WikiDer > Безу домен
В математика, а Безу домен это форма Прюфер домен. Это область целостности в котором сумма двух главные идеалы снова главный идеал. Это означает, что для каждой пары элементов a Безу личность держит, и что каждый конечно порожденный идеал является основным. Любой главная идеальная область (PID) - это домен Безу, но домен Безу не обязательно должен быть Кольцо Нётериана, поэтому у него могут быть неконечно порожденные идеалы (что, очевидно, исключает PID); если так, то это не уникальная область факторизации (УФД), но по-прежнему GCD домен. Теория доменов Безу сохраняет многие свойства PID, не требуя нётерова свойства. Домены Bézout названы в честь Французский математик Этьен Безу.
Примеры
- Все PID - это домены Безу.
- Примеры доменов Безу, которые не являются PID, включают кольцо целые функции (функции, голоморфные на всей комплексной плоскости) и кольцо всех алгебраические целые числа.[1] В случае целых функций единственными неприводимыми элементами являются функции связано с полиномиальная функция степени 1, поэтому элемент имеет факторизацию, только если он имеет конечное число нулей. В случае целых алгебраических чисел неприводимых элементов нет вообще, поскольку для любого целого алгебраического числа его квадратный корень (например) также является целым алгебраическим числом. В обоих случаях это показывает, что кольцо не является UFD и, конечно же, не PID.
- Оценочные кольца являются доменами Безу. Любое нётерово оценочное кольцо является примером нётеровой области Безу.
- Следующая общая конструкция дает область Безу S это не UFD из любого домена Безу р это не поле, например, из PID; дело р = Z это основной пример, который следует иметь в виду. Позволять F быть поле дробей из р, и положи S = р + XF[Икс], подкольцо многочленов из F[Икс] с постоянным членом в р. Это кольцо не нётеровское, поскольку такой элемент, как Икс с нулевым постоянным членом можно бесконечно делить на необратимые элементы р, которые по-прежнему необратимы в S, и идеал, порожденный всеми этими факторами, не является конечно порожденным (и поэтому Икс не имеет факторизации S). Как показано ниже, S является областью Безу.
- Достаточно доказать, что для каждой пары а, б в S существуют s, т в S такой, что в качестве + bt разделяет оба а и б.
- Если а и б иметь общий делитель d, достаточно доказать это для а/d и б/d, поскольку тот же s, т Сделаю.
- Можно считать, что многочлены а и б ненулевой; если оба имеют нулевой постоянный член, то пусть п - минимальный показатель такой, что хотя бы один из них имеет ненулевой коэффициент при Иксп; можно найти ж в F такой, что fXп является общим делителем а и б и разделить на него.
- Таким образом, мы можем предположить хотя бы одно из а, б имеет ненулевой постоянный член. Если а и б рассматривается как элементы F[Икс] не являются взаимно простыми, существует наибольший общий делитель числа а и б в этом УФД, который имеет постоянный член 1 и, следовательно, лежит в S; мы можем разделить на этот коэффициент.
- Поэтому мы можем также предположить, что а и б относительно просты в F[Икс], так что 1 лежит в aF[Икс] + bF[Икс], и некоторый постоянный многочлен р в р лежит в в качестве + bS. Кроме того, поскольку р является доменом Безу, gcd d в р постоянных условий а0 и б0 лежит в а0р + б0р. Поскольку любой элемент без постоянного члена, например а − а0 или же б − б0, делится на любую ненулевую константу, постоянная d является общим делителем в S из а и б; мы покажем, что это на самом деле наибольший общий делитель, показав, что он лежит в в качестве + bS. Умножение а и б соответственно коэффициентами Безу при d относительно а0 и б0 дает многочлен п в в качестве + bS с постоянным сроком d. потом п − d имеет нулевой постоянный член, и поэтому кратно S постоянного полинома р, и поэтому лежит в в качестве + bS. Но потом d делает то же самое, что завершает доказательство.
Характеристики
Кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью целостности, в которой любые два элемента имеют наибольший общий делитель это линейная комбинация из них: это эквивалентно утверждению, что идеал, порожденный двумя элементами, также порождается одним элементом, а индукция показывает, что все конечно порожденные идеалы являются главными. Выражение наибольшего общего делителя двух элементов PID в виде линейной комбинации часто называют Личность Безу, откуда и терминология.
Обратите внимание, что указанное выше условие gcd сильнее, чем простое существование gcd. Область целостности, в которой НОД существует для любых двух элементов, называется GCD домен и таким образом домены Безу являются доменами GCD. В частности, в области Безу неприводимые находятся основной (но, как показывает пример с алгебраическими целыми числами, они могут не существовать).
Для домена Безу р, все следующие условия эквивалентны:
- р является главной идеальной областью.
- р Нётерян.
- р это уникальная область факторизации (УрФО).
- р удовлетворяет условие возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP).
- Каждая ненулевая неединица в р множителей в произведение неприводимых (R - атомарный домен).
Эквивалентность (1) и (2) отмечена выше. Поскольку область Безу является областью НОД, немедленно следует, что (3), (4) и (5) эквивалентны. Наконец, если р не является нётеровым, то существует бесконечная восходящая цепочка конечно порожденных идеалов, поэтому в области Безу - бесконечная восходящая цепочка главных идеалов. Таким образом, (4) и (2) эквивалентны.
Домен Безу - это Прюфер домен, т. е. область, в которой каждый конечно порожденный идеал обратим, или, иначе говоря, коммутативный полунаследственный домен.)
Следовательно, можно рассматривать эквивалентность «домен Безу, если и только если, прюферский домен и GCD-домен» как аналог более известного «PID, если и только если. Дедекиндский домен и УрФО ».
Прюферовские домены можно охарактеризовать как целостные домены, локализации вообще основной (равносильно вообще максимальный) идеалы оценка доменов. Таким образом, локализация области Безу в простом идеале - это область оценки. Поскольку обратимый идеал в местное кольцо является главным, локальное кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью оценки. Более того, область оценки с нециклическими (что эквивалентно не-дискретный) группа значений не нётерова, и каждый полностью заказанный абелева группа - группа значений некоторой области оценки. Это дает множество примеров нётеровых областей Безу.
В некоммутативной алгебре правые домены Безу - области, конечно порожденные правые идеалы которых являются главными правыми идеалами, т. е. имеют вид xR для некоторых Икс в р. Одним из примечательных результатов является то, что правильный домен Безу является правильным Рудный домен. В коммутативном случае этот факт не интересен, так как каждый Коммутативный домен - это домен Оре. Правые области Безу также являются полунаследственными справа кольцами.
Модули над доменом Безу
Некоторые факты о модулях над PID распространяются на модули над доменом Безу. Позволять р быть областью Безу и M конечно порожденный модуль над р. потом M плоский тогда и только тогда, когда он без кручения.[2]
Смотрите также
- Семифирь (коммутативная полутень - это в точности область Безу.)
- Кольцо Bézout
Рекомендации
- ^ Кон
- ^ Бурбаки 1989, Гл. I, §2, № 4, предложение 3
- Кон, П. М. (1968), "Кольца Безу и их подкольца" (PDF), Proc. Cambridge Philos. Soc., 64: 251–264, Дои:10,1017 / с0305004100042791, МИСТЕР 0222065
- Хелмер, Олаф (1940), "Свойства делимости интегральных функций", Duke Math. Дж., 6: 345–356, Дои:10.1215 / s0012-7094-40-00626-3, ISSN 0012-7094, МИСТЕР 0001851
- Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца, Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, МИСТЕР 0254021
- Бурбаки, Николас (1989), Коммутативная алгебра
- "Кольцо Безу", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]