WikiDer > Теорема о формальных функциях

В алгебраическая геометрия, то теорема о формальных функциях заявляет следующее:^[1]

Позволять ${ displaystyle f: X to S}$ быть правильный морфизм из нётерские схемы связной связкой ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ на Икс. Позволять ${ displaystyle S_ {0}}$ быть закрытой подсхемой S определяется ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ и ${ displaystyle { widehat {X}}, { widehat {S}}}$ формальное завершение относительно ${ displaystyle X_ {0} = f ^ {- 1} (S_ {0})}$ и ${ displaystyle S_ {0}}$. Тогда для каждого ${ displaystyle p geq 0}$ каноническое (непрерывное) отображение:

${ Displaystyle (R ^ {p} е _ {*} { mathcal {F}}) ^ { wedge} to varprojlim _ {k} R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} _ {k}}$

является изоморфизмом (топологического) ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { widehat {S}}}$-модули, где

• Левый член ${ displaystyle varprojlim R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} { mathcal {O}} _ {S} / { { mathcal {I}} ^ {k + 1}}}$.
• ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {k} = { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} ({ mathcal {O}} _ {S} / { mathcal {I}} ^ {k + 1})}$
• Каноническое отображение получается предельным переходом.

Теорема используется для вывода некоторых других важных теорем: Факторизация Штейна и версия Основная теорема Зарисского это говорит, что правильный бирациональный морфизм в нормальный сорт является изоморфизмом. Некоторые другие следствия (с обозначениями, как указано выше):

Следствие:^[2] Для любого ${ displaystyle s in S}$, топологически,

${ displaystyle ((R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}}) _ {s}) ^ { wedge} simeq varprojlim H ^ {p} (f ^ {- 1} (s ), { mathcal {F}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ {S}} ({ mathcal {O}} _ {s} / { mathfrak {m}} _ {s} ^ {k}))}$

где пополнение слева по ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {s}}$.

Следствие:^[3] Позволять р быть таким, чтобы ${ displaystyle operatorname {dim} f ^ {- 1} (s) leq r}$ для всех ${ displaystyle s in S}$. потом

${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} { mathcal {F}} = 0, quad i> r.}$

Corollay:^[4] Для каждого ${ displaystyle s in S}$, существует открытая окрестность U из s такой, что

${ displaystyle R ^ {i} f _ {*} { mathcal {F}} | _ {U} = 0, quad i> operatorname {dim} f ^ {- 1} (s).}$

Следствие:^[5] Если ${ displaystyle f _ {*} { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {S}}$, тогда ${ displaystyle f ^ {- 1} (s)}$ подключен для всех ${ displaystyle s in S}$.

Теорема также приводит к Теорема существования Гротендика, что придает эквивалентность категории когерентных пучков на схеме и категории когерентных пучков при ее формальном пополнении (в частности, дает алгебрализуемость).

Наконец, можно ослабить гипотезу теоремы; ср. Illusie. Согласно Иллюзи (стр. 204), доказательство, данное в EGA III, принадлежит Серру. Оригинальное доказательство (принадлежащее Гротендику) так и не было опубликовано.

Построение канонического отображения

Пусть настройка будет как в леде. В доказательстве используется следующее альтернативное определение канонического отображения.

Позволять ${ displaystyle i ': { widehat {X}} to X, i: { widehat {S}} to S}$ - канонические отображения. Тогда у нас есть карта изменения базы из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { widehat {S}}}$-модули

${ displaystyle i ^ {*} R ^ {q} f _ {*} { mathcal {F}} to R ^ {p} { widehat {f}} _ {*} (i '^ {*} { mathcal {F}})}$.

куда ${ displaystyle { widehat {f}}: { widehat {X}} to { widehat {S}}}$ индуцируется ${ displaystyle f: X to S}$. С ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ согласован, мы можем идентифицировать ${ displaystyle i '^ {*} { mathcal {F}}}$ с ${ displaystyle { widehat { mathcal {F}}}}$. С ${ Displaystyle R ^ {q} е _ {*} { mathcal {F}}}$ также когерентен (как ж правильно), выполняя ту же идентификацию, следующее гласит:

${ displaystyle (R ^ {q} f _ {*} { mathcal {F}}) ^ { wedge} to R ^ {p} { widehat {f}} _ {*} { widehat { mathcal {F}}}}$.

С помощью ${ displaystyle f: X_ {n} to S_ {n}}$ куда ${ displaystyle X_ {n} = (X_ {0}, { mathcal {O}} _ {X} / { mathcal {J}} ^ {n + 1})}$ и ${ displaystyle S_ {n} = (S_ {0}, { mathcal {O}} _ {S} / { mathcal {I}} ^ {n + 1})}$, также получаем (после перехода к пределу):

${ displaystyle R ^ {q} { widehat {f}} _ {*} { widehat { mathcal {F}}} to varprojlim R ^ {p} f _ {*} { mathcal {F}} _ {n}}$

куда ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ такие же, как и раньше. Можно проверить, что состав двух карт - это одна и та же карта в леде. (см. EGA III-1, раздел 4)

Примечания

Рекомендации

• Люк Иллюзи, Темы по алгебраической геометрии
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 11. Дои:10.1007 / bf02684274. МИСТЕР 0217085.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157