WikiDer > Выпуклые многогранники

Convex Polytopes

Выпуклые многогранники учебник математики для выпускников, посвященный выпуклые многогранники, многомерные обобщения трехмерных выпуклые многогранники. Это было написано Бранко Грюнбаумпри участии Виктор Клее, Миха Перлес, и Г. К. Шепард, и опубликовано в 1967 году компанией John Wiley & Sons.[1][2][3][4] Он вышел из печати в 1970 году.[5][6] Второе издание, подготовленное при содействии Фолькера Кайбеля, Виктора Клее и Гюнтер М. Циглер, был опубликован Springer-Verlag в 2003 году, как 221 том их книжной серии Тексты для выпускников по математике.[5][6][7][8]

Выпуклые многогранники стал победителем 2005 г. Приз Лероя П. Стила для математического изложения, данного Американское математическое общество.[9] Комитет по списку основных библиотек Математическая ассоциация Америки рекомендовал включить его в библиотеки математики бакалавриата.[10]

Темы

В книге 19 глав. После двух глав, вводящих базовый материал по линейной алгебре, топологии и выпуклая геометрияеще две главы дают основные определения многогранников в их двух двойственных версиях (пересечениях многогранников). полупространства и выпуклые оболочки конечных точечных множеств) введем Диаграммы Шлегеля, и приведем несколько основных примеров, включая циклические многогранники. Глава 5 знакомит с Диаграммы штормов, а в следующих двух главах они используются для изучения многогранников с числом вершин, лишь немного превышающим их размерность, и соседние многогранники.[8][5]

В главах с 8 по 11 изучается количество граней разных размеров в многогранниках. Формула полиэдра Эйлера, то Уравнения Дена – Соммервилля, а экстремальная комбинаторика чисел граней в многогранниках. Глава 11 соединяет низкоразмерные грани вместе в скелет многогранника и доказывает теорему ван Кампена – Флореса о невложимости скелетов в пространства меньшей размерности. В главе 12 исследуется вопрос о том, когда скелет однозначно определяет многомерную комбинаторную структуру своего многогранника. Глава 13 дает полный ответ на эту теорему для трехмерных выпуклых многогранников с помощью Теорема Стейница, который комбинаторно характеризует графики выпуклых многогранников и может использоваться, чтобы показать, что они могут быть реализованы как выпуклый многогранник только одним способом. Это также касается мультимножеств размеров граней, которые могут быть реализованы как многогранники (Теорема Эберхарда) и комбинаторных типов многогранников, которые могут иметь вписанные сферы или же ограниченные сферы.[8][5]

Глава 14 касается соотношений, аналогичных уравнениям Дена – Соммервилля для сумм углов многогранников, и использует суммы углов для определения центральной точки, «точки Штейнера», для любого многогранника. Глава 15 исследования Дополнение Минковского и Добавление Бляшке, две операции, с помощью которых многогранники могут быть объединены для создания других многогранников. Исследования глав 16 и 17 кратчайшие пути и Гипотеза Хирша, самые длинные пути и Гамильтоновы циклы, а показатель краткости многогранников. Глава 18 исследования расположение гиперплоскостей и их двойственная связь с комбинаторной структурой зонотопы. Заключительная глава, глава 19, также включает материал о симметриях многогранников.[8][5]

Упражнения в книге позволяют использовать ее в качестве учебника и предоставляют дополнительные ссылки на недавние исследования, а в последующих главах книги также перечислено множество открытых исследовательских проблем.[1] Второе издание книги сохраняет без изменений содержание, организацию и разбивку на страницы первого издания, добавляя в конце каждой главы примечания об обновлениях материала в этой главе.[7][8] Эти обновления включают материалы по Теорема универсальности Мнева и его связь с реализуемостью многогранников из их комбинаторных структур, доказательство -гипотеза для симплициальные сферы, и Калаи 3d догадка.[8] Второе издание также содержит улучшенную библиографию.[6]

Темы, важные для теории выпуклых многогранников, но недостаточно освещенные в книге Выпуклые многогранники включают Третья проблема Гильберта и теория Инварианты Дена.[8]

Аудитория и прием

Несмотря на то, что книга написана на уровне выпускника, основными предпосылками для чтения этой книги являются: линейная алгебра и общая топология, оба на уровне бакалавриата.[1]

В рецензии на первое издание книги Вернер Фенчель называет это «замечательным достижением», «богатством материала», «хорошо организованным и представленным в ясном стиле».[2] Более 35 лет спустя, вручая Грюнбауму премию Стила за Выпуклые многогранникиАмериканское математическое общество написало, что эта книга «послужила и стандартным справочником, и источником вдохновения», что в значительной степени она была ответственна за энергичные текущие исследования в многогранная комбинаторика, и что он остается актуальным для этой области.[9] Рассматривая и приветствуя второе издание, Питер МакМаллен написал, что, несмотря на то, что исследование, которое оно вызвало, «сразу сделало устаревшим», книга по-прежнему является важным чтением для исследователей в этой области.[8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Баксандалл П. Р. (октябрь 1969 г.), "Обзор Выпуклые многогранники (1-е изд.) ", Математический вестник, 53 (385): 342–343, Дои:10.2307/3615008
  2. ^ а б Фенчель, Вернер (Зима 1968 г.), "Обзор Выпуклые многогранники (1-е изд.) ", Американский ученый, 56 (4): 476A – 477A, JSTOR 27828384
  3. ^ Салли, Г. Т., "Обзор Выпуклые многогранники (1-е изд.) ", MathSciNet, МИСТЕР 0226496
  4. ^ Юкович, Э., "Обзор Выпуклые многогранники (1-е изд.) ", zbMATH (на немецком), Zbl 0163.16603
  5. ^ а б c d е Звонкин, Александр (2004), «Обзор Выпуклые многогранники (2-е изд.) ", MathSciNet, МИСТЕР 1976856
  6. ^ а б c Эриг, Г., "Обзор Выпуклые многогранники (2-е изд.) ", zbMATH (на немецком), Zbl 1024.52001
  7. ^ а б Лорд, Ник (март 2005 г.), "Обзор Выпуклые многогранники (2-е изд.) ", Математический вестник, 89 (514): 164–166, JSTOR 3620690
  8. ^ а б c d е ж грамм час Макмаллен, Питер (Июль 2005 г.), "Обзор Выпуклые многогранники (2-е изд.) ", Комбинаторика, теория вероятностей и вычисления, 14 (4): 623–626, Дои:10.1017 / s0963548305226998
  9. ^ а б "Призы Стила 2005" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 52 (4): 439–442, апрель 2005 г.
  10. ^ "Выпуклые многогранники (Выбор базового списка библиотек, без обзора) ", Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки, получено 2020-08-26