WikiDer > Контактная геометрия

Стандартная структура контактов на р³. Каждая точка в р³ имеет плоскость, связанную с ним контактной структурой, в данном случае как ядро ​​одноформной dz − y dИкс. Эти самолеты, кажется, крутятся по y-ось.

В математика, контактная геометрия это изучение геометрической структуры на гладкие многообразия заданный гиперплоскостью распределение в касательный пучок удовлетворяющее условию, называемому «полная неинтегрируемость». Эквивалентно такое распределение может быть задано (по крайней мере, локально) как ядро ​​дифференциальной одной формы, а условие неинтегрируемости преобразуется в условие максимальной невырожденности формы. Эти условия противоположны двум эквивалентным условиям для 'полная интегрируемость'гиперплоского распределения, т. е. касаться коразмерности единица слоение на многообразии, эквивалентность которого является содержанием Теорема Фробениуса.

Контактная геометрия во многих отношениях является нечетным аналогом симплектическая геометрия, структура на некоторых четномерных многообразиях. И контактная, и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классическая механика, где можно рассматривать либо четномерные фазовое пространство механической системы или гиперповерхности с постоянной энергией, которая, будучи коразмерностью один, имеет нечетную размерность.

Приложения

Как и симплектическая геометрия, контактная геометрия имеет широкое применение в физика, например геометрическая оптика, классическая механика, термодинамика, геометрическое квантование, интегрируемые системы и чтобы теория управления. Контактная геометрия также применяется для низкоразмерная топология; например, его использовали Kronheimer и Mrowka чтобы доказать свойство P гипотеза, к Майкл Хатчингс определить инвариант гладких трехмерных многообразий, и Ленхард Нг определить инварианты узлов. Он также использовался Яков Элиашберг получить топологическую характеристику Многообразия Штейна размерности не менее шести.

Контактные формы и структуры

Контактная структура на нечетномерном многообразии - это гладко меняющееся семейство подпространств коразмерности один каждого касательного пространства многообразия, удовлетворяющее условию неинтегрируемости. Семейство можно описать как часть пакета следующим образом:

Учитывая п-размерный гладкое многообразие M, и точка п ∈ M, а контактный элемент из M с Контактная точка п является (п - 1) -мерный линейное подпространство из касательное пространство к M в п.^[1][2] Контактный элемент может быть задан ядром линейной функции на касательном пространстве к M в п. Однако если подпространство задается ядром линейной функции ω, то оно также будет задаваться нулями функции λω, где λ ≠ 0 - любое ненулевое действительное число. Таким образом, ядра {λω: λ ≠ 0} все дают одинаковый контактный элемент. Отсюда следует, что пространство всех контактных элементов M можно отождествить с частным от котангенсный пучок Т *M (с нулевым сечением ${ displaystyle 0_ {M}}$ удаленный),^[1] а именно:

${ displaystyle { text {PT}} ^ {*} M = ({ text {T}} ^ {*} M- {0_ {M}}) / ! sim { text {где, для }} omega _ {i} in { text {T}} _ {p} ^ {*} M, omega _ {1} sim omega _ {2} iff exists lambda neq 0 : omega _ {1} = lambda omega _ {2}.}$

А структура контактов на нечетномерном многообразии M, размерности 2k+1, гладкая распределение контактных элементов, обозначаемых ξ, которые являются общими в каждой точке.^[1][2] Условие общности состоит в том, что ξ является неинтегрируемый.

Предположим, что у нас есть гладкое распределение контактных элементов ξ, локально задаваемое дифференциальная 1-форма α; т.е. гладкий раздел котангенсного пучка. Условие неинтегрируемости можно явно задать в виде:^[1]

${ displaystyle alpha wedge ({ text {d}} alpha) ^ {k} neq 0 { text {where}} ({ text {d}} alpha) ^ {k} = underbrace {{ text {d}} alpha wedge ldots wedge { text {d}} alpha} _ {k - { text {times}}}.}.$

Обратите внимание, что если ξ задается дифференциальной 1-формой α, то такое же распределение локально задается формулой β = ƒ⋅α, где ƒ - ненулевая гладкая функция. Если ξ коориентируем, то α определено глобально.

Характеристики

Это следует из Теорема Фробениуса об интегрируемости контактное поле ξ равно полностью неинтегрируемый. Это свойство контактного поля примерно противоположно тому, что поле образовано касательными плоскостями к семейству неперекрывающихся гиперповерхностей в M. В частности, вы не можете найти гиперповерхность в M касательные пространства которых согласуются с ξ даже локально. На самом деле не существует подмногообразия размерности больше, чем k касательные пространства которых лежат в ξ.

Связь с симплектическими структурами

Следствием определения является то, что ограничение 2-формы ω = dα на гиперплоскость в ξ является невырожденной 2-формой. Такая конструкция обеспечивает любой контактный коллектор. M с естественным симплектическое расслоение ранга один меньше, чем размер M. Отметим, что симплектическое векторное пространство всегда четномерно, а контактные многообразия должны быть нечетномерными.

В котангенсный пучок Т*N любой п-мерное многообразие N сам является многообразием (размерности 2п) и естественным образом поддерживает точную симплектическую структуру ω = dλ. (Эту 1-форму λ иногда называют Форма Лиувилля). Существует несколько способов построения ассоциированного контактного коллектора, один из которых имеет размерность 2.п - 1, размерность 2п + 1.

Проективизация

Позволять M быть проективизация котангенсного пучка N: таким образом M расслоение над M чье волокно в точке Икс - пространство прямых в T *N, или, что то же самое, пространство гиперплоскостей в TN. 1-форма λ не спускается до настоящей 1-формы на M. Однако он однороден степени 1, поэтому он определяет 1-форму со значениями в линейном расслоении O (1), которое является двойственным к послойному тавтологическому линейному расслоению M. Ядро этой 1-формы определяет распределение контактов.

Энергетические поверхности

Предположим, что ЧАС - гладкая функция на T *N, который E обычное значение для ЧАС, так что уровень установлен ${ Displaystyle L = {(q, p) in T ^ {*} N | H (q, p) = E }}$ - гладкое подмногообразие коразмерности 1. Векторное поле Y называется векторным полем Эйлера (или Лиувилля), если оно трансверсально L и конформно симплектический, что означает, что производная Ли от dλ относительно Y кратно dλ в окрестности L.

Тогда ограничение ${ displaystyle i_ {Y} d lambda}$ к L это контактная форма на L.

Эта конструкция берет свое начало в Гамильтонова механика, куда ЧАС - гамильтониан механической системы с конфигурационным пространством N и фазовое пространство Т*N, и E это стоимость энергии.

Единичный котангенсный пучок

Выберите Риманова метрика на коллекторе N и разреши ЧАС - соответствующая кинетическая энергия. Тогда установленный уровень H = 1/2 это узел котангенса из N, гладкое многообразие размерности 2п-1 волокно поверх N с волокнами, являющимися сферами. Тогда форма Лиувилля, ограниченная на единичное кокасательное расслоение, является контактной структурой. Это соответствует частному случаю второй конструкции, когда поток векторного поля Эйлера Y соответствует линейному масштабированию импульсов p, оставляя q неизменными. В векторное поле р, определяемый равенствами

λ (р) = 1 и dλ (р, А) = 0 для всех векторных полей А,

называется Векторное поле Риба, и он генерирует геодезический поток римановой метрики. Более точно, используя риманову метрику, можно идентифицировать каждую точку кокасательного расслоения N с точкой касательного пучка N, а затем значение р в этой точке (единичного) кокасательного расслоения есть соответствующий (единичный) вектор, параллельный N.

Первый реактивный пакет

С другой стороны, можно построить контактный коллектор M размерности 2п +1, учитывая первый связка струй действительных функций на N. Этот пучок изоморфен Т*N×р с использованием внешняя производная функции. С координатами (Икс, т), M имеет контактную структуру

1. α = dt + λ.

И наоборот, для любого контактного коллектора M, продукт M×р имеет естественную структуру симплектического многообразия. Если α - контактная форма на M, тогда

ω = d(е^тα)

является симплектической формой на M×р, куда т обозначает переменную в р-направление. Это новое многообразие называется симплектизация (иногда симплектификация в литературе) контактного коллектора M.

Примеры

В качестве яркого примера рассмотрим р³, снабженный координатами (Икс,y,z) и одноформная дз − y dx. Плоскость контакта ξ в точке (Икс,y,z) натянута на векторы Икс₁ = ∂_y и Икс₂ = ∂_Икс + y ∂_z.

Заменив одиночные переменные Икс и y с многомерными Икс₁, ..., Икс_п, y₁, ..., y_п, можно обобщить этот пример на любой р^2п+1. Автор теорема Дарбу, каждая контактная структура на многообразии локально выглядит как эта конкретная контактная структура на (2п + 1) -мерное векторное пространство.

Важный класс контактных многообразий составляют Сасакиевы многообразия.

Лежандровые подмногообразия и узлы

Наиболее интересными подпространствами контактного многообразия являются его лежандровы подмногообразия. Неинтегрируемость поля контактной гиперплоскости на a (2п + 1) -мерное многообразие означает, что нет 2п-мерное подмногообразие имеет его как касательное расслоение, даже локально. Однако в общем случае можно найти n-мерные (вложенные или погруженные) подмногообразия, касательные пространства которых лежат внутри контактного поля. Лежандровые подмногообразия аналогичны лагранжевым подмногообразиям симплектических многообразий. Существует точное соотношение: подъем лежандрова подмногообразия в симплектизации контактного многообразия является лагранжевым подмногообразием. Простейшими примерами лежандровых подмногообразий являются Легендарные узлы внутри контактного трёхмерного коллектора. Неэквивалентные лежандровые узлы могут быть эквивалентны гладким узлам; то есть есть узлы, которые являются гладко изотопными, в которых изотопия не может быть выбрана как путь лежандровых узлов.

Лежандровы подмногообразия - очень жесткие объекты; обычно существует бесконечно много лежандровых изотопических классов вложений, которые все гладко изотопны. Симплектическая теория поля предоставляет инварианты лежандровых подмногообразий, называемых относительная контактная гомология которые иногда могут различать различные лежандрова подмногообразия, которые топологически идентичны (т. е. гладко изотопны).

Векторное поле Риба

Если α - контактная форма для данной контактной структуры, Векторное поле Риба R можно определить как единственный элемент (одномерного) ядра dα, такой что α (р) = 1. Если контактное многообразие возникает как гиперповерхность с постоянной энергией внутри симплектического многообразия, то векторное поле Риба является ограничением на подмногообразие гамильтонова векторного поля, ассоциированного с функцией энергии. (Ограничение дает векторное поле на контактной гиперповерхности, поскольку гамильтоново векторное поле сохраняет уровни энергии.)

Динамика поля Риба может быть использована для изучения структуры контактного многообразия или даже лежащего под ним многообразия с использованием техники Гомология Флоера Такие как симплектическая теория поля и в трех измерениях встроенная контактная гомология. Различные контактные формы, ядра которых дают одинаковую контактную структуру, будут давать разные векторные поля Риба, динамика которых, как правило, очень различна. Различные разновидности контактных гомологий априори зависят от выбора контактной формы и строят алгебраические структуры замкнутых траекторий их векторных полей Риба; однако эти алгебраические структуры оказываются независимыми от контактной формы, то есть они являются инвариантами основной контактной структуры, так что, в конце концов, контактная форма может рассматриваться как вспомогательный выбор. В случае вложенных контактных гомологий получается инвариант лежащего в основе трехмерного многообразия, т.е. вложенные контактные гомологии не зависят от контактной структуры; это позволяет получить результаты, справедливые для любого векторного поля Риба на многообразии.

Поле Reeb названо в честь Жорж Риб.

Некоторые исторические замечания

Корни контактной геометрии проявляются в работе Кристиан Гюйгенс, Исаак Барроу и Исаак Ньютон. Теория контактные преобразования (т.е. преобразования с сохранением контактной структуры) был разработан Софус Ли, с двойными целями изучения дифференциальных уравнений (например, Превращение Лежандра или же каноническое преобразование) и описывая «смену элемента пространства», знакомую по проективная двойственность.

Смотрите также

• Гомология Флоера, некоторые разновидности которых дают инварианты контактных многообразий и их лежандровых подмногообразий
• Квантованное преобразование контактов
• Субриманова геометрия

Рекомендации

Введение в контактную геометрию

• Этнир, Дж. Вводные лекции по контактной геометрии, Proc. Симпози. Чистая математика. 71 (2003), 81–107, математика.SG/0111118
• Гейгес, Х. Контактная геометрия, math.SG/0307242
• Гейгес, Х. Введение в топологию контактов, Издательство Кембриджского университета, 2008.
• Aebischer et al. Симплектическая геометрия, Биркхойзер (1994), ISBN 3-7643-5064-4
• В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3

Приложения к дифференциальным уравнениям

• В. И. Арнольд, Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений., Springer-Verlag (1988), ISBN 0-387-96649-8

Контактные трехмерные многообразия и лежандровые узлы

• Уильям Терстон, Трехмерная геометрия и топология. Издательство Принстонского университета (1997), ISBN 0-691-08304-5

Информация по истории контактной геометрии

• Лутц, Р. Quelques remarques Historiques et Perspectives sur la géométrie de contact , Конф. на Diff. Геом. и Топ. (Сардиния, 1988 г.) Rend. Фак. Sci. Univ. Кальяри 58 (1988), доп., 361–393.
• Гейгес, Х. Краткая история контактной геометрии и топологии, Экспо. Математика. 19 (2001), 25–53. Дои:10.1016 / S0723-0869 (01) 80014-1
• Арнольд, В. (пер. Э. Примроуз), Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: пионеры математического анализа и теории катастроф от эволюционирующих до квазикристаллов. Birkhauser Verlag, 1990.
• Контактная тема геометрии на arxiv.org

внешняя ссылка

• Контактный коллектор в Manifold Atlas