WikiDer > Эквивариантный пучок

Equivariant sheaf

В математике, учитывая действие из групповая схема грамм по схеме Икс по базовой схеме S, эквивариантный пучок F на Икс это связка -модули вместе с изоморфизмом -модули

 

удовлетворяющий условию коцикла:[1][2] письмо м для умножения,

.

Примечания к определению

На уровне стержня условие коцикла говорит, что изоморфизм такой же, как и состав ; т.е. ассоциативность группового действия. Унитарность группового действия также является следствием: применить в обе стороны, чтобы добраться и так это личность.

Обратите внимание, что это дополнительные данные; это "подъем" действия грамм на Икс к снопу F. Более того, когда грамм связная алгебраическая группа, F обратимая связка и Икс редуцировано, условие коцикла автоматическое: любой изоморфизм автоматически удовлетворяет условию коцикла (этот факт отмечается в конце доказательства главы 1, § 3, предложения 1.5. «геометрической теории инвариантов» Мамфорда).

Если действие грамм свободна, то понятие эквивариантного пучка упрощается до пучка на факторе Икс/грамм, из-за спуск по торсорам.

К Лемма Йонеды, чтобы задать структуру эквивариантного пучка -модуль F это то же самое, что давать групповые гомоморфизмы для колец р над ,

.[3]

Существует также определение эквивариантных пучков в терминах симплициальные пучки. В качестве альтернативы можно определить эквивариантный пучок как эквивариантный объект в категории, скажем, когерентных пучков.

Линеаризованные линейные пучки

Структура эквивариантного пучка на обратимом пучке или линейном расслоении также называется линеаризация.

Позволять Икс полное многообразие над алгебраически замкнутым полем, в котором действует связная редуктивная группа грамм и L обратимая связка на нем. Если Икс нормально, то некоторая тензорная степень из L линеаризуема.[4]

Кроме того, если L очень обильно и линеаризовано, то существует грамм-линейное закрытое погружение от Икс к такой, что линеаризуется и линеаризация на L индуцируется .[5]

Тензорные произведения и инверсии линеаризованных обратимых пучков снова линеаризуются естественным образом. Таким образом, классы изоморфизма линеаризованных обратимых пучков на схеме Икс образуют подгруппу группы Пикара Икс.

См. Пример 2.16 из [1] в качестве примера разновидности, для которой большинство линейных пучков не линеаризуемы.

Двойственное действие на сечениях эквивариантных пучков

Для алгебраической группы грамм и грамм-эквивариантный пучок F на Икс над полем k, позволять быть пространством глобальных разделов. Тогда он допускает структуру грамм-модуль; т.е. V это линейное представление из грамм следующее. Письмо для группового действия, для каждого грамм в грамм и v в V, позволять

куда и - изоморфизм, задаваемый структурой эквивариантного пучка на F. Тогда условие коцикла гарантирует, что является гомоморфизмом групп (т. е. это представление.)

Пример: брать и действие грамм на себя. потом , и

,

смысл это левое регулярное представление из грамм.

Представление определенный выше рациональное представление: для каждого вектора v в V, существует конечномерная грамм-подмодуль V который содержит v.[6]

Эквивариантное векторное расслоение

Проще определение векторного расслоения (т. Е. Многообразия, соответствующего локально свободная связка постоянного ранга). Мы говорим о векторном расслоении E на алгебраическом многообразии Икс действует алгебраической группой грамм является эквивариантный если грамм действует послойно: т.е. является «линейным» изоморфизмом векторных пространств.[7] Другими словами, эквивариантное векторное расслоение - это пара, состоящая из векторного расслоения и подъема действия к тому из так что проекция эквивариантно.

Как и в неэквивариантной настройке, можно определить эквивариантный характеристический класс эквивариантного векторного расслоения.

Примеры

  • Касательное расслоение многообразия или гладкого многообразия является эквивариантным векторным расслоением.
  • Пучок эквивариантные дифференциальные формы.
  • Позволять грамм - полупростая алгебраическая группа и λ: H →C персонаж на максимальном торе ЧАС. Он распространяется на борелевскую подгруппу λ: B →C, давая одномерное представление Wλ из B. потом GxWλ является тривиальным векторным расслоением над грамм на котором B действует. Частное Lλ= GxBWλ действием B является линейным расслоением над многообразием флагов G / B. Обратите внимание, что G → G / B это B bundle, так что это просто пример конструкции связанного пакета. В Теорема Бореля-Вейля-Ботта говорит, что все представления грамм возникают как когомологии таких линейных расслоений.
  • Если X = Спецификация (A) аффинная схема, a граммм-действие на Икс это то же самое, что и Z оценка по А. Аналогично граммм эквивариантный квазикогерентный пучок на Икс это то же самое, что и Z оцененный А модуль.[нужна цитата]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ МФК 1994, Гл 1. § 3. Определение 1.6.
  2. ^ Гайтсгори 2005, § 6.
  3. ^ Томасон 1987, § 1.2.
  4. ^ МФК 1994, Гл 1. § 3. Следствие 1.6.
  5. ^ МФК 1994, Гл 1. § 3. Предложение 1.7.
  6. ^ МФК 1994, Гл. 1. § 1. лемма сразу после определения 1.3.
  7. ^ Если E рассматривается как связка, то грамм необходимо заменить на .

Рекомендации

  • Дж. Бернштейн, В. Лунц, "Эквивариантные пучки и функторы", Конспект лекций Springer по математике. 1578 (1994).
  • Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван, Ф. Геометрическая теория инвариантов. Третье издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Результаты в математике и родственных областях (2)), 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xiv + 292 pp. МИСТЕР1304906 ISBN 3-540-56963-4
  • Д. Гайцгори, Теория геометрических представлений, Math 267y, осень 2005 г.
  • Томасон Р.У .: Алгебраическая K-теория действий групповых схем. В: Браудер У. (ред.) Алгебраическая топология и алгебраическая K-теория. (Ann. Math. Stud., Том 113, стр. 539–563) Princeton: Princeton University Press, 1987

внешняя ссылка