V. Напротив, Хартсхорн и EGA пишут п(V) для Proj симметрической алгебры V.
Q-факториал
Нормальный сорт -факторный, если каждый -Дивизор Вейля -Картье.
Спецификация (р)
Множество всех простых идеалов в кольце р с топологией Зарисского; это называется простой спектр из р.
СпецификацияИкс(F)
В относительная спецификация из ОИкс-алгебра F. Его также обозначают Спецификация(F) или просто Spec (F).
Спецификацияан(р)
Множество всех оценок кольца р с определенной слабой топологией; это называется Спектр Берковича из р.

А

абелевский
1. An абелева разновидность является полным групповым многообразием. Например, рассмотрим сложную разновидность или эллиптическая кривая над конечным полем .
2. An абелева схема - (плоское) семейство абелевых многообразий.
формула присоединения
1. Если D является эффективным дивизором Картье на алгебраическом многообразии Икс, оба признают дуализирующие связки , то формула присоединения говорит:
.
2. Если, кроме того, Икс и D гладкие, то формула эквивалентна высказыванию:
куда находятся канонические делители на D и Икс.
аффинный
1.  Аффинное пространство это примерно векторное пространство, где забыли, какая точка является началом координат
2. An аффинное разнообразие многообразие в аффинном пространстве
3. An аффинная схема это схема, которая является простой спектр некоторого коммутативного кольца.
4. Морфизм называется аффинный если прообраз любого открытого аффинного подмножества снова является аффинным. Говоря более изысканными терминами, аффинные морфизмы определяются Глобальный Спецификация конструкция для связок ОИкс-Алгебры, определяемые по аналогии с спектр кольца. Важными аффинными морфизмами являются векторные пакеты, и конечные морфизмы.
5. аффинный конус над замкнутым подмногообразием Икс проективного пространства есть Спектр однородного координатного кольца Икс.
Алгебраическая геометрия заняла центральное место в математике прошлого века. К этой области относятся наиболее глубокие результаты Абеля, Римана, Вейерштрасса, многие важнейшие работы Клейна и Пуанкаре. В конце прошлого и начале нынешнего столетия отношение к алгебраической геометрии резко изменилось. ... Стиль мышления, полностью развитый в алгебраической геометрии в то время, был слишком далек от теоретико-множественного и аксиоматического духа, который в то время определял развитие математики. ... Примерно в середине нынешнего столетия алгебраическая геометрия претерпела в значительной степени такой процесс преобразования. В результате он снова может претендовать на позицию, которую когда-то занимал в математике.

Из предисловия к И. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии.

алгебраическая геометрия
Алгебраическая геометрия это раздел математики, изучающий решения алгебраических уравнений.
алгебраическая геометрия над полем с одним элементом
Одна цель - доказать Гипотеза Римана.[2] См. Также поле с одним элементом и Пенья, Хавьер Лопес; Лоршеид, Оливер (31 августа 2009 г.). «Картографирование F_1-земли: обзор геометрии поля с одним элементом». arXiv:0909.0069. а также [3][4].
алгебраическая группа
An алгебраическая группа является алгебраическим многообразием, которое также является группа Таким образом, групповые операции являются морфизмами многообразий.
алгебраическая схема
Отделенная схема конечного типа над полем. Например, алгебраическое многообразие - это приведенная неприводимая алгебраическая схема.
алгебраический набор
An алгебраический набор над полем k - приведенная отделимая схема конечного типа над . Неприводимое алгебраическое множество называется алгебраическим многообразием.
алгебраическое пространство
An алгебраическое пространство является фактором схемы по этальное отношение эквивалентности.
алгебраическое многообразие
An алгебраическое многообразие над полем k представляет собой целую разделенную схему конечного типа над . Обратите внимание, не предполагая k алгебраически замкнуто вызывает некоторую патологию; Например, не является многообразием, поскольку координатное кольцо не является область целостности.
алгебраическое векторное расслоение
А локально свободная связка конечного ранга.
обильный
Линейное расслоение на проективном многообразии называется обильный если некоторая тензорная сила этого очень велика.
Геометрия Аракелова
Алгебраическая геометрия над компактификацией Spec кольцо целых рациональных чисел ℤ .. См. Геометрия Аракелова.[5]
арифметический род
В арифметический род проективного разнообразия Икс измерения р является .
Стек Артина
Еще один термин для алгебраический стек.
артистический
0-мерный и нетеровский. Определение применяется как к схеме, так и к кольцу.

B

Функция Беренда
В взвешенная эйлерова характеристика (красивой) стопки Икс с уважением к Функция Беренда степень виртуальный фундаментальный класс из Икс.
Формула следа Беренда
Формула следа Беренда обобщает Формула следа Гротендика; обе формулы вычисляют след Фробениус на л-адические когомологии.
большой
А большой линейный пакет L на Икс измерения п - линейное расслоение такое, что .
бирациональный морфизм
А бирациональный морфизм между схемами - это морфизм, который становится изоморфизмом после ограничения на некоторое открытое плотное подмножество. Один из наиболее распространенных примеров бирационального отображения - это отображение, индуцированное раздутием.
Взрывать
А Взрывать является бирациональным преобразованием, заменяющим замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. Именно по нётеровой схеме Икс и закрытая подсхема , взрыв Икс вдоль Z это правильный морфизм такой, что (1) является эффективным дивизором Картье, называемым исключительным дивизором и (2) универсален относительно (1). Конкретно, он построен как относительный Proj алгебры Риса относительно идеального пучка, определяющего Z.

C

Калаби-Яу
1. В Метрика Калаби – Яу является кэлеровой метрикой с нулевой кривизной Риччи.
канонический
1. В каноническая связка на обычном сорте Икс измерения п является куда я это включение гладкий локус U и - пучок дифференциальных форм на U степени п. Если базовое поле имеет нулевую характеристику вместо нормальности, то можно заменить я разрешением особенностей.
2. Программа канонический класс на обычном сорте Икс класс дивизоров такой, что .
3. В канонический делитель представитель канонического класса обозначается тем же символом (и четко не определяется.)
4. каноническое кольцо нормального сорта Икс является секционным кольцом каноническая связка.
каноническая модель
1. В каноническая модель это Проект канонического кольца (в предположении, что кольцо конечно порождено).
Картье
1. Эффективный Делитель Картье D по схеме Икс над S замкнутая подсхема Икс это плоско S и чей идеальный пучок обратим (локально свободен от ранга один).
Регулярность Кастельнуово – Мамфорда.
В Регулярность Кастельнуово – Мамфорда. связного пучка F на проективном пространстве по схеме S это наименьшее целое число р такой, что
для всех я > 0.
цепная связь
Схема цепная связь, если все цепи между двумя неприводимыми замкнутыми подсхемами имеют одинаковую длину. Примеры включают практически все, например многообразий над полем, и трудно построить примеры, не связанные цепью.
центральное волокно
1. Специальное волокно.
Группа чау
В k-го Группа чау гладкой разновидности Икс свободная абелева группа, порожденная замкнутыми подмногообразиями размерности k (группа k-циклы) по модулю рациональные эквивалентности.
классифицирующий стек
Аналог классификация пространства за торсоры в алгебраической геометрии; видеть классифицирующий стек.
закрыто
Закрытые подсхемы схемы Икс определяются как те, которые встречаются в следующей конструкции. Позволять J быть квазикогерентный пучок -идеалы. В поддерживать из частный пучок замкнутое подмножество Z из Икс и это схема, называемая закрытая подсхема, определяемая квазикогерентный сноп идеалов J.[6] Причина, по которой определение замкнутых подсхем основывается на такой конструкции, заключается в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутое подмножество схемы не имеет уникальной структуры как подсхемы.
Коэн – Маколей
Схема называется Коэна-Маколея, если все локальные кольца Коэн-Маколей.Например, обычные схемы и Spec k[х, у]/(ху) являются Коэном – Маколеем, ноСхема некогена маколея thumb.png не является.
связный пучок
А связный пучок по нётеровой схеме Икс - квазикогерентный пучок, конечно порожденный как ОИкс-модуль.
конический
An алгебраическая кривая степени два.
связаны
Схема такая связаны как топологическое пространство. Поскольку связанные компоненты уточнить неприводимые компоненты любая неприводимая схема связана, но не наоборот. An аффинная схема Спецификация (R) подключен если только кольцо р не обладает идемпотенты кроме 0 и 1; такое кольцо еще называют связанное кольцо. Примеры подключенных схем включают: аффинное пространство, проективное пространство, а пример несвязанной схемы -Спецификация(k[Иксk[Икс])
компактификация
См. Например Теорема нагаты о компактификации.
Кольцо Кокса
Обобщение однородного координатного кольца. Видеть Кольцо Кокса.
крепант
А крепантный морфизм между нормальными многообразиями есть такой морфизм, что .
изгиб
Алгебраическое многообразие размерности один.

D

деформация
Позволять быть морфизмом схем и Икс ан S-схема. Тогда деформация Икс' из Икс является S'-схема вместе с квадратом отката, в котором Икс это откат Икс'(обычно Икс'предполагается плоский).
локус вырождения
Учитывая карту векторного расслоения по разнообразию Икс (то есть схема Икс-морфизм между тотальными пространствами расслоений), локус вырождения является (теоретико-схемным) локусом
.
вырождение
1. Схема Икс говорят выродиться к схеме (называется пределом Икс) если есть схема с обычное волокно Икс и специальное волокно .
2. А плоская дегенерация такое вырождение, что плоский.
измерение
В измерениепо определению максимальная длина цепочки неприводимых замкнутых подсхем является глобальным свойством. Это можно увидеть локально, если схема неприводима. Это зависит только от топологии, а не от структурного пучка. Смотрите также Глобальное измерение.Примеры: равномерные схемы в измерении 0: Артиниан схемы, 1: алгебраические кривые, 2: алгебраические поверхности.
степень
1. Степень линейного расслоения L на полном разнообразии - целое число d такой, что .
2. Если Икс это цикл на полном разнообразии над полем k, то его степень .
2. О степени конечного морфизма см. морфизм многообразий # Степень конечного морфизма.
производная алгебраическая геометрия
Подход к алгебраической геометрии с использованием (коммутативный) кольцевые спектры вместо коммутативные кольца; видеть производная алгебраическая геометрия.
делительный
1. А делительная связка на нормальном многообразии - это возвратный пучок вида ОИкс(D) для некоторых Дивизор Вейля D.
2. А схема деления - схема, допускающая обильное семейство обратимых пучков. Схема, допускающая обильный обратимый пучок, является основным примером.
доминирующий
Морфизм ж : ИксY называется доминирующий, если изображение ж(Икс) является плотный. Морфизм аффинных схем Спецификация AСпецификация B плотно тогда и только тогда, когда ядро ​​соответствующего отображения BА содержится в нильрадикале B.
дуализирующий комплекс
Видеть Когерентная двойственность.
дуализирующий пучок
О проективном Схема Коэна – Маколея чистого измерения п, то дуализирующий пучок когерентный пучок на Икс такой, что
выполняется для любого локально свободного пучка F на Икс; например, если Икс гладкое проективное многообразие, то это каноническая связка.

E

Éléments de géométrie algébrique
В EGA была неполной попыткой заложить фундамент алгебраической геометрии на основе понятия схема, обобщение алгебраического многообразия. Séminaire de géométrie algébrique продолжается с того места, где остановилась EGA. Сегодня это один из стандартных справочников в алгебраической геометрии.
эллиптическая кривая
An эллиптическая кривая гладкий проективная кривая рода один.
по существу конечного типа
Локализация схемы конечного типа.
эталь
Морфизм ж : YИкс является эталь если он плоский и неразветвленный. Есть несколько других эквивалентных определений. В случае гладких сортов и над алгебраически замкнутым поле, этальные морфизмы - это в точности те, которые индуцируют изоморфизм касательных пространств , что совпадает с обычным понятием этального отображения в дифференциальной геометрии. Этальные морфизмы образуют очень важный класс морфизмов; они используются для создания так называемых этальная топология и, следовательно, этальные когомологии, который в настоящее время является одним из краеугольных камней алгебраической геометрии.
Последовательность Эйлера
Точная последовательность связок:
куда пп - проективное пространство над полем, а последний ненулевой член - это касательная связка, называется Последовательность Эйлера.
эквивариантная теория пересечений
См. Главу II http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F

F-обычный
Относится к Морфизм Фробениуса.[7]
Фано
А Сорт Фано гладкий проективное разнообразие Икс чья антиканоническая связка достаточно.
волокно
Данный между схемами волокно ж над у - это как набор прообраз ; он имеет естественную структуру схемы над поле вычетов из у как волокнистый продукт , куда имеет естественную структуру схемы над Y как Spec поля вычетов у.
волокнистый продукт
1. Еще один термин для "откат"в теории категорий.
2. Стек дан для : объект над B это тройка (Икс, у, ψ), Икс в F(B), у в ЧАС(B), ψ изоморфизм в грамм(B); стрелка из (Икс, у, ψ) на (Икс', у', ψ ') - пара морфизмов такой, что . Получившийся квадрат с очевидными проекциями не ездить; скорее, он коммутирует до естественного изоморфизма; т.е. это 2-коммутируют.
окончательный
Одна из фундаментальных идей Гротендика - подчеркнуть относительный понятиями, т.е. условиями на морфизмы, а не условиями на самих схемах. Категория схем имеет последний объект, спектр кольца целых чисел; так что любая схема является над , причем уникальным образом.
конечный
Морфизм ж : YИкс является конечный если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый аффинно - скажем, формы - и, кроме того конечно порожден как -модуль. Видеть конечный морфизмКонечные морфизмы квазиконечны, но не все морфизмы, имеющие конечные слои, квазиконечны, а морфизмы конечного типа обычно не квазиконечны.
конечный тип (локально)
Морфизм ж : YИкс является локально конечного типа если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый прообраз покрывается аффинными открытыми множествами где каждый конечно порожден как -алгебра. морфизм ж : YИкс является конечного типа если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый прообраз покрывается конечным числом аффинных открытых множеств где каждый конечно порожден как -алгебра.
конечные волокна
Морфизм ж : YИкс имеет конечные волокна если волокно над каждой точкой - конечное множество. Морфизм - это квазиконечный если она конечного типа и имеет конечные слои.
конечное представление
Если у это точка Y, то морфизм ж является конечного представления на у (или же окончательно представлен на у), если существует открытая аффинная окрестность U из f (y) и открытое аффинное соседство V из у такой, что ж(V) ⊆ U и это конечно представленная алгебра над . Морфизм ж является локально конечного представления если он конечно представлен во всех точках Y. Если Икс локально нетерово, то ж локально конечного представления тогда и только тогда, когда оно локально конечного типа.[8]Морфизм ж : YИкс является конечного представления (или же Y конечно представлен над Икс), если он локально конечного представления, квазикомпактен и квазиотделен. Если Икс локально нетерово, то ж имеет конечное представление тогда и только тогда, когда оно имеет конечный тип.[9]
разновидность флага
В разновидность флага параметризует флаг векторных пространств.
плоский
Морфизм является плоский если это приведет к плоская карта на стеблях. При просмотре морфизма ж : YИкс как семейство схем, параметризованных точками , геометрический смысл плоскостности можно грубо описать, сказав, что волокна не меняйте слишком сильно.
формальный
Видеть формальная схема.

грамм

граммрd.
Учитывая кривую C, делитель D на нем и векторное подпространство , говорят, линейная система это грd если V имеет размер р+1 и D имеет степень d. Один говорит C имеет грd если есть такая линейная система.
Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
В Теорема восстановления Габриэля – Розенберга заявляет схему Икс могут быть восстановлены из категории квазикогерентные пучки на Икс.[10] Теорема является отправной точкой для некоммутативная алгебраическая геометрия поскольку, принимая теорему за аксиому, определяя некоммутативная схема сводится к определению на нем категории квазикогерентных пучков. Смотрите также https://mathoverflow.net/q/16257
G-связка
Главное G-расслоение.
общая точка
Плотная точка.
род
Видеть # арифметический род, # геометрический род.
родовая формула
В формула рода для узловой кривой в проективной плоскости говорит, что род кривой задается как
куда d - степень кривой, а δ - количество узлов (нулевое, если кривая гладкая).
геометрический род
В геометрический род гладкого проективного многообразия Икс измерения п является
(где равенство Теорема двойственности Серра.)
геометрическая точка
Простой спектр алгебраически замкнутого поля.
геометрическое свойство
Свойство схемы Икс над полем k является "геометрический"если это так для любого расширения поля .
геометрический фактор
В геометрический фактор схемы Икс с действием групповой схемы грамм хорошее частное, так что слои являются орбитами.
герб
А герб это (грубо) куча которая локально непуста и в которой два объекта локально изоморфны.
Коэффициент GIT
В Коэффициент GIT является когда и когда .
хороший коэффициент
В хороший коэффициент схемы Икс с действием групповой схемы грамм инвариантный морфизм такой, что
Горенштейн
1. А Схема Горенштейна является локально нётеровой схемой, локальные кольца которой Кольца Горенштейна.
2. Нормальное многообразие называется ℚ-горенштейновым, если каноническим дивизором на нем является ℚ-Картье (и не обязательно Коэна – Маколея).
3. Некоторые авторы называют нормальное многообразие Горенштейном, если каноническим дивизором является Картье; обратите внимание, что это использование несовместимо со значением 1.
Теорема Грауэрта – Рименшнайдера об исчезновении
В Теорема Грауэрта – Рименшнайдера об исчезновении расширяет Кодаира теорема об исчезновении к более высоким связкам прямого изображения; смотрите также https://arxiv.org/abs/1404.1827
Кольцо Гротендика разновидностей
В Кольцо Гротендика разновидностей свободная абелева группа, порожденная классами изоморфизма многообразий с соотношением:
куда Z замкнутое подмногообразие многообразия Икс и оснащен функцией умножения
Теорема об исчезновении Гротендика
Теорема об исчезновении Гротендика обеспокоенность локальные когомологии.
групповая схема
А групповая схема схема, множества точек которой имеют структуру группа.
групповое разнообразие
Старый термин для «гладкой» алгебраической группы.

ЧАС

Полином Гильберта
В Полином Гильберта проективной схемы Икс над полем - эйлерова характеристика .
Комплект ходжа
В Комплект ходжа на пространство модулей кривых (фиксированного рода) - это примерно векторное расслоение, слой которого над кривой C это векторное пространство .
гиперэллиптический
Кривая гиперэллиптический если у него есть грамм12 (т.е. существует линейная система размерности 1 и степени 2.)
пучок гиперплоскостей
Другой срок для Скручивающаяся связка Серра . Это двойник пучок тавтологических линий (откуда термин).

я

изображение
Если ж : YИкс любой морфизм схем, схемотехнический образ из ж уникальный закрыто подсхема я : ZИкс который удовлетворяет следующему универсальная собственность:
  1. ж факторы через я,
  2. если j : Z′ → Икс любая замкнутая подсхема Икс такой, что ж факторы через j, тогда я также факторы через j.[11][12]
Это понятие отличается от обычного теоретико-множественного образа ж, ж(Y). Например, нижележащее пространство Z всегда содержит (но не обязательно равно) замыкание Зарисского ж(Y) в Икс, так что если Y любая открытая (а не замкнутая) подсхема Икс и ж - отображение включения, то Z отличается от ж(Y). Когда Y уменьшается, то Z закрытие Зариского ж(Y) со структурой редуцированной замкнутой подсхемы. Но в целом, если только ж квазикомпактно, конструкция Z не является местным на Икс.
погружение
Погружения ж : YИкс являются отображениями, которые пропускаются через изоморфизмы с подсхемами. В частности, открытое погружение факторов через изоморфизм с открытой подсхемой и закрытое погружение факторов через изоморфизм с замкнутой подсхемой.[13] Эквивалентно, ж является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда оно индуцирует гомеоморфизм из основного топологического пространства Y к замкнутому подмножеству основного топологического пространства Икс, а если морфизм сюръективно.[14] Композиция погружений - это снова погружение.[15]Некоторые авторы, такие как Хартсхорн в своей книге Алгебраическая геометрия и Q. Лю в своей книге Алгебраическая геометрия и арифметические кривые, определите иммерсию как составную часть открытого погружения, за которым следует закрытое погружение. Эти погружения являются погружениями в указанном выше смысле, но обратное неверно. Кроме того, согласно этому определению, сочетание двух иммерсий не обязательно является иммерсией. Однако эти два определения эквивалентны, когда ж квазикомпактен.[16]Обратите внимание, что открытое погружение полностью описывается своим образом в смысле топологических пространств, а закрытое - нет: и может быть гомеоморфным, но не изоморфным. Это происходит, например, если я радикал J но J не радикальный идеал. При указании замкнутого подмножества схемы без упоминания структуры схемы обычно так называемый уменьшенный Под структурой схемы подразумевается структура схемы, соответствующая единственному радикальному идеалу, состоящему из всех функций, исчезающих на этом замкнутом подмножестве.
инд-схема
An инд-схема является индуктивным пределом замкнутых погружений схем.
обратимая связка
Локально свободная связка первого ранга. Эквивалентно, это торсор для мультипликативной группы (то есть линейный пакет).
интеграл
Схема, которая одновременно является редуцированной и неприводимой, называется интеграл. Для локально нётеровых схем быть интегральным равносильно тому, чтобы быть связной схемой, которая покрывается спектрами целостные области. (Строго говоря, это не локальное свойство, потому что несвязный союз двух интегральных схем не является целостным. Однако для неприводимых схем это локальное свойство.) Например, схема Spec k[т]/ж, ж неприводимый многочлен является целым, а Спецификация A×B. (А, B ≠ 0) нет.
несводимый
Схема Икс как говорят несводимый когда (как топологическое пространство) это не объединение двух замкнутых подмножеств, кроме случая, когда одно из них равно Икс. Используя соответствие простых идеалов и точек аффинной схемы, это означает Икс неприводимо если только Икс связно, а кольца Aя у всех ровно один минимальный главный идеал. (Поэтому кольца, обладающие ровно одним минимальным первичным идеалом, также называются несводимый.) Любую нётерову схему можно однозначно записать как объединение конечного числа максимальных неприводимых непустых замкнутых подмножеств, называемых ее неприводимые компоненты. Аффинное пространство и проективное пространство неприводимы, а Спецификация k[х, у]/(ху) = Reducible scheme.png не является.

J

Якобиева многообразие
В Якобиева многообразие проективной кривой Икс часть нулевой степени Разновидность пикара .

K

Теорема Кемпфа об исчезновении
В Теорема Кемпфа об исчезновении касается исчезновения высших когомологий многообразия флагов.
klt
Аббревиатура для "терминал журнала кавамата"
Кодаира измерение
1. В Кодаира измерение (также называемый Измерение Иитака) полуобильного линейного расслоения L - размерность Proj сечения кольца L.
2. Измерение Кодаира нормального многообразия. Икс - размерность Кодаира его канонического пучка.
Кодаира теорема об исчезновении
Увидеть Кодаира теорема об исчезновении.
Карта Кураниши
Видеть Структура Кураниши.

L

Номер Лелонга
Видеть Номер Лелонга.
структура уровней
видеть http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf
линеаризация
Другой термин для структуры эквивариантный пучок/ векторный пакет.
местный
Наиболее важные свойства схем: местный по своей природе, т.е. схема Икс имеет определенное свойство п если и только если для любого покрытия Икс по открытым подсхемам Икся, т.е. Икс= Икся, каждый Икся имеет свойство п. Обычно бывает достаточно проверить одну крышку, а не все возможные. Еще говорят, что определенное свойство Зарисский-местный, если нужно различать Топология Зарисского и другие возможные топологии, такие как этальная топология.Рассмотрим схему Икс и покрытие аффинными открытыми подсхемами Спецификация Aя. Использование словаря между (коммутативные) кольца и аффинные схемы локальные свойства, таким образом, являются свойствами колец Ая. Недвижимость п является локальным в указанном выше смысле, если и только если соответствующее свойство колец устойчиво относительно локализация.Например, можно говорить о местно нётерский схем, а именно тех, которые покрываются спектрами Нётерские кольца. Тот факт, что локализации нётерового кольца все еще нётеровы, означает, что свойство схемы быть локально нётеровым является локальным в указанном выше смысле (отсюда и название). Другой пример: если кольцо уменьшенный (т.е. не имеет ненулевого нильпотентный элементов), то и его локализации. Примером нелокального свойства является отделенность (определение см. ниже). Любая аффинная схема отделена, поэтому любая схема отделена локально. Однако аффинные части могут патологически склеиваться вместе, давая неразрывную схему. Ниже приводится (не исчерпывающий) список локальных свойств колец, которые применяются к схемам. Позволять Икс = Спецификация Aя - покрытие схемы открытыми аффинными подсхемами. Пусть для определенности k обозначить поле В следующих. Большинство примеров также работают с целыми числами Z в качестве основы или даже более общих базисов: связная, неприводимая, редуцированная, интегральная, нормальная, регулярная, Коэна-Маколея, локально нётерова, размерность, цепная связь,
локальное полное пересечение
Местные кольца полные кольца пересечения. Смотрите также: регулярное вложение.
местная униформизация
В местная униформизация это метод построения более слабой формы разрешение особенностей посредством оценочные кольца.
локально факториал
Местные кольца уникальные домены факторизации.
локально конечного типа
Морфизм ж : YИкс является локально конечного типа если могут быть покрыты аффинными открытыми множествами так что каждый прообраз покрывается аффинными открытыми множествами где каждый конечно порожден как -алгебра.
местно нётерский
В Ая находятся Нётерян кольца. Если, кроме того, конечное число таких аффинных спектров покрывает Икс, схема называется нётерский. Хотя это правда, что спектр нётеровского кольца нетерово топологическое пространствообратное неверно. Например, большинство схем в конечномерной алгебраической геометрии локально нётеровы, но не является.
логарифмическая геометрия
бревенчатая структура
Видеть бревенчатая структура. Эта идея принадлежит Фонтен-Иллюзи и Като.
группа петель
Видеть группа петель (связанная статья не обсуждает группу петель в алгебраической геометрии; см. инд-схема).

M

модули
См. Например пространство модулей.
В то время как большая часть ранних работ по модулям, особенно после [Mum65], делала акцент на построении тонких или грубых пространств модулей, в последнее время акцент сместился на изучение семейств многообразий, то есть на функторы модулей и стеки модулей. Основная задача - понять, какие предметы образуют «красивые» семьи. Как только будет установлена ​​хорошая концепция «хороших семейств», существование грубого пространства модулей должно быть почти автоматическим. Грубое пространство модулей больше не является фундаментальным объектом, скорее это всего лишь удобный способ отслеживать определенную информацию, которая скрыта только в функторе модулей или стеке модулей.

Коллар, Янош, Глава 1, "Книга по модулям поверхностей".

Программа минимальных моделей Мори
В программа минимальной модели это исследовательская программа стремясь сделать бирациональная классификация алгебраических многообразий размерности больше 2.
морфизм
1. А морфизм алгебраических многообразий задается локально полиномами.
2. А морфизм схем это морфизм локально окольцованные пространства.
3. Морфизм стеков (скажем, над категорией S-схемы) - функтор такой, что куда - это структуры, отображаемые в базовую категорию.

N

неф
Видеть пакет nef line.
неособый
Архаичный термин для «гладкого», как в гладкий сорт.
нормальный
1. Интегральная схема называется нормальный, если локальные кольца целозамкнутые области. Например, все регулярные схемы нормальны, а особые кривые - нет.
2. Плавная кривая как говорят k-нормально, если гиперповерхности степени k вырезать полную линейную серию . это проективно нормальный если это k-нормально для всех k > 0. Таким образом, говорят, что «кривая проективно нормальна, если линейная система, которая ее вкладывает, является полной». Термин «линейно нормальный» является синонимом 1-нормального.
3. Замкнутое подмногообразие. называется проективно нормальным, если аффинное покрытие над Икс это нормальная схема; т.е. однородное координатное кольцо Икс является целозамкнутой областью. Это значение соответствует значению 2.
нормальный
1. Если Икс замкнутая подсхема схемы Y с идеальной связкой я, то нормальная связка к Икс является . Если встраивание Икс в Y является обычный, он локально бесплатный и называется нормальный комплект.
2. Программа нормальный конус к Икс является . если Икс регулярно встраивается в Y, то нормальный конус изоморфен , полное пространство нормального расслоения до Икс.
нормальные переходы
Видеть нормальные переходы.
нормально генерируется
Линейный пакет L на разнообразии Икс как говорят нормально генерируется если для каждого целого числа п > 0, естественное отображение сюръективно.

О

открыто
1. Морфизм ж : YИкс схем называется открыто (закрыто), если основная карта топологических пространств открыто (соответственно замкнутые), т.е. если открытые подсхемы Y отображаются на открытые подсхемы Икс (и аналогично для закрытых). Например, конечно определенные плоские морфизмы открыты, а собственные отображения закрыты.
2. An открытая подсхема схемы Икс открытое подмножество U со структурной связкой .[14]
орбифолд
В настоящее время орбифолд часто определяется как Стек Делин-Мамфорд над категорией дифференцируемых многообразий.[17]

п

п-делимая группа
Видеть п-делимая группа (примерно аналог точек кручения абелевого многообразия).
карандаш
Линейная система размерности один.
Группа Пикард
В Группа Пикард из Икс - группа классов изоморфизма линейных расслоений на Икс, умножение тензорное произведение.
Плюккеровское вложение
В Плюккеровское вложение это закрытое вложение из Грассманово многообразие в проективное пространство.
plurigenus
В п-го Plurigenus гладкого проективного многообразия . Смотрите также Номер Ходжа.
Карта вычетов Пуанкаре
Видеть Остаток Пуанкаре.
точка
Схема это локально окольцованное пространство, так a fortiori а топологическое пространство, но значения точка бывают тройными:
  1. точка основного топологического пространства;
  2. а -оценочная точка это морфизм из к , для любой схемы ;
  3. а геометрическая точка, куда определен над (снабжен морфизмом) , куда это поле, это морфизм из к куда является алгебраическое замыкание из .
Геометрические точки - это то, что в самых классических случаях, например алгебраические многообразия которые комплексные многообразия, были бы точками в обычном смысле. Точки нижележащего пространства включают аналоги общие точки (в смысле Зарисский, а не Андре Вайль), которые специализируются на точках в обычном смысле. В -значные точки рассматриваются через Лемма Йонеды, как способ идентификации с представимый функтор он настраивает.Исторически существовал процесс, посредством которого проективная геометрия добавил больше очков (например сложные точки, линия на бесконечности), чтобы упростить геометрию за счет уточнения основных объектов. В -оцененные точки были значительным дальнейшим шагом. Подход Гротендика, есть три соответствующих понятия волокно морфизма: первый - простой обратное изображение точки. Два других формируются путем создания продукты из волокна двух морфизмов. Например, геометрическое волокно морфизма считается
.
Это делает расширение от аффинные схемы, где это просто тензорное произведение R-алгебр, ко всем схемам работы волокнистого изделия значимый (если технически анодный) результат.
поляризация
вложение в проективное пространство
Проект
Видеть Строительство проекта.
формула проекции
В формула проекции говорит, что для морфизма схем, -модуль и локально бесплатно -модуль конечного ранга существует естественный изоморфизм
(короче, линейна относительно действия локально свободных пучков.)
проективный
1. А проективное разнообразие является замкнутым подмногообразием проективного пространства.
2. А проективная схема по схеме S является S-схема, которая проходит через некоторое проективное пространство как закрытая подсхема.
3. Проективные морфизмы определяются аналогично аффинным морфизмам: ж : YИкс называется проективный если это учитывается как закрытое погружение с последующей проекцией проективное пространство к .[18] Обратите внимание, что это определение является более строгим, чем определение EGA, II.5.5.2. Последнее определяет быть проективным, если он задается Глобальный Проект квазикогерентного градуированного ОИкс-Алгебра такой, что конечно порождена и порождает алгебру . Оба определения совпадают, когда является аффинным или, в более общем смысле, если он квазикомпактен, разделен и допускает обильный пучок,[19] например если является открытой подсхемой проективного пространства над кольцом .
проективный пучок
Если E является локально свободным пучком на схеме Икс, то проективный пучок п(E) из E это глобальный проект симметрической алгебры двойственного к E:
Обратите внимание, что это определение является стандартным в настоящее время (например, определение Фултона Теория пересечения), но отличается от EGA и Hartshorne (они не берут дуал).
проективно нормальный
Видеть #нормальный.
правильный
Морфизм - это правильный если он разделен, универсально закрытый (т.е. такие, что послойные произведения с ним являются замкнутыми отображениями) и конечного типа. Проективные морфизмы собственные; но обратное в целом неверно. Смотрите также полное разнообразие. Глубоким свойством собственных морфизмов является существование Факторизация Штейна, а именно существование промежуточной схемы такой, что морфизм может быть выражен как схема со связными слоями, за которыми следует конечный морфизм.
свойство P
Позволять п - свойство схемы, устойчивое к замене базы (конечного типа, собственное, гладкое, этальное и т. д.). Тогда представимый морфизм говорят, что имеет собственность п если для любого с B схема, изменение базы имеет собственность п.
чистое измерение
Схема имеет чистую размерность d если каждая неприводимая компонента имеет размерность d.

Q

квазикогерентный
Квазикогерентный пучок по схеме Нётейрана Икс это пучок ОИкс-модули который локально задается модулями.
квазикомпактный
Морфизм ж : YИкс называется квазикомпактный, если для некоторого (эквивалентно: любого) открытого аффинного покрытия Икс некоторыми Uя = Спецификация Bя, прообразы ж−1(Uя) находятся квазикомпактный.
квазиконечный
Морфизм ж : YИкс имеет конечные волокна если волокно над каждой точкой - конечное множество. Морфизм - это квазиконечный если она конечного типа и имеет конечные слои.
квазипроективный
А квазипроективное многообразие является локально замкнутым подмногообразием проективного пространства.
квазиотделенный
Морфизм ж : YИкс называется квазиотделенный или же (Y квази разделен на Икс), если диагональный морфизм YY ×ИксY квазикомпактен. Схема Y называется квазиотделенный если Y квази разделен над Spec (Z).[20]
Схема котировки
А Схема котировки параметризует факторы локально свободных пучков на проективной схеме.
стек частных
Обычно обозначается [Икс/грамм], а стек частных обобщает фактор схемы или разновидности.

р

рациональный
1. Над алгебраически замкнутым полем многообразие рациональный если оно бирационально проективному пространству. Например, рациональные кривые и рациональные поверхности эти бирациональные .
2. Учитывая поле k и относительная схема ИксS, а k-рациональная точка из Икс является S-морфизм .
рациональная функция
Элемент в функциональное поле где предел пробегает все кольца координат открытых подмножеств U (неприводимого) алгебраического многообразия Икс. Смотрите также функциональное поле (теория схем).
рациональная нормальная кривая
А рациональная нормальная кривая это изображение
.
Если d = 3, его еще называют витая кубическая.
рациональные особенности
Разнообразие Икс над полем нулевой характеристики имеет рациональные особенности если есть разрешение особенностей такой, что и .
уменьшенный
1. Коммутативное кольцо. является уменьшенный если в нем нет ненулевых нильпотентных элементов, т.е. его нильрадикал является нулевым идеалом, . Эквивалентно, уменьшается, если это сокращенная схема.
2. Схема X сокращается, если ее стебли редуцированные кольца. Эквивалентно X уменьшается, если для каждого открытого подмножества , является редуцированным кольцом, т. е. не имеет ненулевых нильпотентных участков.
возвратная связка
Связный пучок рефлексивный если каноническое отображение во второй двойственный является изоморфизмом.
обычный
А обычная схема схема, в которой локальные кольца регулярные местные кольца. Например, гладкие сорта над полем регулярны, аSpec k[х, у]/(Икс2+Икс3-у2)=Необычная схема thumb.png не является.
регулярное вложение
А закрытое погружение это регулярное вложение если каждая точка Икс имеет аффинную окрестность в Y так что идеал Икс порождается регулярная последовательность. Если я является регулярным вложением, то конормальный пучок из я, то есть, когда идеальный пучок Икс, является локально бесплатным.
обычная функция
А морфизм от алгебраического многообразия к аффинная линия.
представимый морфизм
Морфизм стеков таких, что для любого морфизма из схемы B, изменение базы является алгебраическим пространством. Если заменить «алгебраическое пространство» на «схему», то оно называется сильно представимым.
разрешение особенностей
А разрешение особенностей схемы Икс это правильный бирациональный морфизм такой, что Z является гладкий.
Формула Римана – Гурвица
Учитывая конечный сепарабельный морфизм между гладкими проективными кривыми, если является аккуратно разветвленный (без дикого ветвления); например, над полем характеристики нуль, то Формула Римана – Гурвица связывает степень π, роды Икс, Y и индексы ветвления:
.
В настоящее время формула рассматривается как следствие более общей формулы (которая верна, даже если π не является ручным):
куда означает линейная эквивалентность и является делителем относительного кокасательного пучка (называется разные).
Формула Римана – Роха
1. Если L является линейным расслоением степени d на гладкой проективной кривой рода грамм, то Формула Римана – Роха вычисляет Эйлерова характеристика из L:
.
Например, из формулы следует степень канонического дивизора K 2грамм - 2.
2. Общая версия принадлежит Гротендику и называется Формула Гротендика – Римана – Роха. Он говорит: если собственный морфизм с гладкой Икс, S и если E является векторным расслоением на Икс, то как равенство в рациональном Группа чау
куда , означает Черн персонаж и а Тодд класс касательного расслоения пространства, а по комплексным числам является интеграция вдоль волокон. Например, если база S это точка, Икс гладкая кривая рода грамм и E это линейный пакет L, то левая часть сводится к эйлеровой характеристике, а правая часть равна
жесткий
Каждый бесконечно малая деформация тривиально. Например, проективное пространство жесткий, поскольку (и используя Карта Кодаира – Спенсер).
затвердеть
Эвристический термин, примерно эквивалентный «убивающим автоморфизмам». Например, можно сказать: «Мы вводим структуры уровней, чтобы сделать геометрическую ситуацию жесткой».

S

По собственному мнению Гротендика, не должно быть почти никакой истории схем, а только история сопротивления им: ... Нет серьезного исторического вопроса о том, как Гротендик нашел свое определение схем. Это было в воздухе. Серр хорошо сказал, что никто не изобретал схем (разговор 1995 г.). Вопрос в том, что заставило Гротендика поверить в то, что он должен использовать это определение, чтобы упростить 80-страничный документ Серра примерно до 1000 страниц. Éléments de géométrie algébrique?

[1]

схема
А схема это локально окольцованное пространство это локально простой спектр из коммутативное кольцо.
Шуберт
1. А Ячейка Шуберта это B-орбита на грассманиане куда B стандартный Борел; т.е. группа верхнетреугольных матриц.
2. А Сорт Шуберта является замыканием ячейки Шуберта.
секущая разновидность
В секущая разновидность к проективному многообразию является замыканием объединения всех секущих на V в .
секционное кольцо
В секционное кольцо или кольцо участков линейного пучка L по схеме Икс это градуированное кольцо .
Условия Серра Sп
Видеть Условия Серра о нормальности. Смотрите также https://mathoverflow.net/q/22228
Двойственность Серра
Видеть #dualizing связка
отделенный
А разделенный морфизм это морфизм так что волокнистый продукт из с собой вместе имеет свой диагональ как замкнутая подсхема - другими словами, диагональный морфизм это закрытое погружение.
связка, порожденная глобальными секциями
Сноп с набором глобальных секций, которые охватывают ножку снопа в каждой точке. Видеть Связка, созданная глобальными секциями.
просто
Термин «простая точка» - это старый термин для обозначения «гладкой точки».
гладкий
1.  

Многомерным аналогом этальных морфизмов являются гладкие морфизмы. Есть много разных характеристик плавности. Следующие эквивалентные определения гладкости морфизма ж : YИкс:

1) для любого уY, есть открытые аффинные окрестности V и U из у, Икс=ж(у) соответственно такие, что ограничение ж к V факторов как этальный морфизм с последующей проекцией аффинный п-Космос над U.
2) ж плоский, локально конечного представления и для каждой геометрической точки из Y (морфизм из спектра алгебраически замкнутого поля к Y) геометрический слой гладкий п-размерное разнообразие более в смысле классической алгебраической геометрии.
2. А гладкая схема над идеальным полем k это схема Икс локально конечного типа и обычный над k.
3. Гладкая схема над полем. k это схема Икс геометрически гладкий: гладко.
специальный
Делитель D на плавной кривой C является специальный если , который называется индексом специальности, положительный.
сферическое разнообразие
А сферическое разнообразие это нормальный грамм-разнообразие (грамм связно редуктивной) с открытой плотной орбитой борелевской подгруппой группы грамм.
стабильный
1. А стабильная кривая кривая с некоторой "мягкой" особенностью, используемая для построения хорошего поведения пространство модулей кривых.
2. А стабильное векторное расслоение используется для построения пространство модулей векторных расслоений.
куча
А куча параметризует множества точек вместе с автоморфизмами.
строгое преобразование
Учитывая взрыв по замкнутой подсхеме Z и морфизм , то строгое преобразование из Y (также называемое собственным преобразованием) - это раздутие из Y по замкнутой подсхеме . Если ж замкнутое погружение, то индуцированное отображение также закрытое погружение.
подсхема
А подсхема, без квалификатора, из Икс является замкнутой подсхемой открытой подсхемы Икс.
поверхность
Алгебраическое многообразие размерности два.
симметричное разнообразие
Аналог симметричное пространство. Видеть симметричное разнообразие.

Т

касательное пространство
Видеть Касательное пространство Зарисского.
пучок тавтологических линий
В пучок тавтологических линий проективной схемы Икс является двойником Скручивающаяся связка Серра ; то есть, .
теорема
Видеть Основная теорема Зарисского, теорема о формальных функциях, теорема об изменении базы когомологий, Категория: Теоремы алгебраической геометрии.
вложение тора
Старый термин для торическое разнообразие
торическое разнообразие
А торическое разнообразие - нормальное многообразие с действием тора, у которого есть открытая плотная орбита.
тропическая геометрия
Разновидность кусочно-линейной алгебраической геометрии. Видеть тропическая геометрия.
тор
А расщепленный тор является продуктом конечного числа мультипликативные группы .

U

универсальный
1. Если функтор модулей F представлен некоторой схемой или алгебраическим пространством M, затем универсальный объект является элементом F(M), что соответствует тождественному морфизму MM (что является M-точка M). Если значения F являются классами изоморфизма кривых с дополнительной структурой, скажем, тогда универсальный объект называется универсальная кривая. А тавтологический пучок будет еще одним примером универсального объекта.
2. Пусть - модули гладких проективных кривых рода грамм и гладких проективных кривых рода грамм с одиночными отмеченными точками. В литературе забывшая карта
часто называют универсальной кривой.
повсеместно
Морфизм обладает некоторым свойством универсально, если все базовые изменения морфизма обладают этим свойством. Примеры включают универсальная цепочка, универсально инъективный.
неразветвленный
Для точки в рассмотрим соответствующий морфизм локальных колец
.
Позволять быть максимальным идеалом , и разреши
быть идеалом, порожденным образом в . Морфизм является неразветвленный (соотв. G-неразветвленный), если он локально конечного типа (соответственно, локально конечного представления) и если для всех в , максимальный идеал и индуцированное отображение
это конечный разделимое расширение поля.[21] Это геометрическая версия (и обобщение) неразветвленное расширение поля в алгебраическая теория чисел.

V

разнообразие
синоним «алгебраического многообразия».
очень обильный
Линейный пакет L на разнообразии Икс является очень обильный если Икс можно вложить в проективное пространство так, чтобы L ограничение скручивающего пучка Серра О(1) на проективном пространстве.

W

слабо нормальный
схема является слабо нормальной, если любой ее конечный бирациональный морфизм является изоморфизмом.
Дивизор Вейля
Другой, но более стандартный термин для «цикла коразмерности один»; видеть делитель.
Вейль взаимность
Видеть Вейль взаимность.

Z

Пространство Зарисского – Римана
А Пространство Зарисского – Римана является локально окольцованным пространством, точками которого являются кольца нормирования.

Примечания

  1. ^ Доказательство: Пусть D дивизор Вейля на Икс. Если D ' ~ D, то существует ненулевая рациональная функция ж на Икс такой, что D + (ж) = D ' а потом ж это раздел ОИкс(D) если D ' эффективен. Противоположное направление похоже. □
  2. ^ Ален, Конн (18 сентября 2015 г.). «Очерк гипотезы Римана». arXiv:1509.05576.
  3. ^ Дейтмар, Антон (16 мая 2006 г.). «Замечания о дзета-функциях и K-теории над F1». arXiv:математика / 0605429.
  4. ^ Флорес, Джарет (2015-03-08). "Гомологическая алгебра коммутативных моноидов". arXiv:1503.02309.
  5. ^ Дуров, Николай (16.04.2007). «Новый подход к геометрии Аракелова». arXiv:0704.2030.
  6. ^ Гротендик и Дьедонне 1960, 4.1.2 и 4.1.3
  7. ^ Смит, Карен Э .; Чжан, Вэньлян (03.09.2014). «Расщепление Фробениуса в коммутативной алгебре». arXiv:1409.1169.
  8. ^ Гротендик и Дьедонне 1964, §1.4
  9. ^ Гротендик и Дьедонне 1964, §1.6
  10. ^ Бранденбург, Мартин (07.10.2014). «Тензорно-категориальные основы алгебраической геометрии». arXiv:1410.1716.
  11. ^ Хартсхорн 1977, Упражнение II.3.11 (d)
  12. ^ The Stacks Project, Глава 21, §4.
  13. ^ Гротендик и Дьедонне 1960, 4.2.1
  14. ^ а б Хартсхорн 1977, §II.3
  15. ^ Гротендик и Дьедонне 1960, 4.2.5
  16. ^ Q. Лю, Алгебраическая геометрия и арифметические кривые, упражнение 2.3
  17. ^ Харада, Мегуми; Крепски, Дерек (02.02.2013). «Глобальные частные среди торических стеков Делиня-Мамфорда». arXiv:1302.0385.
  18. ^ Хартсхорн 1977, II.4
  19. ^ EGA, II.5.5.4 (ii).
  20. ^ Гротендик и Дьедонне 1964, 1.2.1
  21. ^ Понятие G-неразветвленный - это то, что в EGA называется «неразветвленным», но мы следуем определению «неразветвленного», данному Рейно, так что закрытые погружения неразветвлены. Видеть Тег 02G4 в проекте Stacks Больше подробностей.

Рекомендации

Смотрите также