WikiDer > Логарифмическая форма

В контекстах, включая комплексные многообразия и алгебраическая геометрия, а логарифмический дифференциальная форма является мероморфной дифференциальной формой с полюса определенного вида. Концепция была представлена Делинь.^[1]

Позволять Икс - комплексное многообразие, D ⊂ Икс а делитель, а ω - голоморфная п-форма на Икс−D. Если ω и dω имеют полюс порядка не более одного вдоль D, то говорят, что ω имеет логарифмический полюс вдоль D. ω также известен как логарифмический п-форма. Логарифмический п-формы составляют подпучок мероморфного п-форма на Икс с шестом вдоль D, обозначенный

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D).}$

В теории Римановы поверхности, встречаются логарифмические единичные формы, которые имеют локальное выражение

${ displaystyle omega = { frac {df} {f}} = left ({ frac {m} {z}} + { frac {g '(z)} {g (z)}} right ) dz}$

для некоторых мероморфная функция (соотв. рациональная функция) ${ Displaystyle е (г) = г ^ {м} г (г)}$, где грамм голоморфна и отлична от нуля в 0, и м это порядок ж в 0. То есть для некоторых открытое покрытие, существуют локальные представления этой дифференциальной формы в виде логарифмическая производная (немного изменено с внешняя производная d вместо обычного дифференциальный оператор д / дз). Заметим, что у ω есть только простые полюсы с целыми вычетами. На многомерных комплексных многообразиях Остаток Пуанкаре используется для описания характерного поведения логарифмических форм вдоль полюсов.

Голоморфный бревенчатый комплекс

По определению ${ Displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$ и тот факт, что внешняя дифференциация d удовлетворяет d² = 0, имеем

${ Displaystyle d Omega _ {X} ^ {p} ( log D) (U) subset Omega _ {X} ^ {p + 1} ( log D) (U)}$.

Отсюда следует, что существует комплекс пучков ${ displaystyle ( Omega _ {X} ^ { bullet} ( log D), d)}$, известный как голоморфный бревенчатый комплекс соответствующий дивизору D. Это подкомплекс ${ displaystyle j _ {*} Omega _ {X-D} ^ { bullet}}$, где ${ displaystyle j: X-D rightarrow X}$ это включение и ${ Displaystyle Omega _ {XD} ^ { bullet}}$ - комплекс пучков голоморфных форм на Икс−D.

Особый интерес представляет случай, когда D имеет простой нормальные переходы. Тогда если ${ displaystyle {D _ { nu} }}$ - гладкие неприводимые компоненты D, надо ${ Displaystyle D = сумма D _ { nu}}$ с ${ displaystyle D _ { nu}}$ встреча поперек. Локально D объединение гиперплоскостей с локальными определяющими уравнениями вида ${ displaystyle z_ {1} cdots z_ {k} = 0}$ в некоторых голоморфных координатах. Можно показать, что стебель ${ Displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( журнал D)}$ в п удовлетворяет^[2]

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( log D) _ {p} = { mathcal {O}} _ {X, p} { frac {dz_ {1}} {z_ {1} }} oplus cdots oplus { mathcal {O}} _ {X, p} { frac {dz_ {k}} {z_ {k}}} oplus { mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {k + 1} oplus cdots oplus { mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {n}}$

и это

${ Displaystyle Omega _ {X} ^ {k} ( log D) _ {p} = bigwedge _ {j = 1} ^ {k} Omega _ {X} ^ {1} ( log D) _{п}}$.

Некоторые авторы, например,^[3] использовать термин бревенчатый комплекс чтобы обозначить голоморфный лог-комплекс, соответствующий дивизору с нормальными пересечениями.

Пример многомерного

Рассмотрим эллиптическую кривую с проколом, заданную как геометрическое место D сложных точек (Икс,у) удовлетворение ${ Displaystyle г (х, у) = у ^ {2} -f (х) = 0,}$ где ${ Displaystyle е (х) = х (х-1) (х- лямбда)}$ и ${ displaystyle lambda neq 0,1}$ - комплексное число. потом D гладкая неприводимая гиперповерхность в C² и, в частности, дивизор с простыми нормальными пересечениями. Есть мероморфная двойная форма на C²

${ displaystyle omega = { frac {dx wedge dy} {g (x, y)}}}$

у которого есть простой шест вдоль D. Вычет Пуанкаре ^[3] ω вдоль D задается голоморфной одноформной формой

${ displaystyle { text {Res}} _ {D} ( omega) = left. { frac {dy} { partial g / partial x}} right | _ {D} = left.- { frac {dx} { partial g / partial y}} right | _ {D} = left .- { frac {1} {2}} { frac {dx} {y}} right | _ {D}.}$

Жизненно важным для теории вычетов логарифмических форм является Последовательность гизина, что в некотором смысле является обобщением Теорема об остатке для компактных римановых поверхностей. Это можно использовать, например, чтобы показать, что ${ displaystyle dx / y | _ {D}}$ продолжается до голоморфной одноформной формы на проективное замыкание из D в п², гладкая эллиптическая кривая.

Теория Ходжа

Комплекс голоморфных бревен может быть применен к Теория Ходжа комплексных алгебраических многообразий. Позволять Икс - комплексное алгебраическое многообразие и ${ displaystyle j: X hookrightarrow Y}$ хорошая компактификация. Это значит, что Y компактное алгебраическое многообразие и D = Y−Икс является делителем на Y с простыми нормальными переходами. Естественное включение комплексов пучков

${ displaystyle Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D) rightarrow j _ {*} Omega _ {X} ^ { bullet}}$

оказывается квазиизоморфизмом. Таким образом

${ displaystyle H ^ {k} (X; mathbf {C}) = mathbb {H} ^ {k} (Y, Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D))}$

где ${ displaystyle mathbb {H} ^ { bullet}}$ обозначает гиперкогомология комплекса абелевых пучков. Есть^[2] убывающая фильтрация ${ displaystyle W _ { bullet} Omega _ {Y} ^ {p} ( log D)}$ данный

${ Displaystyle W_ {m} Omega _ {Y} ^ {p} ( log D) = { begin {cases} 0 & m <0 Omega _ {Y} ^ {p} ( log D) & m geq p Omega _ {Y} ^ {pm} wedge Omega _ {Y} ^ {m} ( log D) & 0 leq m leq p end {cases}}}$

что наряду с тривиальной возрастающей фильтрацией ${ Displaystyle F ^ { bullet} Omega _ {Y} ^ {p} ( log D)}$ по логарифмической п-формирует, производит фильтрации на когомологиях

${ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; mathbf {C}) = { text {Im}} ( mathbb {H} ^ {k} (Y, W_ {mk} Omega _ { Y} ^ { bullet} ( log D)) rightarrow H ^ {k} (X; mathbf {C}))}$

${ displaystyle F ^ {p} H ^ {k} (X; mathbf {C}) = { text {Im}} ( mathbb {H} ^ {k} (Y, F ^ {p} Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D)) rightarrow H ^ {k} (X; mathbf {C}))}$.

Одно шоу^[2] это ${ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; mathbf {C})}$ действительно можно определить по Q. Тогда фильтрации ${ displaystyle W _ { bullet}, F ^ { bullet}}$ на когомологиях порождают смешанную структуру Ходжа на ${ Displaystyle Н ^ {к} (Х; mathbf {Z})}$.

Классически, например в эллиптическая функция теории, логарифмические дифференциальные формы были признаны дополнительными к дифференциалы первого рода. Иногда их называли дифференциалы второго рода (и, с досадной непоследовательностью, иногда третьего вида). Классическая теория теперь считается одним из аспектов теории Ходжа. Для римановой поверхности S, например, дифференциалы первого рода учитывают член ЧАС^1,0 в ЧАС¹(S), когда Изоморфизм Дольбо это интерпретируется как когомологии пучков группа ЧАС⁰(S, Ω); это тавтологично, учитывая их определение. В ЧАС^1,0 прямое слагаемое в ЧАС¹(S), а также интерпретируется как ЧАС¹(S, O), где O - пучок голоморфные функции на S, можно более конкретно отождествить с векторным пространством логарифмических дифференциалов.

Связка логарифмических форм

В алгебраическая геометрия, то пучок из логарифмический дифференциал п-формы ${ Displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$ на гладкий; плавный проективное разнообразие Икс вдоль гладкой делитель ${ Displaystyle D = сумма D_ {j}}$ определен и вписывается в точная последовательность локально свободных связок:

${ displaystyle 0 to Omega _ {X} ^ {p} to Omega _ {X} ^ {p} ( log D) { overset { beta} { to}} oplus _ {j } {i_ {j}} _ {*} Omega _ {D_ {j}} ^ {p-1} to 0, , p geq 1}$

где ${ displaystyle i_ {j}: D_ {j} to X}$ являются включениями неприводимых дивизоров (а прямые вдоль них продолжаются нулем), а β называется карта остатков когда п равно 1.

Например,^[4] если Икс это закрытая точка на ${ Displaystyle D_ {j}, 1 leq j leq k}$ а не на ${ displaystyle D_ {j}, j> k}$, тогда

${ displaystyle {du_ {1} over u_ {1}}, dots, {du_ {k} over u_ {k}}, , du_ {k + 1}, dots, du_ {n}}$

составляют основу ${ Displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( журнал D)}$ в Икс, где ${ displaystyle u_ {j}}$ местные координаты вокруг Икс такой, что ${ Displaystyle и_ {j}, 1 leq j leq k}$ являются локальными параметрами для ${ Displaystyle D_ {j}, 1 leq j leq k}$.

Смотрите также

• Формула присоединения
• Гомологии Бореля – Мура
• Дифференциал первого рода
• Теорема об остатке
• Остаток Пуанкаре

Рекомендации

• Айс Йохан де Йонг, Алгебраические когомологии де Рама.
• Пьер Делинь, Дифференциальные уравнения в правилах сингулярных точек. Конспект лекций по математике. 163.