WikiDer > Формула присоединения

Adjunction formula

В математика, особенно в алгебраическая геометрия и теория комплексные многообразия, то формула присоединения связывает канонический пакет разнообразия и гиперповерхность внутри этого разнообразия. Его часто используют для вывода фактов о разновидностях, встроенных в хорошо организованные пространства, такие как проективное пространство или доказать теоремы по индукции.

Пристройка для гладких сортов

Формула для гладкого подмногообразия

Позволять Икс быть гладкий алгебраическое многообразие или гладкое комплексное многообразие и Y - гладкое подмногообразие в Икс. Обозначим карту включения YИкс к я и идеальный пучок из Y в Икс к . В конормальная точная последовательность за я является

где Ω обозначает котангенсный пучок. Определитель этой точной последовательности является естественным изоморфизмом

куда обозначает двойник линейного расслоения.

Частный случай гладкого дивизора

Предположим, что D гладкий делитель на Икс. Его нормальный комплект распространяется на линейный пакет на Икс, а идеальный пучок D соответствует своему двойственному . Конормальное расслоение является , что в сочетании с приведенной выше формулой дает

С точки зрения канонических классов это означает, что

Обе эти две формулы называются формула присоединения.

Примеры

Гиперповерхности степени d

Учитывая гладкую степень гиперповерхность мы можем вычислить его канонические и антиканонические расслоения, используя формулу присоединения. Это читается как

который изоморфен .

Полные пересечения

Для плавного полного пересечения степеней , конормальное расслоение изоморфен , поэтому детерминантное расслоение и его двойник , показывая

Это обобщается одинаково для всех полных пересечений.

Кривые на квадратичной поверхности

встраивается в как квадратичная поверхность, заданная множеством исчезающих квадратичных многочленов, исходящих от невырожденной симметричной матрицы.[1] Затем мы можем ограничиться рассмотрением кривых на . Мы можем вычислить котангенсное расслоение используя прямую сумму пучков котангенса на каждом , так что, это . Тогда канонический пучок имеет вид , которое можно найти с помощью разложения клиньев прямых сумм векторных расслоений. Затем, используя формулу присоединения, кривая, определяемая множеством исчезающих точек сечения , можно вычислить как

Остаток Пуанкаре

Карта ограничений называется Остаток Пуанкаре. Предположим, что Икс - комплексное многообразие. Тогда на сечениях вычет Пуанкаре можно выразить следующим образом. Исправить открытый набор U на котором D дается обращением в нуль функции ж. Любой раздел закончился U из можно записать как s/ж, куда s является голоморфной функцией на U. Пусть η - сечение над U из ωИкс. Вычет Пуанкаре - это отображение

то есть он формируется применением векторного поля ∂ / ∂ж к форме объема η, затем умножая на голоморфную функцию s. Если U допускает локальные координаты z1, ..., zп такой, что для некоторых я, ж/∂zя ≠ 0, то это также можно выразить как

Другой способ рассмотрения вычета Пуанкаре - сначала переосмыслить формулу присоединения как изоморфизм

На открытой площадке U как и раньше, часть является произведением голоморфной функции s с формой df/ж. Вычет Пуанкаре - это отображение, которое переводит клиновидное произведение сечения ωD и часть .

Инверсия присоединения

Формула присоединения неверна, если конормальная точная последовательность не является короткой точной последовательностью. Однако можно использовать эту неудачу, чтобы связать особенности Икс с особенностями D. Теоремы такого типа называются инверсия присоединения. Они являются важным инструментом современной бирациональной геометрии.

Канонический делитель плоской кривой

Позволять - гладкая плоская кривая, вырезанная на степень однородный многочлен . Мы утверждаем, что канонический дивизор равен куда - дивизор гиперплоскости.

Первая работа в аффинной диаграмме . Уравнение становится куда и .Дивизор дифференциала

В любой момент либо так является локальным параметром или так является локальным параметром, и в обоих случаях порядок обращения в нуль в точке равен нулю. Таким образом, все вклады в делитель находятся на бесконечно удаленной линии, .

Теперь посмотри на линию . Предположить, что так что достаточно посмотреть на график с координатами и . Уравнение кривой принимает вид

Следовательно

так

с порядком исчезновения . Следовательно что согласуется с формулой присоединения.

Приложения к кривым

В формула родовой степени для плоских кривых можно вывести из формулы присоединения.[2] Позволять C ⊂ п2 - гладкая плоская кривая степени d и род грамм. Позволять ЧАС класс гиперплоскости в п2, то есть класс линии. Канонический класс п2 равно −3ЧАС. Следовательно, формула присоединения говорит, что ограничение (d − 3)ЧАС к C равен каноническому классу C. Это ограничение аналогично произведению пересечения (d − 3)ЧАС · dH ограниченный C, а значит, степень канонического класса C является d(d−3). Посредством Теорема Римана – Роха, грамм − 1 = (d−3)dграмм + 1, откуда следует формула

По аналогии,[3] если C гладкая кривая на квадратичной поверхности п1×п1 с бидегри (d1,d2) (смысл d1,d2 - степени его пересечения со слоем каждой проекции на п1), поскольку канонический класс п1×п1 имеет бистепень (−2, −2), формула присоединения показывает, что канонический класс C - произведение пересечений дивизоров бистепени (d1,d2) и (d1−2,d2−2). Форма пересечения на п1×п1 является по определению бистепени и билинейности, поэтому применение Римана – Роха дает или же

Род кривой C какой полное пересечение двух поверхностей D и E в п3 также может быть вычислено с использованием формулы присоединения. Предположим, что d и е степени D и E, соответственно. Применяя формулу присоединения к D показывает, что его канонический делитель равен (d − 4)ЧАС|D, который является произведением пересечения (d − 4)ЧАС и D. Делая это снова с E, что возможно, потому что C является полным пересечением, показывает, что канонический дивизор C это продукт (d + е − 4)ЧАС · dH · eH, то есть имеет степень де(d + е − 4). По теореме Римана – Роха отсюда следует, что род C является

В более общем смысле, если C это полное пересечение п − 1 гиперповерхности D1, ..., Dп − 1 степеней d1, ..., dп − 1 в пп, то индуктивное вычисление показывает, что канонический класс C является . Из теоремы Римана – Роха следует, что род этой кривой равен

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Чжан, Цзыюй. «10. Алгебраические поверхности» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2020-02-11.
  2. ^ Хартсхорн, глава V, пример 1.5.1
  3. ^ Хартсхорн, глава V, пример 1.5.2
  • Теория пересечения 2-е издание, Уильям Фултон, Springer, ISBN 0-387-98549-2, Пример 3.2.12.
  • Принципы алгебраической геометрии, Гриффитс и Харрис, библиотека классической литературы Wiley, ISBN 0-471-05059-8 С. 146–147.
  • Алгебраическая геометрия, Робин Хартшорн, Springer GTM 52, ISBN 0-387-90244-9, Предложение II.8.20.