WikiDer > Контактная динамика

Contact dynamics

Контактная динамика имеет дело с движением многотельные системы подвергнутый односторонние контакты и трение. Такие системы вездесущи во многих приложениях динамики многих тел. Рассмотрим, например,

  • Контакты между колесами и землей в динамика автомобиля
  • Визг тормозов из-за колебаний, вызванных трением
  • Движение множества частиц, сфер, падающих в воронку, процессы перемешивания (гранулированная среда)
  • Заводной механизм
  • Прогулочные машины
  • Произвольные машины с упорами, трением.
  • Анатомические ткани (кожа, радужная оболочка / хрусталик, веки / передняя поверхность глаза, суставные хрящи, эндотелий сосудов / клетки крови, мышцы / сухожилия и т. Д.)

Далее обсуждается, как можно моделировать такие механические системы с односторонними контактами и трением и как можно получить временную эволюцию таких систем с помощью численное интегрирование. Кроме того, приведены некоторые примеры.

Моделирование

Двумя основными подходами к моделированию механических систем с односторонними контактами и трением являются регуляризованный и негладкий подход. Далее на простом примере представлены два подхода. Рассмотрим блок, который может скользить или прикрепляться к столу (см. Рисунок 1а). Движение блока описывается уравнением движения, тогда как сила трения неизвестна (см. Рисунок 1b). Чтобы получить силу трения, необходимо указать отдельный закон силы, который связывает силу трения с соответствующей скоростью блока.

Рисунок 1: Блок, который можно скользить или прикреплять к столу. На рисунке а) изображена модель, на рисунке б) уравнение движения с неизвестной силой трения.

Негладкий подход

Более сложный подход - негладкий подход, который использует многозначные законы силы для моделирования механических систем с односторонними контактами и трением. Снова рассмотрим блок, который скользит или застревает на столе. Соответствующий многозначный закон трения типа Sgn изображен на рис. 3. Для случая скольжения дана сила трения. Что касается случая прихвата, сила трения является многозначной и определяется в соответствии с дополнительным алгебраическим ограничение.

Рисунок 3: Закон многозначной силы для трения

В заключение, негладкий подход при необходимости изменяет лежащую в основе математическую структуру и приводит к надлежащему описанию механических систем с односторонними контактами и трением. Как следствие меняющейся математической структуры, удары может произойти, и нельзя полагать, что временные изменения положений и скоростей гладкий больше. Как следствие, необходимо определить дополнительные уравнения удара и законы удара. Чтобы справиться с изменяющейся математической структурой, многозначные законы силы обычно записываются как неравенство или же включение проблемы. Оценка этих неравенств / включений обычно выполняется путем решения линейных (или нелинейных) проблемы комплементарности, к квадратичное программирование или путем преобразования проблем неравенства / включения в проективные уравнения, которые можно итеративно решать с помощью Якоби или же Гаусс-Зейдель Негладкий подход обеспечивает новый подход к моделированию механических систем с односторонними контактами и трением, который включает в себя также всю классическую механику, подверженную двусторонним ограничениям. Подход связан с классическим DAE теории и приводит к надежным схемам интеграции.

Численное интегрирование

Интегрирование регуляризованных моделей может быть выполнено стандартными жесткими решателями для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако могут возникнуть колебания, вызванные регуляризацией. Рассматривая негладкие модели механических систем с односторонними контактами и трением, существуют два основных класса интеграторов: управляемые событиями и так называемые интеграторы с временным шагом.

Интеграторы, управляемые событиями

Интеграторы, управляемые событиями, различают плавные части движения, в которых основная структура дифференциальных уравнений не изменяется, и события или так называемые точки переключения, в которых эта структура изменяется, то есть моменты времени, в которые односторонний контакт замыкается или происходит скачкообразный переход. В этих точках переключения оцениваются законы установленной силы (и дополнительного удара), чтобы получить новую базовую математическую структуру, на которой можно продолжить интегрирование. Интеграторы, управляемые событиями, очень точны, но не подходят для систем с большим количеством контактов.

Шаговые интеграторы

Так называемые пошаговые интеграторы - это специальные численные схемы для механических систем с большим количеством контактов. Первый шаговый интегратор по времени был представлен J.J. Моро. Интеграторы не нацелены на определение точек переключения и поэтому очень надежны в применении. Поскольку интеграторы действительно работают с интегралом контактных сил, а не с самими силами, методы могут обрабатывать как неимпульсное движение, так и импульсные события, такие как удары. Недостатком является низкая точность шаговых интеграторов. Этот недостаток можно исправить, используя уточнение размера шага в точках переключения. Плавные части движения обрабатываются с помощью шагов большего размера, а методы интегрирования более высокого порядка могут использоваться для увеличения порядка интегрирования.

Примеры

В этом разделе приведены некоторые примеры механических систем с односторонним контактом и трением. Результаты были получены с помощью негладкого подхода с использованием интеграторов с пошаговым управлением по времени.

Гранулированные материалы

Методы временного шага особенно хорошо подходят для моделирования сыпучих материалов. На рисунке 4 изображено моделирование смешивания 1000 дисков.

Рисунок 4: Смешивание тысячи дисков

Бильярд

Рассмотрим две сталкивающиеся сферы в бильярдной игре. На рис. 5а показаны некоторые снимки двух сталкивающихся сфер, на рис. 5б показаны связанные траектории.

Рисунок 5: а) Снимок. б) Траектории двух сфер

Вилли мотоцикла

Если мотоцикл ускоряется слишком быстро, он едет на заднем колесе. На рисунке 6 показаны некоторые снимки моделирования.

Рисунок 6: Вилли мотоцикла

Движение игрушки дятел

Игрушка дятел - хорошо известная эталонная задача в контактной динамике. Игрушка состоит из шеста, гильзы с отверстием, которое немного больше диаметра шеста, пружины и туловища дятла. Во время работы дятел движется вниз по шесту, совершая какое-то качающее движение, которым управляет гильза. На рисунке 7 показаны некоторые снимки моделирования.

Рисунок 7: Моделирование игрушки дятла

Моделирование и визуализацию можно найти на https://github.com/gabyx/Woodpecker.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Акари В., Брольято Б. Численные методы для негладких динамических систем. Приложения в механике и электронике. Springer Verlag, LNACM 35, Гейдельберг, 2008 г.
  • Брольято Б. Негладкая механика. Модели, динамика и управление Серия коммуникаций и управления Springer-Verlag, Лондон, 2016 (третье изд.)
  • Драмрайт, Э. и Шелл, Д. Моделирование контактного и суставного трения в динамическом робототехническом моделировании с использованием принципа максимального рассеяния. Следы Springer в передовой робототехнике: алгоритмические основы робототехники IX, 2010
  • Глокер, гл. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen, том 18/182 из VDI Fortschrittsberichte Mechanik / Bruchmechanik. VDI Verlag, Дюссельдорф, 1995 г.
  • Glocker Ch. и Студер С. Формулировка и подготовка к численной оценке систем линейной дополнительности. Многотельная системная динамика 13(4):447-463, 2005
  • Жан М. Метод негладкой контактной динамики. Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении 177(3-4):235-257, 1999
  • Моро Дж. Дж. Односторонний контакт и сухое трение в динамике конечной свободы, том 302 из Негладкая механика и приложения, Курсы и лекции по CISM. Спрингер, Вена, 1988 г.
  • Пфайффер Ф., Ферг М. и Ульбрих Х. Численные аспекты негладкой многотельной динамики. Comput. Методы Прил. Мех. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
  • Потра Ф.А., Анитеску М., Гавреа Б. и Тринкл Дж. Линейно неявный трапециевидный метод интегрирования жесткой многотельной динамики с контактами, соединениями и трением. Int. J. Numer. Meth. Engng 66(7):1079-1124, 2006
  • Стюарт Д. и Тринкл Дж.К. Неявная пошаговая схема для динамики твердого тела с неупругими столкновениями и кулоновским трением. Int. J. Numer. Методы разработки 39(15):2673-2691, 1996
  • Студер К. Расширенная пошаговая интеграция негладких динамических систем, Докторская диссертация ETH Zurich, ETH E-Collection, появится в 2008 г.
  • Студер К. Числа односторонних контактов и трения - моделирование и численное интегрирование по времени в негладкой динамике, Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике, том 47, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009

внешняя ссылка