WikiDer > Орбифолд

Orbifold
Не стоит винить меня за эту терминологию. Он был получен путем демократического процесса в моем курсе 1976–1977 годов. Орбифолд - это нечто со множеством складок; К сожалению, слово «многообразие» уже имеет другое определение. Я попробовал «фолдамани», который был быстро вытеснен предложением «разветвленного». После двух месяцев терпеливых слов «нет, не коллектор, коллектор»мертвых, "мы провели голосование, и" орбифолд "победил.

Терстон (1980, раздел 13.2) объясняя происхождение слова "орбифолд"

В математических дисциплинах топология и геометрия, орбифолд (для "орбитального многообразия") является обобщением многообразие. Грубо говоря, орбифолд - это топологическое пространство который является локально конечным групповым фактором евклидова пространства.

Определения орбифолда давались несколько раз: Ичиро Сатаке в контексте автоморфные формы в 1950-х под названием V-образный коллектор;[1] к Уильям Терстон в контексте геометрии 3-х коллекторы в 1970-х[2] когда он придумал название орбифолдпосле голосования его учеников; и по Андре Хефлигер в 80-е годы в контексте Михаил Громовпрограмма на CAT (k) пробелы под именем орбигедр.[3]

Исторически орбифолды возникли первыми как поверхности с особые точки задолго до того, как они были официально определены.[4] Один из первых классических примеров возник в теории модульные формы[5] с действием модульная группа на верхняя полуплоскость: версия Теорема Римана – Роха выполняется после того, как фактор компактифицирован добавлением двух орбифолдных точек возврата. В 3-х коллекторный теория, теория Расслоения Зейферта, по инициативе Герберт Зайферт, можно выразить в терминах двумерных орбифолдов.[6] В геометрическая теория группПосле Громова дискретные группы изучаются в терминах свойств локальной кривизны орбигедров и их покрывающих пространств.[7]

В теория струн, слово "орбифолд" имеет немного другое значение,[8] подробно обсуждается ниже. В двумерная конформная теория поля, это относится к теории, связанной с подалгеброй неподвижных точек вершинная алгебра под действием конечной группы автоморфизмы.

Основной пример основного пространства - фактор-пространство многообразия под правильно прерывистый действие возможно бесконечного группа из диффеоморфизмы с конечным подгруппы изотропии.[9] В частности, это относится к любому действию конечная группа; таким образом многообразие с краем обладает естественной орбифолдной структурой, поскольку является частным своего двойной действием .

Одно топологическое пространство может нести разные орбифолдные структуры. Например, рассмотрим орбифолд О связан с факторпространством 2-сферы вдоль вращения ; это гомеоморфный к 2-сфере, но естественная структура орбифолда иная. Можно адаптировать большинство характеристик многообразий к орбифолдам, и эти характеристики обычно отличаются от соответствующих характеристик основного пространства. В приведенном выше примере орбифолд фундаментальная группа из О является и это орбифолд Эйлерова характеристика равно 1.

Формальные определения

Как и коллектор, орбифолд определяется местными условиями; однако вместо того, чтобы моделироваться на местном уровне открытые подмножества из , орбифолд локально моделируется на частных открытых подмножеств действиями конечной группы. Структура орбифолда кодирует не только структуру базового фактор-пространства, которое не обязательно должно быть многообразием, но также структуру подгруппы изотропии.

An п-размерный орбифолд это Хаусдорфово топологическое пространство Икс, называется нижележащее пространство, с покрытием набором открытых множеств , замкнутая относительно конечного пересечения. Для каждого , есть

  • открытое подмножество из , инвариантный относительно верный линейное действие конечной группы ;
  • непрерывная карта из на инвариантен относительно , называется орбифолд диаграмма, который определяет гомеоморфизм между и .

Набор орбифолдных карт называется орбифолд атлас если выполняются следующие свойства:

  • для каждого включения Uя Uj существует инъективный групповой гомоморфизм жij : Γя Γj
  • для каждого включения Uя Uj существует Γя -эквивариантный гомеоморфизм ψij, называется склейка карты, из Vя на открытое подмножество Vj
  • карты склейки совместимы с картами, т.е. φj·ψij = φя
  • карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любые другие возможные карты склейки из Vя к Vj имеет форму грамм·ψij для уникального грамм в Γj

Атлас орбифолда определяет орбифолд структура полностью: два орбифолдных атласа Икс дают ту же орбифолдную структуру, если их можно последовательно комбинировать для получения более крупного орбифолдного атласа. Обратите внимание, что структура орбифолда определяет подгруппу изотропии любой точки орбифолда с точностью до изоморфизма: ее можно вычислить как стабилизатор точки в любой карте орбифолда. Если Uя Uj Uk, то существует единственный переходный элемент граммijk в Γk такой, что

граммijk·ψik = ψjk·ψij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Объявление граммijkжik = жjk·жij

так же хорошо как коциклическое отношение (гарантируя ассоциативность)

жкм(граммijkграммikm = граммijm·граммjkm.

В более общем смысле, к открытому покрытию орбифолда диаграммами орбифолда прилагаются комбинаторные данные так называемого комплекс групп (Смотри ниже).

Точно так же, как и в случае многообразий, можно наложить условия дифференцируемости на склейки отображений, чтобы дать определение дифференцируемый орбифолд. Это будет Риманов орбифолд если дополнительно есть инвариант Римановы метрики на орбифолдных картах и ​​картах склейки изометрии.

Определение с использованием группоидов

А группоид состоит из набора предметов , набор стрелок , и структурные карты, включая исходную и целевую карты и другие карты, позволяющие составлять и инвертировать стрелки. Это называется Ложь группоид если оба и являются гладкими многообразиями, все структурные карты гладкие, а исходная и целевая карты являются субмерсиями. Это называется правильный если карта это правильная карта. Это называется эталь если и исходная, и целевая карты являются локальными диффеоморфизмами. An орбифолдный группоид является собственным этальным группоидом Ли.

Ассоциирован с орбифолдным группоидом есть нижележащее пространство орбиты . Орбифолдная структура на топологическом пространстве состоит из орбифолдного группоида и гомеоморфизм . С другой стороны, для орбифолда с атласом можно построить группоид орбифолда, который не зависит от выбора атласа с точностью до Эквивалентность Морита.

Понятие орбифолдных группоидов особенно эффективно при обсуждении неэффективных орбифолдов и отображений между орбифолдами. Например, карта между орбифолдами может быть описана гомоморфизмом между группоидами, который несет больше информации, чем лежащая в основе непрерывная карта между лежащими в основе топологическими пространствами.

Примеры

  • Любое многообразие без края тривиально является орбифолдом. Каждая из групп Γя это тривиальная группа.
  • Если N компактное многообразие с краем, его двойной M можно сформировать, склеив копию N и его зеркальное отображение вдоль их общей границы. Есть естественный отражение действие Z2 на коллекторе M фиксация общей границы; факторпространство можно отождествить с N, так что N имеет естественную орбифолдную структуру.
  • Если M риманов п-многообразие с компактный правильный изометрическое действие дискретной группы Γ, то пространство орбит Икс = M/ Γ имеет естественную орбифолдную структуру: для каждого Икс в Икс взять представителя м в M и открытый район Vм из м инвариантный относительно стабилизатора Γм, отождествляемым эквивариантно с Γм-подмножество ТмM под экспоненциальным отображением в м; конечное число районов покрывают Икс и каждое их конечное пересечение, если оно не пусто, покрывается пересечением Γ-трансляций граммм·Vм с соответствующей группой граммм Γ граммм−1. Возникающие таким образом орбифолды называются развивающийся или же хороший.
  • Классическая теорема Анри Пуанкаре конструкции Фуксовы группы как гиперболический группы отражения порожденные отражениями в ребрах геодезического треугольника в гиперболическая плоскость для Метрика Пуанкаре. Если у треугольника есть углы π/пя для положительных целых чисел пя, треугольник фундаментальная область и, естественно, двумерное орбифолд. Соответствующая группа является примером гиперболического группа треугольников. Пуанкаре также дал трехмерную версию этого результата для Клейнианские группы: в этом случае клейнова группа Γ порождается гиперболическими отражениями, а орбифолд является ЧАС3 / Γ.
  • Если M является замкнутым двумерным многообразием, новые орбифолды могут быть определены на Mi путем удаления конечного числа непересекающихся замкнутых дисков из M и приклеивание копий дисков D/ Γя куда D закрытый единичный диск и Γя конечная циклическая группа вращений. Это обобщает конструкцию Пуанкаре.

Орбифолд фундаментальная группа

Есть несколько способов определить орбифолдная фундаментальная группа. Более сложные подходы используют орбифолд покрытия пространства или же классификация пространств из группоиды. Простейший подход (принятый Хефлигером и известный также Терстону) расширяет обычное понятие петля используется в стандартном определении фундаментальная группа.

An орбифолдный путь - это путь в нижележащем пространстве, снабженный явным кусочным подъемом сегментов пути до орбифолдных диаграмм и явными групповыми элементами, идентифицирующими пути в перекрывающихся диаграммах; если основной путь представляет собой цикл, он называется орбифолд петля. Два орбифолдных пути идентифицируются, если они связаны посредством умножения на элементы группы в орбифолдных диаграммах. Фундаментальная группа орбифолда - это группа, образованная гомотопические классы петель орбифолда.

Если орбифолд возникает как частное от односвязный многообразие M собственным жестким действием дискретной группы Γ фундаментальная группа орбифолда может быть отождествлена ​​с Γ. В общем, это расширение Γ по π1 M.

Орбифолд называется развивающийся или же хороший если он возникает как частное по групповому действию; иначе это называется Плохо. А универсальное покрытие орбифолд можно построить для орбифолда по прямой аналогии с построением универсальное перекрытие топологического пространства, а именно как пространство пар, состоящих из точек орбифолда и гомотопических классов орбифолдных путей, соединяющих их с базовой точкой. Это пространство естественно орбифолд.

Обратите внимание, что если диаграмма орбифолда на стягиваемый открытое подмножество соответствует группе Γ, то существует естественное локальный гомоморфизм группы Γ в фундаментальную группу орбифолда.

Фактически следующие условия эквивалентны:

  • Орбифолд может развиваться.
  • Структура орбифолда на универсальном накрывающем орбифолде тривиальна.
  • Все локальные гомоморфизмы инъективны для покрытия стягиваемыми открытыми множествами.

Orbispaces

Для приложений в геометрическая теория групп, благодаря Хефлигеру часто бывает удобно иметь несколько более общее понятие орбифолда. An orbispace для топологических пространств то же самое, что орбифолд для многообразий. Орбипространство - это топологическое обобщение концепции орбифолда. Он определяется заменой модели для диаграмм орбифолда на локально компактный пространство с жесткий действие конечной группы, т. е. такой, для которой точки с тривиальной изотропией плотны. (Это условие автоматически выполняется точными линейными действиями, потому что точки, фиксированные любым нетривиальным элементом группы, образуют собственное линейное подпространство.) Также полезно учесть метрическое пространство структуры на орбитальном пространстве, заданные инвариантом метрики на диаграммах орбитального пространства, для которых карты склейки сохраняют расстояние. В этом случае обычно требуется, чтобы каждая диаграмма орбитального пространства была длина пространства с уникальным геодезические соединяя любые две точки.

Позволять Икс быть орбитальным пространством, наделенным структурой метрического пространства, для которого карты являются пространствами геодезической длины. Предыдущие определения и результаты для орбифолдов можно обобщить, чтобы дать определения фундаментальная группа орбитального пространства и универсальное покрытие orbispace, с аналогичными критериями развиваемости. Функции расстояния на диаграммах orbispace могут использоваться для определения длины пути orbispace в универсальном покрывающем orbispace. Если функция расстояния на каждой диаграмме неположительно изогнутый, то Аргумент сокращения кривой Биркгофа может использоваться для доказательства того, что любой орбитальный путь с фиксированными конечными точками гомотопен уникальной геодезической. Применяя это к постоянным путям в карте орбитального пространства, следует, что каждый локальный гомоморфизм инъективен и, следовательно,:

  • любое неположительно искривленное орбипространство может развиваться (т.е. хороший).

Комплексы групп

С каждым орбифолдом связана дополнительная комбинаторная структура, заданная комплекс групп.

Определение

А комплекс групп (Y,ж,грамм) на абстрактный симплициальный комплекс Y дан кем-то

  • конечная группа Γσ для каждого симплекса σ Y
  • инъективный гомоморфизм жστ : Γτ Γσ всякий раз, когда σ τ
  • для каждого включения ρ σ τ, групповой элемент граммρστ в Γρ такое, что (Ad граммρστжρτ = жρσ·жστ (здесь Ad обозначает сопряженное действие по спряжению)

Кроме того, элементы группы должны удовлетворять условию коцикла

жπρ(граммρστ) граммπρτ = граммπστ граммπρσ

для каждой цепочки симплексов (Это условие бессмысленно, если Y имеет размерность 2 или меньше.)

Любой выбор элементов часστ в Γσ дает эквивалент комплекс групп путем определения

  • f 'στ = (Ad часστжστ
  • грамм'ρστ = часρσ·жρσ(часστграммρστ·часρτ−1

Комплекс групп называется просто в любое время граммρστ = 1 везде.

  • Несложное индуктивное рассуждение показывает, что любой комплекс групп на симплекс эквивалентен комплексу групп с граммρστ = 1 везде.

Часто удобнее и концептуально привлекательнее перейти к барицентрическое подразделение из Y. Вершины этого подразделения соответствуют симплексам Y, так что к каждой вершине прикреплена группа. Ребра барицентрического подразделения естественно ориентированы (соответствуют включениям симплексов), и каждое направленное ребро дает включение групп. К каждому треугольнику прикреплен переходный элемент, принадлежащий группе ровно одной вершины; а тетраэдры, если они есть, задают коциклические соотношения для переходных элементов. Таким образом, комплекс групп включает только 3-скелет барицентрического подразделения; и только 2-скелетный, если он простой.

Пример

Если Икс является орбифолдом (или орбифолдом), выберите покрытие открытыми подмножествами среди карт орбифолда жя: Vя Uя. Позволять Y - абстрактный симплициальный комплекс, задаваемый нерв покрытия: его вершины - это множества покрытия и его п-симплексы соответствуют непустой перекрестки Uα = Uя1 ··· Uяп. Каждому такому симплексу соответствует группа Γα и гомоморфизмы жij становятся гомоморфизмами жστ. Для каждой тройки ρ σ τ, соответствующие пересечениям

есть графики φя : Vя Uя, φij : Vij Uя Uj и φijk : Vijk Uя Uj Uk и склейка отображений ψ: V ij Vя, ψ ': V ijk Vij и ψ ": V ijk Vя.

Есть уникальный переходной элемент граммρστ в Γя такой, что граммρστ·ψ" = ψ·ψ′. Соотношения, которым удовлетворяют переходные элементы орбифолда, подразумевают те, которые требуются для комплекса групп. Таким образом, комплекс групп может быть канонически связан с нервом открытого покрытия с помощью орбифолдных (или орбипространственных) диаграмм. На языке некоммутативных теория связок и герберы, комплекс групп в этом случае возникает как связка групп связано с покрытием Uя; данные граммρστ является 2-коциклом в некоммутативном когомологии пучков и данные часστ дает 2-кограничное возмущение.

Группа кромочного пути

В группа ребер пути комплекса групп можно определить как естественное обобщение группа краевых путей симплициального комплекса. В барицентрическом подразделении Yвозьми генераторы еij соответствующие ребрам из я к j куда я j, так что имеется инъекция ψij : Γя Γj. Пусть Γ - группа, порожденная еij и Γk с отношениями

еij −1 · грамм · еij = ψij(грамм)

за грамм в Γя и

еik = еjk·еij·граммijk

если я j k.

Для фиксированной вершины я0группа ребер-путей Γ (я0) определяется как подгруппа группы Γ, порожденная всеми произведениями

грамм0 · Eя0 я1 · грамм1 · Eя1 я2 · ··· · граммп · Eяпя 0

куда я0, я1, ..., яп, я0это ребро-путь, граммk лежит в Γяk и еджи=еij−1 если я j.

Развиваемые комплексы

Симплициальный правильное действие дискретной группы Γ на симплициальный комплекс Икс с конечным фактором называется обычный если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий (см. Bredon 1972):

  • Икс допускает конечный подкомплекс как фундаментальная область;
  • частное Y = Икс/ Г имеет естественную симплициальную структуру;
  • фактор-симплициальная структура на орбитах-представителях вершин согласована;
  • если (v0, ..., vk) и (грамм0·v0, ..., граммk·vk) - симплексы, то грамм·vя = граммя·vя для некоторых грамм в Γ.

Фундаментальная область и фактор Y = Икс / Γ в этом случае естественно идентифицировать как симплициальные комплексы, задаваемые стабилизаторами симплексов в фундаментальной области. Комплекс групп Y как говорят развивающийся если это возникает таким образом.

  • Комплекс групп разворачивается тогда и только тогда, когда гомоморфизмы группы Γσ в группу ребер-путей инъективны.
  • Комплекс групп разворачивается тогда и только тогда, когда для каждого симплекса σ существует инъективный гомоморфизм θσ из Γσ в фиксированную дискретную группу Γ такую, что θτ·жστ = θσ. В этом случае симплициальный комплекс Икс канонически определен: он имеет k-симплексы (σ, xΓσ) где σ - k-симплекс Y и Икс пробегает Γ / Γσ. Непротиворечивость можно проверить, используя тот факт, что ограничение комплекса групп на симплекс эквивалентен коциклу с тривиальным коциклом граммρστ.

Действие Γ на барицентрическое подразделение Икс ' из Икс всегда удовлетворяет следующему условию, более слабому, чем регулярность:

  • когда σ и грамм· Σ являются субсимплексами некоторого симплекса τ, они равны, т.е. σ = грамм· Σ

Действительно, симплексы в Икс 'соответствуют цепочкам симплексов в Икс, так что субсимплексы, заданные субцепями симплексов, однозначно определяются размеры симплексов в субцепи. Когда действие удовлетворяет этому условию, тогда грамм обязательно фиксирует все вершины σ. Прямой индуктивный аргумент показывает, что такое действие становится регулярным на барицентрическом подразделении; особенно

  • действие на втором барицентрическом подразделении Икс"регулярно;
  • Γ естественно изоморфна группе реберных путей, определенной с помощью реберных путей и стабилизаторов вершин для барицентрического подразделения фундаментальной области в Икс".

На самом деле нет необходимости переходить к в третьих барицентрическое подразделение: как отмечает Хефлигер, используя язык теория категорий, в этом случае 3-скелет фундаментальной области Икс"уже содержит все необходимые данные, включая переходные элементы для треугольников, чтобы определить группу ребер-путей, изоморфную Γ.

В двух измерениях это особенно просто описать. Основная область Икс"имеет ту же структуру, что и барицентрическое подразделение Y 'комплекса групп Y, а именно:

  • конечный 2-мерный симплициальный комплекс Z;
  • ориентация для всех краев я j;
  • если я j и j k ребра, то я k край и (я, j, k) - треугольник;
  • конечные группы, прикрепленные к вершинам, включения к ребрам и переходные элементы, описывающие совместимость, к треугольникам.

Затем можно определить группу ребер-траекторий. Похожая структура унаследована барицентрическим подразделением Z 'и его группа ребер-путей изоморфна группе Z.

Орбиэдра

Если счетная дискретная группа действует обычный симплициальный правильное действие на симплициальный комплекс, фактор может быть задан не только структурой комплекса групп, но и структурой орбитального пространства. Это приводит к более общему определению «орбиэдра», симплициального аналога орбифолда.

Определение

Позволять Икс - конечный симплициальный комплекс с барицентрическим подразделением Икс '. An орбигедр структура состоит из:

  • для каждой вершины я из Икс ', симплициальный комплекс Lя'наделенный жестким симплициальным действием конечной группы Γя.
  • симплициальное отображение φя из Lя' на связь Lя из я в Икс ', определяя частное Lя'/ Γя с Lя.

Это действие Γя на Lя'продолжается до симплициального действия на симплициальном конусе Cя над Lя'(симплициальное соединение я и Lя'), фиксируя центр я конуса. Отображение φя продолжается до симплициального отображенияCя на звезда St (я) из я, перенося центр на я; таким образом, φя определяет Cя / Γя, частное от звезды я в Cя, с St (я) и дает диаграмма орбиэдра в я.

  • для каждого направленного края я j из Икс ', инъективный гомоморфизм жij из Γя в Γj.
  • для каждого направленного края я j, a Γя эквивариантный симплициальный склейка карты ψij из Cя в Cj.
  • карты склейки совместимы с картами, т. е. φj· Ψij = φя.
  • карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любые другие возможные карты склейки из Vя к Vj имеет форму грамм· Ψij для уникального грамм в Γj.

Если я j k, то существует единственный переходный элемент граммijk в Γk такой, что

граммijk· Ψik = ψjk· Ψij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Объявление граммijkжik = жjk·жij

а также коциклическое отношение

ψкм(граммijkграммikm = граммijm·граммjkm.

Основные свойства

  • Теоретико-групповые данные орбиэдра дают комплекс групп на Икс, потому что вершины я барицентрического подразделения Икс 'соответствуют симплексам в Икс.
  • Каждый комплекс групп на Икс связана с существенно уникальной структурой орбиэдра на Икс. Этот ключевой факт следует из того, что звезда и звено вершины я из Икс ', соответствующий симплексу σ Икс, имеют естественные разложения: звезда изоморфна абстрактному симплициальному комплексу, заданному джойном σ и барицентрическим подразделением σ 'σ; и зацепление изоморфно соединению зацепления σ в Икс и зацепление барицентра σ в σ '. Ограничивая комплекс групп на зацепление σ в Икс, все группы Γτ приходят с инъективными гомоморфизмами в Γσ. Поскольку ссылка я в Икс 'канонически покрывается симплициальным комплексом, на котором Γσ действий, это определяет структуру орбиэдра на Икс.
  • Фундаментальная группа орбиэдра (тавтологически) просто группа ребер-путей ассоциированного комплекса групп.
  • Каждый орбиэдр также естественно является орбипространством: действительно, в геометрической реализации симплициального комплекса, орбипространственные карты могут быть определены с использованием внутренней части звезд.
  • Фундаментальную группу орбиэдра можно естественным образом отождествить с фундаментальной группой орбипространства ассоциированного орбипространства. Это следует, применяя симплициальная аппроксимационная теорема к сегментам орбитального пути, лежащим в орбитальной карте: это простой вариант классического доказательства того, что фундаментальная группа из многогранник можно отождествить с его группа ребер пути.
  • Орбипространство, связанное с орбиэдром, имеет каноническая метрическая структура, происходящие локально из метрики длины в стандартной геометрической реализации в евклидовом пространстве, с вершинами, отображенными в ортонормированный базис. Также используются другие метрические структуры, включая метрики длины, полученные в результате реализации симплексов в гиперболическое пространство, при этом симплексы идентифицируются изометрически по общим границам.
  • Орбипространство, связанное с орбиэдром, равно неположительно изогнутый тогда и только тогда, когда ссылка в каждой диаграмме орбиэдра имеет обхват больше или равно 6, т.е. любая замкнутая цепь в звене имеет длину не менее 6. Это условие, хорошо известное из теории Пространства Адамара, зависит только от основного комплекса групп.
  • Когда универсальный накрывающий орбиэдр неположительно искривлен, фундаментальная группа бесконечна и порождается изоморфными копиями групп изотропии. Это следует из соответствующего результата для орбитальных пространств.

Треугольники групп

Исторически одно из самых важных приложений орбифолдов в геометрическая теория групп был в треугольники групп. Это простейший двумерный пример, обобщающий одномерный «интервал групп», обсуждаемый в Серрлекции о деревьях, где объединенные бесплатные продукты изучаются с точки зрения действий на деревьях. Такие треугольники групп возникают всякий раз, когда дискретная группа действует просто транзитивно на треугольниках в аффинное здание Брюа-Титса за SL3(Qп); в 1979 г. Мамфорд открыл первый пример для п = 2 (см. Ниже) как шаг к созданию алгебраическая поверхность не изоморфен проективное пространство, но имея такой же Бетти числа. Треугольники групп были подробно разработаны Герстеном и Столлингсом, в то время как более общий случай комплексов групп, описанный выше, был независимо развит Хефлигером. Геометрический метод анализа конечно представленных групп в терминах метрических пространств неположительной кривизны принадлежит Громову. В этом контексте треугольники групп соответствуют неположительно искривленным 2-мерным симплициальным комплексам с регулярным действием группы, переходный на треугольниках.

Triangle.Centroid.svg

А треугольник групп это просто комплекс групп, состоящий из треугольника с вершинами А, B, C. Есть группы

  • ΓА, ΓB, ΓC в каждой вершине
  • Γдо н.э, ΓCA, ΓAB для каждого края
  • ΓABC для самого треугольника.

Существует инъективный гомоморфизм группы ΓABC во все остальные группы и группу ребер ΓXY в ΓИкс и ΓY. Три способа отображения ΓABC в группу вершин все согласны. (Часто ΓABC является тривиальной группой.) Евклидова метрическая структура на соответствующем орбипространстве неположительно искривляется тогда и только тогда, когда связь каждой из вершин в карте орбиэдра имеет обхват не менее 6.

Этот обхват в каждой вершине всегда четный и, как заметил Столлингс, может быть описан в вершине. А, скажем, как длину наименьшего слова в ядре естественного гомоморфизма в ΓА из объединенный бесплатный продукт над ΓABC групп ребер ΓAB и ΓAC:

Результат с использованием структуры евклидовой метрики не является оптимальным. Углы α, β, γ в вершинах А, B и C были определены Столлингсом как 2π, разделенные на обхват. В евклидовом случае α, β, γ ≤ π / 3. Однако, если требуется только, чтобы α + β + γ ≤ π, можно отождествить треугольник с соответствующим геодезическим треугольником в гиперболическая плоскость с Метрика Пуанкаре (или евклидовой плоскости, если выполняется равенство). Это классический результат гиперболической геометрии, что гиперболические медианы пересекаются в гиперболическом барицентре,[10] точно так же, как в знакомом евклидовом случае. Барицентрическое подразделение и метрика из этой модели дают неположительно искривленную метрическую структуру на соответствующем орбитальном пространстве. Таким образом, если α + β + γ≤π,

  • орбипространство треугольника групп разворачивается;
  • соответствующая группа реберных путей, которую также можно описать как копредел треугольника групп бесконечна;
  • гомоморфизмы групп вершин в группу ребер-путей являются инъекциями.

Пример Мамфорда

Позволять α = быть предоставленным биномиальное разложение из (1-8)1/2 в Q2 и установить K = Q(α) Q2. Позволять

ζ = ехр 2πя/7
λ = (α − 1)/2 = ζ + ζ2 + ζ4
μ = λ/λ*.

Позволять E = Q(ζ), трехмерное векторное пространство над K с основанием 1, ζ, и ζ2. Определять K-линейные операторы на E следующее:

  • σ является генератором Группа Галуа из E над K, элемент порядка 3, задаваемый равенством σ (ζ) = ζ2
  • τ - оператор умножения на ζ на E, элемент порядка 7
  • ρ это оператор, задаваемый ρ(ζ) = 1, ρ(ζ2) = ζ и ρ(1) = μ·ζ2, так что ρ3 скалярное умножение наμ.

Элементы ρ, σ, и τ порождают дискретную подгруппу GL3(K) который действует правильно на аффинное здание Брюа – Титса соответствующий SL3(Q2). Эта группа действует переходно на всех вершинах, ребрах и треугольниках в здании. Позволять

σ1 = σ, σ2 = ρσρ−1, σ3 = ρ2σρ−2.

потом

  • σ1, σ2 и σ3 порождают подгруппу Γ группы SL3(K).
  • Γ - наименьшая подгруппа, порожденная σ и τ, инвариантная относительно сопряжения ρ.
  • Γ действует просто транзитивно на треугольниках в здании.
  • Существует треугольник Δ такой, что стабилизаторами его ребер являются подгруппы порядка 3, порожденные σяс.
  • Стабилизатором вершины Δ является Группа Фробениуса порядка 21, порожденного двумя элементами порядка 3, стабилизирующими ребра, пересекающиеся в вершине.
  • Стабилизатор Δ тривиален.

Элементы σ и τ генерировать стабилизатор вершины. В связь этой вершины можно отождествить со сферическим зданием из SL3(F2) и стабилизатор можно отождествить с группа коллинеации из Самолет Фано порожденный 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой τ всех 7 точек, удовлетворяющих στ = τ2σ. Идентификация F8* с плоскостью Фано σ можно рассматривать как ограничение Автоморфизм Фробениуса σ(Икс) = Икс22 из F8 и τ - умножение на любой элемент, не входящий в основное поле F2, т.е. генератор порядка 7 циклическая мультипликативная группа из F8. Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге в плоскости Фано, то есть на прямых с отмеченными точками. Формулы для σ и τ на E таким образом "поднять" формулы на F8.

Мамфорд также добивается иска просто переходный на вершинах здания, переходя к подгруппе Γ1 = <ρ, σ, τ, −я>. Группа Γ1 сохраняет Q(α) -значная эрмитова форма

ж(Икс,у) = ху* + σ(ху*) + σ2(ху*)

на Q(ζ) и может быть отождествлен с U3(е) GL3(S) куда S = Z[α, ½]. С S/(α) = F7, существует гомоморфизм группы Γ1 в GL3(F7). Это действие оставляет неизменным двумерное подпространство в F73 и, следовательно, порождает гомоморфизм Ψ из Γ1 в SL2(F7), группа порядка 16 · 3 · 7. С другой стороны, стабилизатор вершины - это подгруппа порядка 21 и Ψ инъективен на этой подгруппе. Таким образом, если подгруппа конгруэнции Γ0 определяется как обратное изображение под Ψ из 2-Силовская подгруппа из SL2(F7) действие Γ0 на вершинах должны быть просто транзитивными.

Обобщения

Другие примеры треугольников или двумерных комплексов групп могут быть построены вариациями приведенного выше примера.

Картрайт и др. рассмотреть действия в отношении зданий, которые просто транзитивен по вершинам. Каждое такое действие производит биекцию (или модифицированную двойственность) между точками Икс и линии Икс* в флаговый комплекс конечного проективная плоскость и набор ориентированных треугольников точек (Икс,у,z), инвариантный относительно циклической перестановки, такой, что Икс лежит на z*, у лежит на Икс* и z лежит на у* и любые две точки однозначно определяют третью. Производимые группы имеют генераторы Икс, помеченные точками, и отношения xyz = 1 для каждого треугольника. Обычно эта конструкция не соответствует действию на классическое аффинное здание.

В более общем смысле, как показано Баллманном и Брином, подобные алгебраические данные кодируют все действия, которые просто транзитивно действуют на вершинах неположительно искривленного 2-мерного симплициального комплекса, при условии, что связь каждой вершины имеет обхват не менее 6. Эти данные состоят из:

  • генераторная установка S содержащие инверсии, но не тождество;
  • набор отношений грамм час k = 1, инвариантный относительно циклической перестановки.

Элементы грамм в S обозначить вершины грамм·v в звене фиксированной вершины v; а отношения соответствуют ребрам (грамм−1·v, час·v) в этой ссылке. Граф с вершинами S и края (грамм, час), за грамм−1час в S, должен иметь обхват не менее 6. Исходный симплициальный комплекс может быть реконструирован с использованием комплексов групп и второго барицентрического подразделения.

Дальнейшие примеры неположительно искривленных двумерных комплексов групп были построены Святковским на основе действий просто транзитивен на ориентированных ребрах и создание 3-кратной симметрии в каждом треугольнике; и в этом случае комплекс групп получается из регулярного действия на втором барицентрическом подразделении. Самый простой пример, обнаруженный ранее с Баллманном, начинается с конечной группы ЧАС с симметричным набором образующих S, не содержащие тождества, такие что соответствующие Граф Кэли имеет обхват не менее 6. Связанная группа создается ЧАС и инволюция τ при (τg)3 = 1 для каждого грамм в S.

Фактически, если Γ действует таким образом, фиксируя ребро (v, ш) существует инволюция τ, меняющая местами v и ш. Ссылка v состоит из вершин грамм·ш за грамм в симметричном подмножестве S из ЧАС = Γv, генерируя ЧАС если ссылка подключена. Из предположения о треугольниках следует, что

τ · (грамм·ш) = грамм−1·ш

за грамм в S. Таким образом, если σ = τграмм и ты = грамм−1·ш, тогда

σ (v) = ш, σ (ш) = ты, σ (ты) = ш.

По простой транзитивности на треугольнике (v, ш, ты) следует, что σ3 = 1.

Второе барицентрическое подразделение дает комплекс групп, состоящих из одиночных элементов или пар барицентрически подразделенных треугольников, соединенных вдоль их больших сторон: эти пары индексируются факторпространством S/ ~ полученный отождествлением обратных S. Одиночные или «спаренные» треугольники, в свою очередь, соединяются по одной общей «спине». Все стабилизаторы симплексов тривиальны, за исключением двух вершин на концах позвоночника со стабилизаторами ЧАС и <τ>, а остальные вершины больших треугольников со стабилизатором, порожденным подходящим σ. Три меньших треугольника в каждом большом треугольнике содержат переходные элементы.

Когда все элементы S являются инволюциями, ни один из треугольников не нужно удваивать. Если ЧАС считается группа диэдра D7 порядка 14, порожденный инволюцией а и элемент б порядка 7 такой, что

ab= б−1а,

тогда ЧАС порождается 3 инволюциями а, ab и ab5. Связь каждой вершины задается соответствующим графом Кэли, так что это просто двудольный граф Хивуда, т.е. точно так же, как в аффинном построении для SL3(Q2). Эта структура связи подразумевает, что соответствующий симплициальный комплекс обязательно является Евклидово здание. В настоящее время, однако, кажется неизвестным, может ли какой-либо из этих типов действий действительно быть реализован на классическом аффинном здании: группе Мамфорда Γ1 (по модулю скаляров) транзитивен только на ребрах, а не на ориентированных ребрах.

Двумерные орбифолды

Двумерные орбифолды имеют следующие три типа особых точек:

  • Граничная точка
  • Эллиптическая точка или точка вращения порядка п, например, происхождение р2 выделено циклической группой порядка п вращений.
  • Угловой отражатель на заказ п: происхождение р2 выделено диэдральной группой порядка 2п.

Компактный двумерный орбифолд имеет Эйлерова характеристика данный

,

куда - эйлерова характеристика основного топологического многообразия , и порядки угловых отражателей, и - порядки эллиптических точек.

Двумерный компактный связный орбифолд имеет гиперболическую структуру, если его эйлерова характеристика меньше 0, евклидова структура, если она равна 0, и если его эйлерова характеристика положительна, она либо Плохо или имеет эллиптическую структуру (орбифолд называется плохим, если он не имеет многообразия в качестве накрывающего пространства). Другими словами, его универсальное накрывающее пространство имеет гиперболическую, евклидову или сферическую структуру.

Компактные двумерные связные орбифолды, не являющиеся гиперболическими, перечислены в таблице ниже. 17 параболических орбифолдов являются частными плоскости на 17 группы обоев.

ТипЭйлерова характеристикаОсновное 2-многообразиеПорядки эллиптических точекЗаказы угловых отражателей
Плохо1 + 1/пСферап > 1
Плохо1/м + 1/пСферап > м > 1
Плохо1/2 + 1/2пДискп > 1
Плохо1/2м + 1/2пДискп > м > 1
Эллиптический2Сфера
Эллиптический2/пСферап,п
Эллиптический1/пСфера2, 2, п
Эллиптический1/6Сфера2, 3, 3
Эллиптический1/12Сфера2, 3, 4
Эллиптический1/30Сфера2, 3, 5
Эллиптический1Диск
Эллиптический1/пДискп, п
Эллиптический1/2пДиск2, 2, п
Эллиптический1/12Диск2, 3, 3
Эллиптический1/24Диск2, 3, 4
Эллиптический1/60Диск2, 3, 5
Эллиптический1/пДискп
Эллиптический1/2пДиск2п
Эллиптический1/12Диск32
Эллиптический1Проективная плоскость
Эллиптический1/пПроективная плоскостьп
Параболический0Сфера2, 3, 6
Параболический0Сфера2, 4, 4
Параболический0Сфера3, 3, 3
Параболический0Сфера2, 2, 2, 2
Параболический0Диск2, 3, 6
Параболический0Диск2, 4, 4
Параболический0Диск3, 3, 3
Параболический0Диск2, 2, 2, 2
Параболический0Диск22, 2
Параболический0Диск33
Параболический0Диск42
Параболический0Диск2, 2
Параболический0Проективная плоскость2, 2
Параболический0Тор
Параболический0Бутылка Клейна
Параболический0Кольцо
Параболический0Группа Мебиуса

3-мерные орбифолды

Трехмерное многообразие называется маленький если она замкнута, неприводима и не содержит несжимаемых поверхностей.

Теорема об орбифолде. Позволять M - небольшое 3-многообразие. Пусть φ - нетривиальный периодический сохраняющий ориентацию диффеоморфизм M. потом M допускает φ-инвариантную гиперболическую или расслоенную структуру Зейферта.

Эта теорема является частным случаем теории Терстона. теорема об орбифолде, объявленный без доказательств в 1981 году; он является частью его гипотеза геометризации трехмерных многообразий. В частности, это означает, что если Икс компактное связное ориентируемое неприводимое атороидальное 3-орбифолд с непустым сингулярным множеством, то M имеет геометрическую структуру (в смысле орбифолдов). Полное доказательство теоремы было опубликовано Boileau, Leeb & Porti в 2005 году.[11]


Приложения

Орбифолды в теории струн

В теория струнслово «орбифолд» имеет несколько новое значение. Для математиков орбифолд - это обобщение понятия многообразие что допускает наличие точек, окрестность которых диффеоморфный к частному рп конечной группой, т.е. рп/Γ. В физике понятие орбифолда обычно описывает объект, который можно глобально записать как пространство орбиты. M/грамм куда M является многообразием (или теорией), а грамм представляет собой группу его изометрий (или симметрий) - не обязательно всех из них. В теории струн эти симметрии не обязательно должны иметь геометрическую интерпретацию.

А квантовая теория поля определенная на орбифолде, становится особой вблизи неподвижных точек грамм. Однако теория струн требует от нас добавления новых частей закрытая строка Гильбертово пространство - а именно скрученные секторы, в которых поля, определенные на замкнутых цепочках, периодичны до действия из грамм. Таким образом, орбифолдинг - это общая процедура теории струн для вывода новой теории струн из старой теории струн, в которой элементы грамм были отождествлены с личностью. Такая процедура уменьшает количество состояний, поскольку состояния должны быть инвариантными относительно грамм, но это также увеличивает количество состояний из-за дополнительных скрученных секторов. В результате обычно получается совершенно гладкая новая теория струн.

D-браны распространяющиеся на орбифолдах описываются при низких энергиях калибровочными теориями, определяемыми диаграммы колчана. Открытые струны прикреплены к этим D-браны не имеют скрученного сектора, поэтому количество состояний открытой строки уменьшается с помощью процедуры орбифолдинга.

Более конкретно, когда орбифолдная группа грамм является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени, то, если она не имеет неподвижной точки, результатом обычно является компактное гладкое пространство; скрученный сектор состоит из замкнутых струн, намотанных вокруг компактного размера, которые называются состояния обмотки.

Когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени и имеет неподвижные точки, то они обычно имеют конические особенности, потому что рп/Zk имеет такую ​​особенность в неподвижной точке Zk. В теории струн гравитационные сингулярности обычно являются признаком дополнительных степени свободы которые расположены в одной точке пространства-времени. В случае орбифолда эти степени свободы - скрученные состояния, которые представляют собой «застрявшие» струны в фиксированных точках. Когда поля, связанные с этими закрученными состояниями, приобретают ненулевой ожидаемое значение вакуума, особенность деформируется, т. е. метрика изменяется и становится регулярной в этой точке и вокруг нее. Примером результирующей геометрии является Егучи-Хансон пространство-время.

С точки зрения D-бран в окрестности неподвижных точек, эффективная теория открытых струн, прикрепленных к этим D-бранам, представляет собой суперсимметричную теорию поля, пространство вакуума которой имеет особую точку, в которой имеются дополнительные безмассовые степени свобода существует. Поля, связанные с закрученным сектором замкнутой струны, соединяются с открытыми струнами таким образом, чтобы добавить член Файе-Илиопулоса к лагранжиану суперсимметричной теории поля, так что, когда такое поле приобретает ненулевой ожидаемое значение вакуума, член Файе-Илиопулоса отличен от нуля и тем самым деформирует теорию (т.е. меняет ее) так, что сингулярность больше не существует [1], [2].

Многообразия Калаби – Яу.

В теория суперструн,[12][13]строительство реалистичных феноменологические модели требует уменьшение размеров потому что струны естественно распространяются в 10-мерном пространстве, в то время как наблюдаемое измерение пространство-время Вселенной равно 4. Формальные ограничения на теории, тем не менее, накладывают ограничения на уплотненное пространство в котором живут лишние "скрытые" переменные: при поиске реалистичных 4-хмерных моделей с суперсимметриявспомогательное компактифицированное пространство должно быть 6-мерным Многообразие Калаби – Яу.[14]

Существует большое количество возможных многообразий Калаби – Яу (десятки тысяч), отсюда и использование термина «ландшафт» в современной литературе по теоретической физике для описания сбивающего с толку выбора. Общее исследование многообразий Калаби – Яу является математически сложным, и долгое время было трудно построить явные примеры. Таким образом, орбифолды оказались очень полезными, поскольку они автоматически удовлетворяют ограничениям, налагаемым суперсимметрией. Они предоставляют вырожденные примеры многообразий Калаби – Яу из-за их особые точки,[15] но это вполне приемлемо с точки зрения теоретической физики. Такие орбифолды называются суперсимметричными: их технически легче изучать, чем общие многообразия Калаби – Яу. Очень часто можно связать непрерывное семейство неособых многообразий Калаби – Яу с сингулярным суперсимметричным орбифолдом. В четырех измерениях это можно проиллюстрировать с помощью сложных K3 поверхности:

  • Каждая поверхность K3 допускает 16 циклов размерности 2, топологически эквивалентных обычным 2-сферам. Поскольку поверхность этих сфер стремится к нулю, на поверхности K3 появляются 16 особенностей. Этот предел представляет собой точку на границе пространство модулей K3 поверхностей и соответствует орбифолду полученное факторизацией тора по симметрии обращения.

Изучение многообразий Калаби – Яу в теории струн и двойственности между различными моделями теории струн (типа IIA и IIB) привело к идее зеркальная симметрия в 1988 году. Примерно в то же время на роль орбифолдов впервые указали Диксон, Харви, Вафа и Виттен.[16]

Теория музыки

Помимо многообразия и различных приложений в математике и физике, орбифолды применялись к теория музыки по крайней мере, еще в 1985 г. в работе Герино Маццола[17][18] а позже Дмитрий Тимочко и соавторы (Тимочко 2006) и (Каллендер и Тимочко 2008).[19][20] Одна из статей Тимочко была первой статьей по теории музыки, опубликованной в журнале. Наука.[21][22][23] Маццола и Тимочко участвовали в дебатах по поводу своих теорий, которые задокументированы в серии комментариев, доступных на их соответствующих веб-сайтах.[24][25]

Анимированные срезы трехмерного орбифолда . Ломтики кубиков, стоящих дыбом (длинными диагоналями, перпендикулярными плоскости изображения), образуют цветные Вороной области (окрашенные типом аккорда), которые представляют собой трех нотные аккорды в их центрах, с дополненные триады в самом центре, в окружении больших и малых триады (салатовый и темно-синий). Белые области представляют собой вырожденные трихорды (одна нота повторяется три раза), с тремя линиями (представляющими два аккорда нот), соединяющими их центры, образующими стенки скрученной треугольной призмы, 2D плоскости, перпендикулярные плоскости изображения, действующие как зеркала.

Тимочко моделирует музыкальные аккорды, состоящие из п ноты, которые не обязательно различимы, как точки в орбифолде - пространство п неупорядоченные точки (не обязательно разные) в круге, реализованные как частное от п-тор (пространство п упорядоченный точек на окружности) симметричной группой (соответствует переходу от упорядоченного набора к неупорядоченному).

Музыкально это объясняется следующим образом:

  • Музыкальные тона зависят от частоты (высоты тона) своей основной гармоники и, таким образом, параметризуются положительными действительными числами, р+.
  • Музыкальные тона, различающиеся на октаву (удвоение частоты), считаются одним и тем же тоном - это соответствует принятию логарифм основание 2 частот (дает действительные числа, как ), затем деление на целые числа (соответствующие различиям на некоторое количество октав), в результате чего получается круг (как ).
  • Аккорды соответствуют нескольким тонам без учета порядка - таким образом т примечания (с порядком) соответствуют т упорядоченные точки на окружности или, что то же самое, одна точка на т-тор а порядок опускания соответствует частному по давая орбифолд.

За диады (два тона), это дает закрытый Лента Мебиуса; за триады (три тона), это дает орбифолд, который можно описать как треугольную призму с верхней и нижней треугольными гранями, отождествленными с поворотом на 120 ° (поворот на -), что эквивалентно полному тору в трех измерениях с поперечным сечением. равносторонний треугольник и такой поворот.

Результирующий орбифолд естественным образом стратифицируется повторяющимися тонами (точнее, целочисленными разделами т) - открытый набор состоит из различных тонов (раздел ), а имеется одномерное особое множество, состоящее из одинаковых тонов (разбиение ), топологически представляющий собой круг, и различные промежуточные разбиения. Есть также заметный круг, который проходит через центр открытого множества, состоящего из равноотстоящих точек. В случае триад три боковые грани призмы соответствуют двум одинаковым тонам, а третьему - разному (разделение ), а три ребра призмы соответствуют одномерному сингулярному множеству. Верхняя и нижняя грани являются частью открытого набора и появляются только потому, что орбифолд был разрезан - если рассматривать как треугольный тор с изгибом, эти артефакты исчезают.

Тимочко утверждает, что аккорды, расположенные близко к центру (с одинаковыми или почти одинаковыми тонами), составляют основу большей части традиционной западной гармонии, и что их визуализация помогает в анализе. В центре 4 аккорда (на равном расстоянии под равный темперамент - интервал 4/4/4 между тонами), соответствующий дополненные триады (думал как музыкальные наборы) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB и EG♯C (затем они циклически повторяются: FAC♯ = C♯FA), с 12 мажорные аккорды и 12 минорные аккорды точки рядом, но не в центре - расположены почти равномерно, но не совсем. Основные аккорды соответствуют интервалу 4/3/5 (или, что эквивалентно, 5/4/3), а второстепенные аккорды соответствуют интервалу 3/4/5. Ключевые изменения тогда соответствуют перемещению между этими точками в орбифолде, с более плавными изменениями, вызванными перемещением между соседними точками.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Сатаке (1956).
  2. ^ Терстон (1978), Глава 13.
  3. ^ Хефлигер (1990).
  4. ^ Пуанкаре (1985).
  5. ^ Серр (1970).
  6. ^ Скотт (1983).
  7. ^ Бридсон и Хефлигер (1999).
  8. ^ Ди Франческо, Матьё и Сенешаль (1997)
  9. ^ Бредон (1972).
  10. ^ Теорема о гиперболических медианах
  11. ^ Общие введения к этому материалу можно найти в заметках Питера Скотта за 1983 г. и в экспозициях Boileau, Maillot & Porti и Cooper, Hodgson & Kerckhoff.
  12. ^ М. Грин, Дж. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн, Vol. 1 и 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN0521357527
  13. ^ Я. Полчинский, Теория струн, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999 г., ISBN 0-521-63304-4
  14. ^ П. Канделас, Лекции о комплексных многообразиях, в * Trieste 1987, Proceedings, Superstrings '87 * 1-88, 1987
  15. ^ Блюменхаген, Ральф; Люст, Дитер; Тайзен, Стефан (2012), Основные понятия теории струн, Теоретическая и математическая физика, Springer, p. 487, г. ISBN 9783642294969, Орбифолды можно рассматривать как особые пределы гладких многообразий Калаби – Яу..
  16. ^ Диксон, Харви, Вафа и Виттен, Nucl.Phys. 1985, B261, 678; 1986, В274, 286.
  17. ^ Герино Маццола (1985). Gruppen und Kategorien in der Musik: Entwurf einer Mathematischen Musiktheorie. Heldermann. ISBN 978-3-88538-210-2. Получено 26 февраля 2012.
  18. ^ Герино Маццола; Стефан Мюллер (2002). Топос музыки: геометрическая логика понятий, теория и исполнение. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. Получено 26 февраля 2012.
  19. ^ Дмитрий Тимочко, Геометрия музыки - ссылки на статьи и программы для визуализации.
  20. ^ Пространство модулей аккордов: Дмитрий Тимочко на «Геометрии и музыке», пятница, 7 марта, 14:30., опубликовал 28 / фев / 08 - тезисы разговора и высокоуровневое математическое описание.
  21. ^ Майкл Д. Лемоник, Геометрия музыки, Время, 26 января 2007 г.
  22. ^ Элизабет Гудрайс, Отображение музыки, Harvard Magazine, январь / февраль 2007 г.
  23. ^ Тони Филлипс, Взгляд Тони Филлипса на математику в СМИ, Американское математическое общество, Октябрь 2006 г.
  24. ^ Агустин-Акино, Октавио Альберто; Маццола, Герино (14 июня 2011 г.). "О критике Д. Тимочко теории контрапункта Маццолы" (PDF).
  25. ^ Тимочко, Дмитрий. "Теория контрапункта Маццолы" (PDF).

Рекомендации