WikiDer > Непрерывная игра
эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Март 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
А непрерывная игра математическая концепция, используемая в теория игры, который обобщает идею обычной игры, такой как крестики-нолики (крестики-нолики) или шашки (шашки). Другими словами, он расширяет понятие дискретной игры, в которой игроки выбирают из конечного набора чистых стратегий. Концепция непрерывной игры позволяет играм включать более общие наборы чистых стратегий, которые могут быть бесчисленное множество.
В общем, игра с несчетным числом наборов стратегий не обязательно будет иметь равновесие по Нэшу решение. Если, однако, наборы стратегий должны быть компактный и вспомогательные функции непрерывный, то равновесие по Нэшу будет гарантировано; это обобщение Гликсбергом Теорема Какутани о неподвижной точке. По этой причине класс непрерывных игр обычно определяется и изучается как подмножество более широкого класса бесконечных игр (то есть игр с бесконечными наборами стратегий), в которых наборы стратегий компактны, а функции полезности непрерывны.
Формальное определение
Определить п-пользовательская непрерывная игра где
- это набор игроки,
- где каждый это компактный набор, в метрическое пространство, соответствующий th набор чистых стратегий игрока,
- где функция полезности игрока
- Мы определяем быть набором Бореля вероятностные меры на , давая нам пространство смешанной стратегии игрока я.
- Определите профиль стратегии где
Позволять быть стратегическим профилем всех игроков, кроме игрока . Как и в случае с дискретными играми, мы можем определить лучший ответ переписка для игрока , . является отношением множества всех распределений вероятностей по профилям игроков соперника к множеству игроков стратегии, такие, что каждый элемент
лучший ответ на . Определить
- .
Профиль стратегии это равновесие по Нэшу если и только еслиСуществование равновесия по Нэшу для любой непрерывной игры с непрерывными функциями полезности можно доказать, используя Ирвинг Гликсбергобобщение Теорема Какутани о неподвижной точке.[1] В общем, решения может не быть, если мы разрешим пространства стратегий, , которые не являются компактными, или если мы допускаем прерывистые функции полезности.
Раздельные игры
А отделяемая игра - непрерывная игра, в которой для любого i функция полезности может быть выражена в форме суммы произведений:
- , где , , , а функции непрерывны.
А полиномиальная игра это отделимая игра, в которой каждый компактный интервал на и каждая функция полезности может быть записана как многомерный полином.
В общем, смешанные равновесия по Нэшу в разделимых играх вычислить легче, чем в неразделимых играх, как следует из следующей теоремы:
- Для любой сепарабельной игры существует хотя бы одно равновесие по Нэшу, в котором игрок я смешивает самое большее чистые стратегии.[2]
В то время как стратегия равновесия для неотделимой игры может потребовать бесчисленное множество поддержка, сепарабельная игра гарантированно имеет по крайней мере одно равновесие по Нэшу со смешанными стратегиями с конечным носителем.
Примеры
Раздельные игры
Полиномиальная игра
Рассмотрим игру двух игроков с нулевой суммой. Икс и Y, с участием . Обозначим элементы и так как и соответственно. Определите служебные функции где
- .
Отношения наилучшего отклика в чистой стратегии: