WikiDer > Близость (математика)

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: Математика "близости" – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Август 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Близость это основная концепция в топология и смежных областях в математика. Интуитивно мы говорим, что два множества близки, если они расположены произвольно близко друг к другу. Это понятие можно естественным образом определить в метрическое пространство где определено понятие расстояния между элементами пространства, но его можно обобщить на топологические пространства где у нас нет конкретного способа измерения расстояний.

Обратите внимание на разницу между близость, который описывает связь между двумя множествами, и закрытость, который описывает единый набор.

В оператор закрытия закрывается заданный набор, отображая его в закрытый набор который содержит исходный набор и все близкие к нему точки. Понятие близости связано с предельная точка.

Определение

Учитывая метрическое пространство ${ displaystyle (X, d)}$ точка ${ displaystyle p}$ называется близко или около к набору ${ displaystyle A}$ если

${ displaystyle d (p, A) = 0}$,

где расстояние между точкой и набором определяется как

${ Displaystyle d (p, A): = inf _ {a in A} d (p, a)}$.

Аналогично множество ${ displaystyle B}$ называется близко к набору ${ displaystyle A}$ если

${ displaystyle d (B, A) = 0}$

где

${ Displaystyle d (B, A): = inf _ {b in B} d (b, A)}$.

Свойства

• если точка ${ displaystyle p}$ близок к набору ${ displaystyle A}$ и набор ${ displaystyle B}$ тогда ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ близки ( разговаривать это не правда!).
• близость между точкой и множеством сохраняется непрерывные функции
• близость между двумя наборами сохраняется равномерно непрерывные функции

Отношение близости между точкой и множеством

Позволять ${ displaystyle V}$ быть некоторым набором. Связь между точками ${ displaystyle V}$ и подмножества ${ displaystyle V}$ является отношением близости, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Позволять ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ быть двумя подмножествами ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle p}$ точка в ${ displaystyle V}$.^[1]

• Если ${ displaystyle p in A}$ тогда ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle A}$.
• если ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle A}$ тогда ${ Displaystyle А neq emptyset}$
• если ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle A}$ и ${ Displaystyle B supset A}$ тогда ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle B}$
• если ${ displaystyle p}$ близко к ${ Displaystyle A чашка B}$ тогда ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle A}$ или ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle B}$
• если ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle A}$ и за каждую точку ${ displaystyle a in A}$, ${ displaystyle a}$ близко к ${ displaystyle B}$, тогда ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle B}$.

В топологические пространства встроена взаимосвязь близости: определение точки ${ displaystyle p}$ быть близким к подмножеству ${ displaystyle A}$ если и только если ${ displaystyle p}$ находится в закрытии ${ displaystyle A}$ удовлетворяет указанным выше условиям. Аналогичным образом, для данного набора с отношением близости, определяя точку ${ displaystyle p}$ быть в закрытии подмножества ${ displaystyle A}$ если и только если ${ displaystyle p}$ близко к ${ displaystyle A}$ удовлетворяет Аксиомы замыкания Куратовского. Таким образом, определение отношения близости на множестве в точности эквивалентно определению топологии на этом множестве.

Отношение близости между двумя наборами

Позволять ${ displaystyle A}$,${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ быть наборами.

• если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ тогда близки ${ Displaystyle А neq emptyset}$ и ${ Displaystyle B neq emptyset}$
• если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ тогда близки ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle A}$ близки
• если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ близки и ${ displaystyle B subset C}$ тогда ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle C}$ близки
• если ${ displaystyle A}$ и ${ Displaystyle B чашка C}$ близки то либо ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ близки или ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle C}$ близки
• если ${ displaystyle A cap B neq emptyset}$ тогда ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ близки

Обобщенное определение

Отношение близости между множеством и точкой можно обобщить на любое топологическое пространство. Учитывая топологическое пространство и точку ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle p}$ называется близко к набору ${ displaystyle A}$ если ${ displaystyle p in operatorname {cl} (A) = { overline {A}}}$.

Чтобы определить отношение близости между двумя наборами, топологическая структура слишком слабая, и мы должны использовать единообразная структура. Учитывая однородное пространство, наборы А и B называются близко друг к другу, если они пересекают все свита, то есть для любого антуража U, (А×B)∩U не пусто.

Смотрите также

• Топологическое пространство
• Единое пространство

использованная литература