WikiDer > Теорема Клеро - Википедия

Рисунок 1: Эллипсоид

Рисунок 2: Каркасная визуализация эллипсоида (сплюснутый сфероид)

Теорема Клеро характеризует поверхностную гравитацию на вязком вращающемся эллипсоид в равновесии под действием его гравитационного поля и центробежной силы. Он был опубликован в 1743 г. Алексис Клод Клеро в трактате^[1] который синтезировал физические и геодезические доказательства того, что Земля представляет собой сжатую вращательную эллипсоид.^[2][3] Первоначально он использовался, чтобы связать гравитацию в любой точке на поверхности Земли с положением этой точки, что позволяло эллиптичность Земли, который будет рассчитан на основе измерений силы тяжести на разных широтах. Сегодня его в значительной степени вытеснил Уравнение сомильяны.

История

Хотя с древних времен было известно, что Земля сферическая, к 17 веку накапливались свидетельства того, что это не идеальная сфера. В 1672 г. Жан Рише нашли первое свидетельство того, что гравитация не постоянна над Землей (как было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы к Cayenne, Французская Гвиана и обнаружил, что потерял2 ¹⁄₂ минут в день по сравнению со скоростью в Париже.^[4][5] Это указывало на ускорение свободного падения на Кайенне было меньше, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали использовать в путешествиях в отдаленные уголки мира, и постепенно было обнаружено, что гравитация плавно увеличивается с увеличением широты, причем гравитационное ускорение на полюсах примерно на 0,5% больше, чем на экваторе.

Британский физик Исаак Ньютон объяснил это в своем Principia Mathematica (1687), в котором он изложил свою теорию и расчеты формы Земли. Ньютон правильно предположил, что Земля не совсем сфера, но имеет сплюснутый эллипсоидальный форма, слегка приплюснутая на полюсах из-за центробежная сила его вращения. Поскольку поверхность Земли находится ближе к центру на полюсах, чем на экваторе, гравитация там сильнее. Используя геометрические вычисления, он привел конкретные аргументы в пользу гипотетической эллипсоидной формы Земли.^[6]

Цель Principia заключалась не в том, чтобы дать точный ответ на естественные явления, а в теоретическом обосновании возможных решений этих неразрешенных в науке факторов. Ньютон подтолкнул ученых к более глубокому изучению необъяснимых переменных. Два выдающихся исследователя, которых он вдохновил, были Алексис Клеро и Пьер Луи Мопертюи. Они оба стремились доказать справедливость теории Ньютона о форме Земли. Для этого они отправились в экспедицию в Лапландия в попытке точно измерить дуга меридиана. По таким измерениям они могли рассчитать эксцентриситет Земли, степень ее отклонения от идеальной сферы. Клеро подтвердил, что теория Ньютона о том, что Земля имеет форму эллипса, верна, но его расчеты были ошибочными, и написал письмо Лондонское королевское общество с его выводами.^[7] Общество опубликовало статью в Философские труды в следующем году, в 1737 году, обнаружилось его открытие. Клеро показал, насколько неверны уравнения Ньютона, и не доказал, что Земля имеет форму эллипсоида.^[8] Однако он исправил проблемы с теорией, что фактически подтвердило правильность теории Ньютона. Клеро считал, что у Ньютона были причины для выбора той формы, которую он сделал, но он не поддерживал ее в Principia. Статья Клеро также не содержала действительного уравнения, подтверждающего его аргументы. Это вызвало много споров в научном сообществе.

Только когда Клеро написал Теория де ла фигура де ла терр в 1743 г. был дан правильный ответ. В ней он провозгласил то, что сегодня более формально известно как теорема Клеро.

Формула

Формула Клеро для ускорения свободного падения грамм на поверхности сфероида на широте φ была:^[9][10]

${ displaystyle g ( varphi) = G_ {e} left [1+ left ({ frac {5} {2}} m-f right) sin ^ {2} varphi right] ,}$

куда ${ displaystyle G_ {e}}$ - величина ускорения свободного падения на экваторе, м отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, и ж то сплющивание из меридиан участок земли, определяемый как:

${ displaystyle f = { frac {a-b} {a}} ,}$

(куда а = большая полуось, б = малая полуось).

Клеро вывел формулу в предположении, что тело состоит из концентрических коаксиальных сфероидальных слоев постоянной плотности.^[11] Эту работу впоследствии продолжили Лаплас, который ослабил первоначальное предположение о том, что поверхности одинаковой плотности являются сфероидами.^[12]Стокса в 1849 году показал, что теорема применима к любому закону плотности, если внешняя поверхность является сфероидом равновесия.^[13][14] История предмета и более подробные уравнения для грамм можно найти в Хан.^[15]

Уравнение сомильяны

Вышеприведенное выражение для грамм был вытеснен уравнением Сомильяны (после Карло Сомильяна):

${ displaystyle g ( varphi) = G_ {e} left [{ frac {1 + k sin ^ {2} varphi} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} varphi}}} right], , !}$

куда,

• ${ displaystyle e ^ {2} = { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ это сфероид эксцентриситет, в квадрате;
• ${ displaystyle G_ {e}, G_ {p}}$ - заданная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• ${ displaystyle k = { frac {bG_ {p} -aG_ {e}} {aG_ {e}}}}$ (постоянная формула);

Для Земли, ${ displaystyle G_ {e}}$ = 9,7803253359 мс⁻²; ${ displaystyle G_ {p}}$ = 9,8321849378 мс⁻²; k = 0.00193185265241 ; е² = 0.00669437999013:^{[16] [17]}

${ displaystyle g ( varphi) = 9.7803253359 left [{ frac {1 + 0.00193185265241 sin ^ {2} varphi} { sqrt {1-0.00669437999013 sin ^ {2} varphi}}} right] , mathrm {ms} ^ {- 2}.}$

Геодезия

Сфероидальная форма Земли - результат взаимодействия между сила тяжести и центробежная сила вызванный вращением Земли вокруг своей оси.^[18][19] В его Principia, Ньютон предложил равновесную форму однородной вращающейся Земли в виде эллипсоида вращения с уплощением ж дано 1/230.^[20][21] В результате сила тяжести увеличивается от экватора к полюсам. Применяя теорему Клеро, Лаплас из 15 значений силы тяжести найдено, что ж = 1/330. Современная оценка - 1 / 298,25642.^[22] Видеть Фигура Земли для более подробной информации.

Для подробного описания конструкции эталонная модель Земли геодезии см. Chatfield.^[23]

Рекомендации