WikiDer > Оценочное кольцо

В абстрактная алгебра, а оценочное кольцо является область целостности D так что для каждого элемента Икс своего поле дробей F, по крайней мере, один из Икс или же Икс ⁻¹ принадлежит D.

Учитывая поле F, если D это подкольцо из F так что либо Икс или же Икс ⁻¹ принадлежитD для каждого ненулевого Икс в F, тогда D как говорят кольцо оценки для поля F или место из F. С F в данном случае это действительно поле дробей D, оценочное кольцо для поля - это оценочное кольцо. Другой способ охарактеризовать оценочные кольца поля F это оценочные кольца D из F имеют F как их поле дробей, а их идеалы находятся полностью заказанный путем включения; или, что то же самое, их главные идеалы полностью упорядочены включением. В частности, каждое оценочное кольцо является местное кольцо.

Кольца оценки поля - это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченных господство или же уточнение,^[1] куда

${ displaystyle (А, { mathfrak {m}} _ {A})}$ доминирует ${ displaystyle (B, { mathfrak {m}} _ {B})}$ если ${ Displaystyle A supset B}$ и ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {A} cap B = { mathfrak {m}} _ {B}}$.^[2]

Каждое местное кольцо в поле K преобладает некое оценочное кольцо K.

Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является оценочным кольцом, называется Прюфер домен.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений оценочного кольца (см. Ниже характеристику с точки зрения доминирования). Для области целостности D и это поле дробей K, следующие эквиваленты:

1. Для каждого ненулевого Икс в K, либо Икс в D или же Икс⁻¹ в D.
2. Идеалы D находятся полностью заказанный по включению.
3. Основные идеалы D находятся полностью заказанный включением (т.е.элементы в D полностью заказаны делимость.)
4. Существует полностью заказанный абелева группа Γ (называемый группа значений) и сюръективный групповой гомоморфизм (называемый оценка) ν: K^× → Γ с D = { Икс ∈ K^× | ν (Икс) ≥ 0 } ∪ {0}.

Эквивалентность первых трех определений легко следует. Теорема (Крулль 1939) утверждает, что любое кольцо, удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ как фактор K^×/D^× из группа единиц из K единицей группы D, и в качестве естественной проекции возьмем ν. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченная группа объявив классы вычетов элементов D как "положительные".^[а]

Более того, для любой вполне упорядоченной абелевой группы Γ существует оценочное кольцо D с группой значений Γ (см. Раздел ниже).

Из того факта, что идеалы оценочного кольца полностью упорядочены, можно сделать вывод, что оценочное кольцо является локальной областью, и что каждый конечно порожденный идеал оценочного кольца является главным (т. Е. Оценочное кольцо является Безу домен). Фактически, это теорема Крулля о том, что область целостности является оценочным кольцом тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу.^[3] Из этого также следует, что оценочное кольцо нётерово тогда и только тогда, когда оно главная идеальная область. В данном случае это либо поле, либо ровно один отличный от нуля простой идеал; в последнем случае он называется кольцо дискретной оценки. (По соглашению, поле не является кольцом дискретной оценки.)

Группа значений называется дискретный если оно изоморфно аддитивной группе целых чисел, и кольцо оценки имеет дискретную группу оценки тогда и только тогда, когда это кольцо дискретной оценки.^[4]

Очень редко, оценочное кольцо может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более общий термин для этого типа кольца - "однорядное кольцо".

Примеры

• Любое поле ${ Displaystyle mathbb {F}}$ это оценочное кольцо. Например, кольцо рациональных функций ${ Displaystyle mathbb {F} (X)}$ на алгебраическом многообразии ${ displaystyle X}$.^[5][6]
• Простым не примером является область целостности ${ Displaystyle mathbb {C} [X]}$ поскольку инверсия общего ${ displaystyle f / g in mathbb {C} (X)}$ является ${ Displaystyle г / е не в mathbb {C} [X]}$
• Поле степенного ряда:

${ displaystyle mathbb {F} ((X)) = left {f (X) = sum _ {i> - infty} ^ { infty} a_ {i} X ^ {i} right }}$

имеет оценку ${ displaystyle v (f) = inf nolimits _ {a_ {n} neq 0} n}$. Подкольцо ${ Displaystyle mathbb {F} [[X]]}$ это также оценочное кольцо.

• ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {(p)},}$ то локализация целых чисел ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ в простом идеале (п), состоящий из соотношений, где числитель - любое целое число, а знаменатель не делится на п. Поле дробей - это поле рациональных чисел. ${ displaystyle mathbb {Q}.}$
• Кольцо мероморфные функции в целом комплексная плоскость которые имеют Серия Маклорена (Серия Тейлор расширение в нуле) является оценочным кольцом. Поле дробей - это функции, мероморфные на всей плоскости. Если ж не имеет серии Маклорена, то 1 /ж делает.
• Любое кольцо p-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ для данного прайма п это местное кольцо, с полем дробей п-адические числа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$. В целостное закрытие ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p} ^ { text {cl}}}$ из п-адические числа также является локальным кольцом с полем дробей ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p} ^ { text {cl}}}$ (алгебраическое замыкание п-адические числа). Обе ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ и ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p} ^ { text {cl}}}$ оценочные кольца.
• Позволять k быть упорядоченное поле. Элемент k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами п < Икс < м; в противном случае он называется бесконечным. Набор D конечных элементов k это оценочное кольцо. Набор элементов Икс такой, что Икс ∈ D и Икс⁻¹∉D это набор бесконечно малый элементы; и элемент Икс такой, что Икс ∉ D и Икс⁻¹ ∈ D называется бесконечным.
• Кольцо F конечных элементов гиперреальное поле *р (упорядоченное поле, содержащее действительные числа) представляет собой оценочное кольцо *р. F состоит из всех гиперреальных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, что эквивалентно произнесению гиперреального числа Икс такой, что -п < Икс < п для некоторого стандартного целого числа п. В поле вычетов, конечные гиперреалистические числа по модулю идеала бесконечно малых гиперреальных чисел, изоморфны действительным числам.
• Обычный геометрический пример взят из алгебраические плоские кривые. Рассмотрим кольцо многочленов ${ displaystyle mathbb {C} [x, y]}$ и неприводимый многочлен ${ displaystyle f}$ в этом кольце. Тогда кольцо ${ Displaystyle mathbb {C} [х, у] / (е)}$ кольцо полиномиальных функций на кривой ${ Displaystyle {(х, у): е (х, у) = 0 }}$. Выберите точку ${ Displaystyle P = (P_ {x}, P_ {y}) in mathbb {C} ^ {2}}$ такой, что ${ Displaystyle f (P) = 0}$ и это обычная точка на кривой; т.е. локальное кольцо р в данный момент обычное местное кольцо измерения Крулля один или кольцо дискретной оценки.
• Например, рассмотрим включение ${ Displaystyle ( mathbb {C} [[X ^ {2}]], (X ^ {2})) hookrightarrow ( mathbb {C} [[X]], (X))}$. Все это подкольца в поле степенных рядов с ограниченным снизу ${ Displaystyle mathbb {C} ((X))}$.

Строительство

Для данной вполне упорядоченной абелевой группы Γ и вычета поле k, определять K = k((Γ)) быть кольцо формального степенного ряда мощности которого исходят от Γ, т. е. элементы K - функции из Γ в k так что поддерживать (элементы Γ, где значение функции не является нулем k) каждой функции является хорошо организованный подмножество Γ. Сложение является поточечным, а умножение Продукт Коши или свертка, что является естественной операцией при просмотре функций как степенных рядов:

${ Displaystyle сумма _ {г в G} е (г) х ^ {г}}$ с ${ displaystyle x ^ {g} cdot x ^ {h} = x ^ {g + h}.}$

Оценка ν (ж) за ж в K определяется как наименьший элемент поддержки ж, это наименьший элемент грамм Γ такая, что ж(грамм) отличен от нуля. В ж с ν (ж) ≥0 (вместе с 0 в K), образуют подкольцо D из K то есть оценочное кольцо с группой значений Γ, оценкой ν и полем вычетов k. Эта конструкция подробно описана в (Fuchs & Salce 2001, pp. 66–67), и следует построению (Крулл 1939), в котором вместо степенных рядов используются частные от многочленов.

Доминирование и целостное закрытие

В единицы, или обратимые элементы, оценочного кольца - это элементы Икс такой, что Икс ⁻¹ также является членом D. Остальные элементы D, называемые неединицами, не имеют обратного и образуют идеальную M. Этот идеал является максимальным среди (полностью упорядоченных) идеалов группы D. Поскольку M это максимальный идеал, то кольцо частного D/M это поле, называемое поле вычетов из D.

В общем, мы говорим местное кольцо ${ displaystyle (S, { mathfrak {m}} _ {S})}$ доминирует на местном ринге ${ displaystyle (R, { mathfrak {m}} _ {R})}$ если ${ Displaystyle S supset R}$ и ${ Displaystyle { mathfrak {m}} _ {S} cap R = { mathfrak {m}} _ {R}}$; другими словами, включение ${ Displaystyle R подмножество S}$ это локальный гомоморфизм колец. Каждое местное кольцо ${ displaystyle (А, { mathfrak {p}})}$ в поле K доминирует некое оценочное кольцо K. Действительно, множество, состоящее из всех подколец р из K содержащий А и ${ displaystyle 1 not in { mathfrak {p}} R}$ непусто и индуктивно; таким образом, имеет максимальный элемент ${ displaystyle R}$ по лемме Цорна. Мы утверждаем р это оценочное кольцо. р является локальным кольцом с максимальным идеалом, содержащим ${ Displaystyle { mathfrak {p}} R}$ по максимальности. Снова по максимальности он также целиком замкнут. Сейчас если ${ Displaystyle х not in R}$, то по максимальности ${ Displaystyle { mathfrak {p}} R [x] = R [x]}$ и таким образом мы можем написать:

${ displaystyle 1 = r_ {0} + r_ {1} x + cdots + r_ {n} x ^ {n}, quad r_ {i} in { mathfrak {p}} R}$.

С ${ displaystyle 1-r_ {0}}$ является единичным элементом, отсюда следует, что ${ displaystyle x ^ {- 1}}$ является целым над р; таким образом находится в р. Это доказывает р это оценочное кольцо. (р доминирует А поскольку его максимальный идеал содержит ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ по конструкции.)

Местное кольцо р в поле K является оценочным кольцом тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K частично упорядочено господством. Это легко следует из сказанного выше.^[b]

Позволять А быть подкольцом поля K и ${ displaystyle f: от A до k}$ гомоморфизм колец в алгебраически замкнутое поле k. потом ж продолжается до гомоморфизма колец ${ displaystyle g: D to k}$, D какое-то кольцо оценки K содержащий А. (Доказательство: пусть ${ displaystyle g: R to k}$ - максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности р - локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащее ядро ж. Если S местное кольцо доминирует р, тогда S алгебраичен над р; если не, ${ displaystyle S}$ содержит кольцо многочленов ${ Displaystyle R [х]}$ которому грамм расширяется, противоречие с максимальностью. Следует ${ Displaystyle S / { mathfrak {m}} _ {S}}$ является алгебраическим расширением поля ${ Displaystyle R / { mathfrak {m}} _ {R}}$. Таким образом, ${ displaystyle S to S / { mathfrak {m}} _ {S} hookrightarrow k}$ расширяет грамм; следовательно, S = р.)

Если подкольцо р поля K содержит оценочное кольцо D из K, то, проверяя определение 1, р также является оценочным кольцом K. Особенно, р является локальным и его максимальный идеал стягивается к некоторому первичному идеалу D, сказать, ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. потом ${ Displaystyle R = D _ { mathfrak {p}}}$ поскольку ${ displaystyle R}$ доминирует ${ displaystyle D _ { mathfrak {p}}}$, которое является оценочным кольцом, поскольку идеалы тотально упорядочены. Это наблюдение относится к следующему:^[7] есть биективное соответствие ${ Displaystyle { mathfrak {p}} mapsto D _ { mathfrak {p}}, operatorname {Spec} (D) to}$ набор всех подколец K содержащий D. Особенно, D целозамкнуто,^[8][c] и Измерение Крулля из D это мощность собственных подстрок K содержащий D.

Фактически, целостное закрытие области целостности А в области дробей K из А является пересечением всех колец оценки K содержащий А.^[9] Действительно, интегральное замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца нормирования интегрально замкнуты. Наоборот, пусть Икс быть в K но не интегрально А. Поскольку идеальный ${ Displaystyle х ^ {- 1} А [х ^ {- 1}]}$ не является ${ Displaystyle А [х ^ {- 1}]}$,^[d] он содержится в максимальном идеале ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. Тогда есть оценочное кольцо р что доминирует в локализации ${ Displaystyle А [х ^ {- 1}]}$ в ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. С ${ displaystyle x ^ {- 1} in { mathfrak {m}} _ {R}}$, ${ Displaystyle х not in R}$.

Доминирование используется в алгебраической геометрии. Позволять Икс - алгебраическое многообразие над полем k. Затем мы говорим оценочное кольцо р в ${ Displaystyle к (Х)}$ имеет "центр Икс на Икс" если ${ displaystyle R}$ доминирует на местном ринге ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {x, X}}$ структурного пучка на Икс.^[10]

Идеалы в оценочных кольцах

Мы можем описать идеалы в оценочном кольце с помощью его ценностной группы.

Пусть Γ - полностью упорядоченная абелева группа. Подмножество ∆ в Γ называется сегмент если он непустой и для любого α в Δ любой элемент между -α и α также находится в Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированная подгруппа если это сегмент и собственная подгруппа.

Позволять D быть оценочным кольцом с оценкой v и группа значений Γ. Для любого подмножества А из D, мы позволяем ${ displaystyle Gamma _ {A}}$ быть дополнением к объединению ${ displaystyle v (A-0)}$ и ${ displaystyle -v (A-0)}$ в ${ displaystyle Gamma}$. Если я является собственным идеалом, то ${ displaystyle Gamma _ {I}}$ это сегмент ${ displaystyle Gamma}$. Фактически, отображение ${ Displaystyle I mapsto Gamma _ {I}}$ определяет обращающую включение биекцию между множеством собственных идеалов D и набор сегментов ${ displaystyle Gamma}$.^[11] При этом соответствии ненулевые первичные идеалы D биективно соответствуют изолированным подгруппам группы Γ.

Пример: кольцо п-адические целые числа ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ оценочное кольцо с ценностной группой ${ Displaystyle mathbb {Z}}$. Нулевая подгруппа группы ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ соответствует единственному максимальному идеалу ${ Displaystyle (р) подмножество mathbb {Z} _ {p}}$ и вся группа к нулевому идеалу. Максимальный идеал - единственная изолированная подгруппа группы ${ Displaystyle mathbb {Z}}$.

Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. В высота или же классифицировать р(Γ) графа Γ определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ. Поскольку ненулевые первичные идеалы вполне упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам в Γ, высота Γ равна высоте Измерение Крулля оценочного кольца D связанный с Γ.

Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой группы действительные числа ℝ при добавлении (или эквивалентно положительные действительные числа ℝ⁺ при умножении.) Оценочное кольцо с оценкой высоты один имеет соответствующий абсолютная величина определение ультраметрический место. Особым случаем этого являются дискретные оценочные кольца упомянутый ранее.

В рациональный ранг rr(Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы,

${ displaystyle mathrm {dim} _ { mathbb {Q}} ( Gamma otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {Q}).}$

Места

Общее определение

А место поля K является гомоморфизмом колец п из оценочного кольца D из K в какое-то поле такое, что для любого ${ Displaystyle х not in D}$, ${ displaystyle p (1 / x) = 0}$. Образ места - это поле, называемое поле вычетов из п. Например, каноническая карта ${ displaystyle D to D / { mathfrak {m}} _ {D}}$ это место.

Пример

Позволять А быть Дедекиндский домен и ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ главный идеал. Тогда каноническое отображение ${ Displaystyle А _ { mathfrak {p}} to k ({ mathfrak {p}})}$ это место.

Специализация мест

Мы говорим место п специализируется на место п', обозначается ${ displaystyle p rightsquigarrow p '}$, если оценочное кольцо п содержит оценочное кольцо п'. В алгебраической геометрии мы говорим простой идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ специализируется на ${ Displaystyle { mathfrak {p}} '}$ если ${ Displaystyle { mathfrak {p}} subset { mathfrak {p}} '}$. Эти два понятия совпадают: ${ displaystyle p rightsquigarrow p '}$ тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий п специализируется на простом идеале, соответствующем п' в некотором оценочном кольце (напомним, что если ${ Displaystyle D supset D '}$ являются оценочными кольцами одного поля, то D соответствует простому идеалу ${ displaystyle D '}$.)

Пример

Например, в поле функции ${ Displaystyle mathbb {F} (X)}$ некоторого алгебраического многообразия ${ displaystyle X}$ каждый главный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}} in { text {Spec}} (R)}$ содержится в максимальном идеале ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ дает специализацию ${ Displaystyle { mathfrak {p}} rightsquigarrow { mathfrak {m}}}$.

Замечания

Можно показать: если ${ displaystyle p rightsquigarrow p '}$, тогда ${ displaystyle p '= q circ p | _ {D'}}$ для какого-то места q поля вычетов ${ Displaystyle к (р)}$ из п. (Наблюдать ${ Displaystyle p (D ')}$ это кольцо оценки ${ Displaystyle к (р)}$ и разреши q быть соответствующим местом; остальное механическое.) Если D это кольцо оценки п, то его размерность Крулля равна мощности других специализаций, кроме п к п. Таким образом, для любого места п с оценочным кольцом D поля K над полем k, у нас есть:

${ displaystyle operatorname {tr.deg} _ {k} k (p) + dim D leq operatorname {tr.deg} _ {k} K}$.

Если п это место и А является подкольцом оценочного кольца п, тогда ${ displaystyle operatorname {ker} (p) cap A}$ называется центр из п в А.

Места в бесконечности

Для функционального поля на аффинном многообразии ${ displaystyle X}$ есть оценки, которые не связаны ни с одним из простых чисел ${ displaystyle X}$. Эти оценки называются места в бесконечности.[1] Например, аффинная линия ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {1}}$ имеет функциональное поле ${ Displaystyle к (х)}$. Место, связанное с локализацией

${ displaystyle k left [{ frac {1} {x}} right]}$

на максимальном идеале

${ displaystyle { mathfrak {m}} = left ({ frac {1} {x}} right)}$

это место в бесконечности.

Примечания

Цитаты

Источники