WikiDer > Грамиан управляемости

Controllability Gramian

В теория управления, нам может потребоваться выяснить, действительно ли такая система, как

является управляемый, куда , , и являются, соответственно, , , и матрицы.

Один из многих способов достижения этой цели - использование Грамиан управляемости.

Управляемость в системах LTI

Системы с линейным инвариантом во времени (LTI) - это такие системы, в которых параметры , , и инвариантны относительно времени.

Можно понять, является ли система LTI управляемой или нет, просто взглянув на пару . Тогда мы можем сказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Пара управляем.

2. Программа матрица

неособен для любого .

3. В матрица управляемости

имеет ранг n.

4. матрица

имеет полный ранг строки при каждом собственном значении из .

Если, кроме того, все собственные значения иметь отрицательные реальные части ( устойчиво), а единственное решение Уравнение Ляпунова

положительно определен, система управляема. Решение называется грамианом управляемости и может быть выражено как

В следующем разделе мы более подробно рассмотрим грамиан управляемости.

Грамиан управляемости

Грамиан управляемости может быть найден как решение Уравнение Ляпунова данный

Фактически, мы можем видеть, что если мы возьмем

в качестве решения мы обнаружим, что:

Где мы использовали тот факт, что в для стабильного (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что действительно является решением анализируемого уравнения Ляпунова.

Характеристики

Мы видим, что является симметричной матрицей, поэтому .

Мы можем снова использовать тот факт, что если устойчиво (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что уникален. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для

и они даны и . Тогда у нас есть:

Умножение на слева и по по праву, приведет нас к

Интеграция из к :

используя тот факт, что в качестве :

Другими словами, должно быть уникальным.

Также мы видим, что

положительна при любом t (в невырожденном случае, когда не равно нулю тождественно). Это делает положительно определенная матрица.

Больше свойств управляемых систем можно найти в,[1] а также доказательство других эквивалентных утверждений «Пара управляема », представленная в разделе« Управляемость в системах LTI ».

Системы с дискретным временем

Для систем с дискретным временем как

Можно проверить, что есть эквивалентности для утверждения «Пара управляема »(эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).

Нас интересует эквивалентность, которая утверждает, что если «пара управляемо »и все собственные значения иметь величину меньше, чем ( устойчиво), то единственное решение

положительно определен и задается

Это называется грамианом дискретной управляемости. Мы можем легко увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть если мы можем проверить, что положительно определен, и все собственные значения иметь величину меньше, чем , система управляем. Дополнительные свойства и доказательства можно найти в.[2]

Системы с линейным изменением во времени

Системы с линейным временным вариантом (LTV) имеют вид:

То есть матрицы , и есть записи, которые меняются со временем. Опять же, а также в случае непрерывного времени и в случае дискретного времени, может быть интересно обнаружить, если система, заданная парой управляемый или нет. Это можно сделать аналогично предыдущим случаям.

Система контролируется во времени тогда и только тогда, когда существует конечное так что матрица, также называемая грамианом управляемости, заданная формулой

куда - матрица перехода состояний , неособое.

Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система управляемой системой или нет.

Свойства

У нас есть грамиан управляемости обладают следующим свойством:

что легко увидеть по определению и свойством матрицы перехода состояний, которое утверждает, что:

Подробнее о грамиане управляемости можно прочитать в.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Чен, Чи-Цун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.145. ISBN 0-19-511777-8.
  2. ^ Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.169. ISBN 0-19-511777-8.
  3. ^ Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.176. ISBN 0-19-511777-8.

внешняя ссылка