WikiDer > Коммутативная магма
эта статья не цитировать любой источники. (Апрель 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, существуют магмы которые коммутативный но нет ассоциативный. Простой пример такой магмы может быть получен из детской игры в камень ножницы Бумага. Такие магмы дают начало неассоциативные алгебры.
Коммутативная неассоциативная магма, полученная из игры "камень, ножницы, бумага"
Позволять , обозначающие жесты "камень", "бумага" и "ножницы" соответственно, и рассмотрим бинарная операция вытекает из правил игры следующим образом:
- Для всех :
- Если и удары в игре, то
- Т.е. каждый является идемпотент.
- Так что например:
- «бумага бьет камень»;
- "ножницы завяжите ножницами".
Это приводит к Стол Кэли:
По определению магма коммутативен, но также не ассоциативен, как показано:
но
т.е.
Другие примеры
"иметь в виду"операция на рациональное число (или любая замкнутая коммутативная система счисления) также коммутативна, но не в общем ассоциативна, например
но
Как правило, означает операции изучаемые в топологии не обязательно должны быть ассоциативными.
Конструкция, примененная в предыдущем разделе к «камень-ножницы-бумага», легко применима к вариантам игры с другим количеством жестов, как описано в разделе Вариации, пока есть два игрока и условия между ними симметричны; более абстрактно, это может быть применено к любому трихотомический бинарное отношение (как "биты" в игре). Результирующая магма будет ассоциативной, если отношение транзитивно и, следовательно, является (строгим) общий заказ; в противном случае, если он конечен, он содержит направленные циклы (например, камень-ножницы-бумага-камень), и магма не ассоциативна. Чтобы увидеть последнее, рассмотрите возможность объединения всех элементов в цикле в обратном порядке, то есть так, чтобы каждый объединенный элемент превосходил предыдущий; результатом является последний объединенный элемент, в то время как ассоциативность и коммутативность будут означать, что результат зависит только от набора элементов в цикле.
Нижний ряд в Диаграмма Карно выше приведены дополнительные примеры операций, определенных на целые числа (или любой коммутативное кольцо).
Производные коммутативные неассоциативные алгебры
Используя пример камень-ножницы-бумага, можно построить коммутативный неассоциативный алгебра над полем : брать быть трехмерным векторное пространство над элементы которого записываются в виде
за . Сложение векторов и скалярное умножение определены составная часть-в смысле, а векторы умножаются с использованием приведенных выше правил умножения элементов .Набор
- т.е.
образует основа для алгебры . Как и раньше, векторное умножение в коммутативен, но не ассоциативен.
Та же процедура может быть использована для получения любой коммутативной магмы. коммутативная алгебра над на , который будет неассоциативным, если является.