WikiDer > Процесс сбора коммутатора

В теория групп, филиал математика, то процесс сбора коммутатора это метод записи элемента группа как продукт генераторов и их высших коммутаторы расположены в определенном порядке. Процесс сбора коммутатора был введен Филип Холл в 1934 г.^[1] и сформулированы Вильгельм Магнус в 1937 г.^[2] Этот процесс иногда называют «процессом сбора».

Этот процесс можно обобщить, чтобы определить полностью упорядоченное подмножество свободной неассоциативной алгебры, то есть свободная магма; это подмножество называется Набор для прихожей. Члены множества Холла - бинарные деревья; их можно поставить во взаимно однозначное соответствие со словами, которые называются Слова зала; то Слова Линдона являются частным случаем. Наборы холлов используются для построения основы для свободная алгебра Ли, полностью аналогично процессу сбора коммутатора. Слова Холла также дают уникальный факторизация моноидов.

Заявление

Процесс сбора коммутатора обычно описывается для бесплатные группы, поскольку аналогичная теорема верна для любой группы, записав ее как частное свободной группы.

Предполагать F₁ свободная группа по генераторам а₁, ..., а_м. Определите по убыванию центральная серия поставив

F_п+1 = [F_п, F₁]

Основные коммутаторы являются элементами F₁ определены и упорядочены следующим образом:

• Основные коммутаторы веса 1 - это генераторы а₁, ..., а_м.
• Основные коммутаторы веса ш > 1 - это элементы [Икс, y] куда Икс и y - основные коммутаторы, веса которых в сумме ш, так что Икс > y и если Икс = [ты, v] для базовых коммутаторов ты и v тогда v ≤ y.

Коммутаторы заказываются так, чтобы Икс > y если Икс имеет вес больше, чем у y, а для коммутаторов любого фиксированного веса выбрана полная упорядоченность.

потом F_п/F_п+1 это конечно порожденная свободная абелева группа с базой, состоящей из основных коммутаторов весап.

Тогда любой элемент F можно записать как

${ displaystyle g = c_ {1} ^ {n_ {1}} c_ {2} ^ {n_ {2}} cdots c_ {k} ^ {n_ {k}} c}$

где c_я основные коммутаторы веса не более м расположены по порядку, и c является произведением коммутаторов веса больше, чем м, а п_я находятся целые числа.

Смотрите также

• Идентичность Холла – Петреско
• Факторизация моноида

Рекомендации

Чтение

• Холл, Маршалл (1959), Теория групп, Макмиллан, МИСТЕР 0103215
• Хупперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2, МИСТЕР 0224703, OCLC 527050