WikiDer > Теорема о замкнутом диапазоне

в математический теория Банаховы пространства, то теорема о замкнутом диапазоне дает необходимые и достаточные условия для закрыто плотно определенный оператор иметь закрыто классифицировать.

История

Теорема была доказана Стефан Банах в его 1932 году Теория линейных операций.

Заявление

Позволять ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ - банаховы пространства, ${displaystyle Tcolon D (T) o Y}$ замкнутый линейный оператор, область определения ${displaystyle D (T)}$ плотно в ${displaystyle X}$, и ${displaystyle T '}$ в транспонировать из ${displaystyle T}$. Теорема утверждает, что следующие условия эквивалентны:

• ${displaystyle R (T)}$, диапазон ${displaystyle T}$, закрыто в ${displaystyle Y}$,
• ${displaystyle R (T ')}$, диапазон ${displaystyle T '}$, закрыто в ${displaystyle X '}$, то двойной из ${displaystyle X}$,
• ${displaystyle R (T) = N (T ') ^ {perp} = {yin Y | langle x ^ {*}, yangle = 0quad {ext {for all}} quad x ^ {*} в N (T') }}$,
• ${displaystyle R (T ') = N (T) ^ {perp} = {x ^ {*} in X' | langle x ^ {*}, yangle = 0quad {ext {for all}} quad yin N (T) }}$.

Где ${displaystyle N (T)}$ и ${displaystyle N (T ')}$ являются пустым пространством ${displaystyle T}$ и ${displaystyle T '}$, соответственно.

Следствия

Несколько следствий непосредственно из теоремы. Например, плотно определенный замкнутый оператор ${displaystyle T}$ как указано выше ${displaystyle R (T) = Y}$ если и только если транспонировать ${displaystyle T '}$ имеет непрерывный обратный. По аналогии, ${displaystyle R (T ') = X'}$ если и только если ${displaystyle T}$ имеет непрерывный обратный.

Рекомендации

• Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-11. Получено 2020-07-11.
• Йосида, К. (1980), Функциональный анализ, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Фундаментальные принципы математических наук), т. 123 (6-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.